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第四节第四节• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;分部积分法• 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四四章 1一、 有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和1. 有理函数的分解2（1）分母中若有因式 ，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为其中 都是常数3注注:关于部分分式分解如对进行分解时例如一项也不能少，因为通分后分子上是 的 次多项式，可得到 个方程，定出 个系数，否则将可能会得到矛盾的结果.4但若矛盾5（2）分母中若有因式 ，其中则分解后为特殊地：分解后为其中 都是常数6例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解解: (1) 用拼凑法7(2) 用赋值法故8(3) 比较系数法原式 =92. 有理函数的积分 变分子为 再分项积分 四种典型部分分式的积分:10讨论积分令则记11这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.结论结论有理函数的原函数都是初等函数.递推公式12注意注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法.如使用凑微分法比较简单基本思路基本思路尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换13例例2. 求积分 解：解：14例例3. 求解解: 已知15例例4. 求解解: 原式思考思考: 如何求提示提示: 变形方法同例4 16例例5. 求解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 17例例6. 求解解: 原式18例例7. 求解解: 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁19二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式 ,令万能代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则21令（万能置换公式）22例例8. 求解解: 令则2324例例9. 求解解: 说明说明: 通常求含的积分时,往往更方便 .的有理式用代换25例例10. 求积分解法解法 1：：26解法解法 2：：令27解法解法 3：：可以不用万能置换公式.结论结论比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.如28若用万能代换，则化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单基本思路基本思路292. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令30例例13. 求解解: 令则原式31例例14. 求解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令32例例15. 求解解: 令则原式原式33例例16. 求积分解：解：先对分母进行有理化原式34内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 35思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式36个人观点供参考，欢迎讨论。