平面直角坐标系中的距离公式课件北师大版必修课件.ppt

 在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式|AB|＝＝|xB－－xA|.在平面直角坐标系中，怎么求任意两点在平面直角坐标系中，怎么求任意两点间的距离呢？间的距离呢？ 问题问题1：若两点：若两点A(－－5,1)，，B(6,1)，它们的距离是多，它们的距离是多少呢？少呢？ 提示：提示：因为因为A、、B两点所在直线与两点所在直线与x轴平行，故轴平行，故|AB|＝＝|6－－(－－5)|＝＝11. 在平面几何中，求点在平面几何中，求点P到直线到直线l的距离的方法是：先过的距离的方法是：先过点点P作作l的垂线的垂线PH，垂足为，垂足为H，再求，再求PH的长度即可．那么，的长度即可．那么，在平面直角坐标系中，如何用坐标法求出点在平面直角坐标系中，如何用坐标法求出点P(x0，，y0)到直到直线线Ax＋＋By＋＋C＝＝0的距离呢？的距离呢？ 问题问题1：点：点(x0，，y0)到到x轴，轴，y轴的距离怎样用坐标表示轴的距离怎样用坐标表示？？ 提示：提示：点点(x0，，y0)到到x轴的距离是轴的距离是|y0|，点，点(x0，，y0)到到y轴轴的距离是的距离是|x0|. 2．应用点到直线的距离公式的注意事项．应用点到直线的距离公式的注意事项 (1)特别地，当点特别地，当点P0在直线上时，点在直线上时，点P0到该直线的距到该直线的距离为离为0. (2)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，在应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离． [例例1]　　(1)求直线求直线2x＋＋my＋＋2＝＝0(m≠0)与两坐标轴的交与两坐标轴的交点之间的距离；点之间的距离； (2)已知点已知点A(a，－，－5)与与B(0,10)间的距离是间的距离是17，求，求a的值；的值； (3)求直线求直线l：：y＝＝x被两条平行直线被两条平行直线x＋＋y－－2＝＝0和和x＋＋y－－4＝＝0所截得的线段的长度．所截得的线段的长度． [思路点拨思路点拨]　利用条件确定点的坐标，再代入两点间　利用条件确定点的坐标，再代入两点间的距离公式．的距离公式． [一点通一点通]　　两点间的距离公式是利用代数法研究几两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决．距离问题往往最后都要转化为此公式解决．2．已知．已知△△ABC中，中，A(－－2,1)，，B(3，－，－3)，，C(2,6)，试判断，试判断 △△ABC的形状．的形状． [例例2]　　用解析法证明：用解析法证明：ABCD为矩形，为矩形，M是任一点．是任一点．求证：求证：|AM|2＋＋|CM|2＝＝|BM|2＋＋|DM|2. [思路点拨思路点拨]　建立坐标系，设出点的坐标，代入已知　建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简得．化简得． [精解详析精解详析]　分别以　分别以AB、、AD所在直线所在直线为为x轴，轴，y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系(如图如图)，设，设M(x，，y)，，B(a,0)，，C(a，，b)，则，则D(0，，b)，又，又A(0,0)．． 则则|AM|2＋＋|CM|2＝＝x2＋＋y2＋＋(x－－a)2＋＋(y－－b)2，， |BM|2＋＋|DM|2＝＝(x－－a)2＋＋y2＋＋x2＋＋(y－－b)2. ∴∴|AM|2＋＋|CM|2＝＝|BM|2＋＋|DM|2. [一点通一点通] (1)解析法证明几何问题的步骤：解析法证明几何问题的步骤： ①①建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； ②②进行有关的代数运算；进行有关的代数运算； ③③把代数运算结果把代数运算结果“翻译翻译”成几何关系．成几何关系． (2)重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中没重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．尽量利用图形中的对称关系．3．用解析法证明：等腰梯形的对角线相等．．用解析法证明：等腰梯形的对角线相等．解：解：已知等腰梯形已知等腰梯形ABCD，，AB∥∥DC，，AD＝＝BC，求证：，求证：AC＝＝BD.证明：以证明：以AB所在直线为所在直线为x轴，以轴，以AB的中的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．设设A(－－a,0)、、D(b，，c)，由等腰梯形的性质知，由等腰梯形的性质知B(a,0)，，C(－－b，，c)，，4．已知．已知AO是是△△ABC边边BC的中线．的中线． 求证：求证：|AB|2＋＋|AC|2＝＝2(|AO|2＋＋|OC|2)证明：证明：以以O点为原点，点为原点，BC所在直线为所在直线为x轴轴建立直角坐标系，建立直角坐标系，设设B(－－a,0)，，C(a,0)，，A(x，，y)，，由两点间距离公式得由两点间距离公式得|AB|2＝＝(x＋＋a)2＋＋y2，，|AC|2＝＝(x－－a)2＋＋y2，，∴∴|AB|2＋＋|AC|2＝＝2x2＋＋2y2＋＋2a2，，|AO|2＝＝x2＋＋y2，，|OC|2＝＝a2，，|AO|2＋＋|OC|2＝＝x2＋＋y2＋＋a2，，∴∴|AB|2＋＋|AC|2＝＝2(|AO|2＋＋|OC|2). [例例3]　求点　求点P0(－－1,2)到下列直线的距离．到下列直线的距离．(1)2x＋＋y－－10＝＝0；；(2)x＝＝2；；(3)y－－1＝＝0. [思路点拨思路点拨]　解答本题可先将直线方程化为一般式，　解答本题可先将直线方程化为一般式，然后直接利用点到直线的距离公式求解，对于然后直接利用点到直线的距离公式求解，对于(2)(3)题题中的特殊直线，也可以借助图像求解．中的特殊直线，也可以借助图像求解．法二：法二：∵∵直线直线x＝＝2与与y轴平行，轴平行，∴∴由图由图(1)知知d＝＝|－－1－－2|＝＝3. [一点通一点通]　　使用点到直线的距离公式时应注意以下使用点到直线的距离公式时应注意以下几点几点 (1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．为一般式，再利用公式求距离． (2)若点若点P在直线上，点在直线上，点P到直线的距离为零，此公到直线的距离为零，此公式仍然适用．式仍然适用． (3)若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而直若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而直接求出，如：接求出，如： ①①点点P(x0，，y0)到到x轴的距离轴的距离d＝＝|y0|；； ②②点点P(x0，，y0)到到y轴的距离轴的距离d＝＝|x0|；； ③③点点P(x0，，y0)到与到与x轴平行的直线轴平行的直线y＝＝a的距离的距离d＝＝|y0－－a|；； ④④点点P(x0，，y0)到与到与y轴平行的直线轴平行的直线x＝＝b的距离的距离d＝＝|x0－－b|.5．求点．求点P(3，－，－2)到下列直线的距离到下列直线的距离d. (1)3x－－4y＋＋1＝＝0；；(2)y＝＝4；；(3)x＝＝0.6．已知点．已知点(a,2)(a>0)到直线到直线x－－y＋＋3的距离为的距离为1，求，求a的值．的值．7．两条平行直线．两条平行直线3x＋＋4y＝＝0与与3x＋＋4y－－5＝＝0间的距离等于间的距离等于 _______．．答案：答案：1 1．利用点到直线的距离公式和平行线间距离公式求．利用点到直线的距离公式和平行线间距离公式求距离时，应首先将方程化为一般式，否则不能硬代入求距离时，应首先将方程化为一般式，否则不能硬代入求值，防止出现错误．值，防止出现错误． 2．利用解析．利用解析(坐标坐标)法来解决几何问题，其解题思路法来解决几何问题，其解题思路。