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群一、填空题1. 设是复数集到复数集的一个映射, 则={_______}.2. 设=(134),=(13)(24), 则=____________________.3. 群的元素的阶是，的阶是，，则 ，如果 = 1，则 _____.4. 设<>是任意一个循环群.若||=，则<>与________________同构；若||=n，则<>与______________同构.5. 设=（14）（235），=（153）（24），则|| = ____， =______.6. 设群的阶为，，则 .7. 设“～”是集合的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是的元素间的一个等价关系. 8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， 是 (奇、偶)置换.9. 设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 .10. 一个群的非空子集做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设为群，若对于任意的元，都有，则称群为 群.12.次对称群的阶是____________.13.设=<>是10阶循环群，则的全部生成元有 ，的子群有 个，分别是 .14.设是群的子群，，则 .15.设=<>是循环群，则与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群中，＝{(1),(123),(132)}是的一个正规子群，则商群中的元素(12)＝.17．如果是与间的一一映射，是的一个元，则 .18.设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设=<>是12阶循环群, 则的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群的一个子群的右陪集（或左陪集）的个数叫做在中的 .22. 设是一个阶群，其中是素数，则的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于 . 25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设是阶群（是素数），则的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设是实数集，规定的一个代数运算，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“”适合如下运算律： .29. 设是群的子群，，则 　　　 .30. 写出三次对称群的子群的一切左陪集 .31. 如果是一个含有15个元素的群，那么，有 个5阶子群，对于，则元素的阶只可能是___________.32.设是一个阶群，其中都是素数，则的真子群的一切可能的阶数是 ，的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群中的元素的阶等于，则的阶等于的充分必要条件是 .34. 设(，)是一个群，那么对于，()－1＝___________.35. 群中元素的阶为，的阶为，则= .36．若一个群的每一个元都是的某一个固定元的方幂，则称为 .37．5-循环置换，那么 .38．设为群，，且对于任意的，有 ，则叫做的正规子群.39. 设为乘群，，则能够使得的最小正整数，叫做的___________.设为加群，，则能够使得 的最小正整数，叫做的阶.40．设τ＝(1243)(235)，那么＝___　　_.是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：则所在的等价类={ ｝.42. 设={}，则到的映射共有________个，到的一一映射共有 ________个，到的映射共有________个（上可以定义 个代数运算）.43. 设是6阶循环群，则的生成元有____________个.44. 非零复数乘群中由生成的子群是____________.45. ，，则的阶数等于 .46．素数阶群的非平凡子群个数等于____________.47. 设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 .48. 设是集合到集合的一个映射,则存在到的映射,使 为 ; 存在到的映射,使为 .49. 若群中的每个元素的阶都有限,则称为 群. 若群中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称为 群.50. 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若,则阶循环群必有阶子群,其阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群的每个子群都是其正规子群,则称为 群.55. 元置换的阶为 ， .二、选择题 1. 设 (实数集)，如果到的映射,则是从到的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)中的所有元素.3.设是以15为模的剩余类加群，那么的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设和都是群中的元素且，那么（ ）.A) B) C) D) .5. 设是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数，有，则=( ).A) {1，-1}; B) {，-}; C) {1， -1，，-}; D) 空集. 6. 设={所有实数}，的代数运算是普通乘法，则以下映射作成到的一个子集的同态满射的是( ).A) B) C) D) .7. 设是实数集，定义乘法，这里为中固定的常数,那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）.A) 1和； B) 1和0； C) -和； D)和.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法; C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设是群,是群中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A) B) C) D) .10. 设是实数集合,规定的元素间的四个关系如下,( )是的等价关系.A); B) ; C) ; D) <0.11.设是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) 中有左单位元，同时中的每个元素都有左逆元；B) 对于中任意元素和，中恰好有一个元素满足=；同时中恰好有一个元素y满足y=； C) 中有单位元，同时中的每个元素都有逆元； D) 在中两个消去律成立.12.设是群的子群，且有左陪集分类. 如果子群H的阶是6，那么的阶（ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群= {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于的四个论述中，正确的个数是( ). (1) 是交换群；(2) 的2阶互异子群有三个；(3) 的3阶互异子群有两个；(4) 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。

A) 2 B) 4 C) 6 D) 815.指出下列那些运算是二元运算（ ）A) 在整数集上，； B) 在有理数集上，；C) 在正实数集上，；D) 在集合上，.16.设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ）.A) 不适合交换律；B)适合结合律；C) 存在单位元；D)每个元都有逆元.17. 设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）.A) 的同态核是的不变子群； B) 的不变子群的逆象是的不变子群；C) 的子群的象是的子群； D) 的不变子群的象是的不变子群.18. 设是两个带有乘法的非空集合，且～，则下列结论不正确的是( ).A) 是群时，也是一个群； B) 是群时，也是一个群； C) 是交换群时，也是交换群； D) 的单位元的象是的单位元.19. 设为实数集，位正实数集，如果到的映射，，则是从到的（ ）.A）满射而非单射; B) 单射而非满射; C) 一一映射; D)既非单射也非满射.20. 设是实数集，定义乘法，那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）.A) 1和1； B) 1和； C) 0和； D) -1和.21. 设是群的正规子群，且关于的商群为五阶群. 如果子群的阶是6，那么群的阶（ ）.A) 6 B) 36 C) 30 D)25.22. 设集合含有个元素，那么的子集共有( )个.A) ! B) C) D) . 23. 下列法则，( )是集合的代数运算.A) = B) =C) = D) =.24. 设={}, 中规定一个代数运算如下表，。

c则关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为( ).A) ，与 B) ，与 C) ，与 D) ，与.25. (素数)阶有限群的子群个数为( ).A) 0 B) 1 C) 2 D) 26. 6元置换（23）（1356）的阶数为（ ）A) 2 B) 4 C) 5 D) 827. 是正有理数集合，下列规定不是的关系的是（ ）A) 是整数； B) 4 C) 5 D) 28. 设集合含有个元素，那么的代数运算共有( )个.A) ! B) 。