理论力学4机械振动基础课后答案.pdf

266 第 4 章 机械振动基础 第 4 章 机械振动基础 4-1 如图 4-1 所示 2 个弹簧的刚度系数分别为 k1 = 5 kN/m，k2 = 3 kN/m物块质量 m = 4 kg求物体自由振动的周期 (a) (b) (c) (d) 图 4-1 解解 根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 m k = 0 ω 周期 0 2 ω π =T (1) 图 4-1a 为 2 弹簧串联，其等效刚度 21 21 eq kk kk k + = )( 21 21 0 kkm kk + =ω 21 21 0 )( 2 2 kk kkm T + ==π ω π 代入数据得 s 290. 0 00030005 000)3000(54 2= × +× π=T (2) 图 4-1b 为 2 弹簧串联（情况同图 a） ，故 T = 0.290 s （3） 图 4-1c 为 2 弹簧并联其等效刚度 keq = k1 + k2 m kk 21 0 + =ω 210 2 2 kk m T + ==π ω π 代入数据得 T = 0.140 s （4） 图 d 为 2 弹簧并联（情况实质上同图 4-1c） ，所以 T = 0.140 s 4-2 1 盘悬挂在弹簧上，如图 4-2 所示。

当盘上放质量为 m1的物体时，作微幅振动， 267 测得的周期为 T1；如盘上换 1 质量为 m2的物体时，测得振动周期为 T2求弹簧的刚度系数 k 解解 盘质量未知，设为 m3，根据单自由度自由振动周期公式 k m Tπ2= 则放置 m1物体时，周期为 k mm T 31 1 π2 + = （1） 放置 m2物体时，周期为 k mm T 32 2 π2 + = （2） 式（1） ， （2）联立，解得 )( )(π4 2 2 2 1 21 2 TT mm k − − = 4-3 如图 4-3 所示，质量 m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度 v = 5 m/s 下降当下降 时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数 k = 400 kN/m 如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力 解解 依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为 A，刚夹住时，吊索处 于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度 v = 0 根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等， 即 Tmax = Vmax 其中 2 max 2 v m T= ， 2 max 2 1 kAV= v k m A= 吊索中的最大张力 mkvmgkAmgF+=+= max 代入数据得 kN 7 .461040020058 . 9200 3 max =××+×=F 4-4 如图 4-4 所示，质量为 m 的重物，初速为零，自高度 h = 1 m 处落下，打在水平梁 的中部后与梁不再分离。

梁的两端固定， 在此重物静力的作用下， 该梁中点的静止挠度 0 δ等 于 5 mm如以重物在梁上的静止平衡位置 O 为原点，作出铅直向下的轴 y，梁的重量不计 写出重物的运动方程 解解 梁在载荷作用下中点静止挠度为 mm 5 0 =δ 梁的刚度系数 0 δ mg k = 重物在梁上振动时受重力和弹性力，梁的运动微分方程 )( d d 0 2 2 ykmg t y m+−=δ mgk= 0 δ 图 4-2 图 4-3 图 4-4 268 ky t y m−= 2 2 d d 即 0 d d 2 2 =+y m k t y （1） 令 2 0 ω= m k ，由于 0 δ mg k = 故 rad/s 3 .44 5 8009 0 0 === δ ω g 设微分方程（1）的解为 tCtCy 0201 cossinωω+= （C1，C2为待定常数） 重物自高度 h 落下至静平衡位置时的速度，可由动能定理确定 2 00 2 2 1 )( 2 1 δδkhmgym−+=& 即 m/s 43. 4) 2 005. 0 0 . 1 (8 . 92) 2 (2 0 =+××=+= δ hgy& 由初始条件： t = 0 时， y = - 5 (mm) ，m/s 43. 42≈=ghy& 可以确定 C1 = 100 mm， C2 = - 5 mm 故得重物的运动方程 y =（100sin 44.3t - 5cos 44.3t）mm 4-5 质量为 m 的小车在斜面上自高度 h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图 4-5a 所示。

缓 冲弹簧的刚度系数为 k，斜面倾角为θ求小车碰着缓冲器后自由振动的周期与振幅 m O x θ h k 0 δ k F N F gm x x O θ (a) (b) (c) 图 4-5 解解 取小车为研究对象，假设斜面光滑，选静平衡位置为原点，沿斜面向下为轴 x 的正 向当弹簧压缩量为 x 时，小车受恢复力 )( 0 δ+=xkF 0 δ为弹簧的静压缩量，显然 k mgθ δ sin 0 =（受力如图 4-5c 所示） 小车自由振动微分方程 )(sin 0 δθ+−=xkmgx m& & 即 0=+x m k x & & （1） 令 m k = 2 0 ω 269 周期 k m Tπ ω π 2 2 0 == 设微分方程（1）的解为 )cos(ϕ+=t m k Ax 当 t = 0 时， 00 δ−=x，ghx2 0 =& 解得 振幅 k mgh A 2 2 0 +=δ)2 sin ( 2 h k mg k mg += θ 4-6 如图 4-6a 所示，1 小球的质量为 m，紧系在完全弹性的线 AB 的中部，线长 2l 设线完全拉紧时张力的大小为 F，当球作水平运动时，张力不变。

重力忽略不计证明小球 在水平线上的微幅振动为谐振动，并求其周期 A B O x θ F m F (a) (b) 图 4-6 解解 取小球为研究对象，建立水平向右的轴 Ox，坐标原点 O 取在小球的平衡位置，小 球受力如图 4-6b 所示，根据质点运动微分方程在轴 x 方向的投影有 θsin2Fxm−=& & 当球作微振动时θ角很小，有 l x =≈θθtansin 原方程改写成 0 2 =+x ml F x& & 令 ml F2 2 0 =ω，则 0 2 0 =+xxω& & 可见球的侧向运动为谐振动，周期 F ml T 2 2 2 0 π ω π == 4-7 质量为 m 的杆水平地放在 2 个半径相同的轮上，2 轮的中心在同 1 水平线上，距离 为 2a2 轮以等值而反向的角速度各绕其中心轴转动，如图 4-7a 所示杆 AB 借助与轮接触 点的摩擦力的牵带而运动，此摩擦力与杆对滑轮的压力成正比，摩擦因数为 f如将杆的质 心 C 推离其对称位置点 O，然后释放 （1）证明质心 C 的运动为谐振动，并求周期 T； （2） 若 a = 250 mm，T = 2 s 时，求摩擦因数 f。

270 1 F 2 F x x OC aa 1N F 2N F B (a) (b) 图 4-7 解解 取杆 AB 为研究对象，其受力如图 4-7b 所示以杆 AB 质心在静平衡位置（即对称 位置 O）为坐标轴的原点 O (1) 杆作水平方向（轴 x 方向）平移，所以 0, 0==α C y & & 根据平面运动微分方程有 xmFF& &=− 21 （1） 0 21 =−′+′mgFF （2） 0)()( 12 =+′−−′xaFxaF （3） 式中 2211 ,FfFFfF′=′= 由式（2） ， （3）解得 mg a xa F 2 1 − =′，mg a xa F 2 2 + =′ 把 1 F′ 及 2 F′ 值代入式（1） ，得 x a fmg xm−=& & 即 0=+x a fg x& & 令 a fg = 2 0 ω，则上式可写为 0 2 0 =+xxω& & 因此，证明了杆 AB 的质心 C 作谐振动，其周期 fg a Tπ ω π 2 2 0 == （2） fg a Tπ2= gT a f 2 2 π4 = 把有关数据代入，得滑动摩擦因数 25 . 0 8 . 92 25. 04 2 2 = × ×π =f 4-8 图 4-8a 所示均质杆 AB，质量为 m1，长为 3l，B 端刚性连接 1 质量为 m2的物体， 其大小不计。

杆 AB 在 O 处为铰支，两弹簧刚度系数均为 k，约束如图求系统的固有频率 解解 取杆 AB 与物体 B 为研究对象设杆在水平位置时为其静平衡位置，两弹簧静变形 均为 st δ，当杆偏离静平衡位置 1 微小角度θ时，其受力如图 4-8b图中 )( st1 δθ+=lkF，)( st2 δθ+=lkF 由刚体定轴转动微分方程有 271 )(2 2 1 2 st12 δθθ+−+=lklglmglmJO & & （1） 2 F B A g 1 m g 2 m 1 F Oy F Ox F θ C O (a) (b) 图 4-8 系统在静平衡位置时有 02 2 1 2 st12 =−+δklglmglm （2） 式（2）代入式（1） ，得 02 2 =+θθklJO & & 0 2 2 =+θθ O J kl & & （3） 2 21 2 2 2 1 2 1 )4()2() 2 ()3( 12 1 lmmlm l mlmJO+=++= 式（3）可改写为 0 4 2 21 = + + mm kθ θ& & 系统的固有频率 21 0 4 2 mm k + =ω 从题 4-4，4-5 及本题解中可看出，系统若在弹性力和某种不变力（如重力）作用下自 由振动时，如取系统在两种力作用下的静平衡位置为坐标原点，则运动微分方程为 0=+kxxm& & 这时，不变力已与弹簧的静变形弹力抵消，不再写入方程，使方程成为齐次方程。

可简化计 算 4-9 均质杆 AB = l，质量 m，其两端销子可分别在水平槽、铅垂槽中滑动，0=θ为静 平衡位置不计销子质量和摩擦，如水平槽内 2 弹簧刚度系数皆为 k，求系统微幅振动的固 有频率又问，弹簧刚度为多大，振动才可能发生 A B θ& θ O C x x y P C v (a) (b) 图 4-9 解解 见图 4-9b θsinlx = 272 θ& 2 l vC= 22222 612 1 2 1 ) 2 ( 2 1 θθθ &&& l m ml l mT=⋅⋅+= 以 y = 0 位置的重力势能为 0，则 2 )sin( 2 2cos 2 θθl k mg l V+⋅= θθθ θ θ θ sin 2 cossin2 3 )( d d 2 2 mg l kl V l mT t −= ∂ ∂ = ∂ ∂ & & & 代入拉氏方程，得 0sin) 2 cos2( 3 22 =−+θθθmg l kll m & & 0sin) 2 3 cos 6 (=−+θθθ l g m k & & 微振动时，θθθ≈≈ 4-10 如图 4-10a 所示，均质细杆 AB 长为 l，质量为 m，在点 D 挂有倾斜弹簧，弹簧 的刚度系数为 k。

杆的尺寸如图 4-10a 所示求杆处于水平和铅直位置两种情况下微幅振动 的固有频率 (a) (b) A B A′ E ϕ C D 1 D D′ F °45 A A′ E F ϕ D B 1 D D′ C °45 (a1) (b1) 图 4-10 273 解解 （a）设杆 AB 在水平时为其静平衡位置，杆运动时偏离水平的角为ϕ杆作自由 振动时，设其转角变化规律为 )sin(。