高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系课件2北师大版必修.ppt

3.13.1　同角三角函数的基本关系　同角三角函数的基本关系【【知知识识提提炼炼】】同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系sinsin2 2αα+cos+cos2 2αα=1=1 【【即即时时小小测测】】1.1.思考下列思考下列问题问题: :(1)(1)同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式对对任意角任意角αα都成立都成立吗吗? ?提示提示: :同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义. .所以所以sinsin2 2αα+cos+cos2 2αα=1=1对于任意角对于任意角α∈α∈R R都成立都成立, ,而而 = =tantanαα并不是并不是对任意角对任意角α∈α∈R R都成立都成立, ,这时这时α≠α≠k kππ+ ,+ ,k k∈∈Z Z. .(2)(2)在利用平方关系求在利用平方关系求sinαsinα或或cosαcosα时时, ,其正其正负负号号应应怎怎样样确定确定? ?提示提示: :其正负号是由角其正负号是由角αα所在的象限决定所在的象限决定. .2.2.已知已知 则则tanαtanα= =　　( (　　　　) )A.2 B.-2 C. D.-A.2 B.-2 C. D.-【【解析解析】】选选B.B.因为因为 所以所以 3.tan135°·cos135°=________.3.tan135°·cos135°=________.【【解析解析】】原式原式= = ··cos135cos135°°=sin135=sin135°°=sin(180=sin(180°°-45-45°°) ) =sin45=sin45°°= .= .答案答案: :4.4.若若sinθsinθ=- ,=- ,tanθtanθ>0,>0,则则cosθcosθ=______.=______.【【解析解析】】因为因为sinsinθθ=- ,=- ,tantanθθ>0,>0,所以所以coscosθθ<0.<0.所以所以 答案答案: :- -5. =________.5. =________.【【解析解析】】因为因为 所以所以 答案答案: :coscos【【知识探究知识探究】】知知识识点点 同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系观观察如察如图图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题问题: :问题问题1:1:同角三角函数的基本关系是什么同角三角函数的基本关系是什么? ?它它们们成立的前提条件是什么成立的前提条件是什么? ?问题问题2:2:同角三角函数的基本关系有什么作用同角三角函数的基本关系有什么作用? ?【【总结总结提升提升】】1.1.适用的前提条件适用的前提条件必必须须在等式两在等式两边边均有意均有意义义的前提下才能使用的前提下才能使用, ,如式子如式子tan90°=tan90°=不成立不成立. .2.2.对对““同角同角””的理解的理解同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数的基本关系式揭示了““同角不同名同角不同名””的三角函数的运算的三角函数的运算规规律律, ,这这里里,“,“同角同角””有两有两层层含含义义: :一是一是““角相同角相同””, ,如如 与与 ,2α,2α与与2α2α都是同角都是同角, ,二是二是对对““任意任意””一个角一个角( (在使函数有意在使函数有意义义的前提下的前提下).).关关系式成立与角的表达形式无关系式成立与角的表达形式无关, ,如如 3.3.应应用平方关系的注意点用平方关系的注意点在在应应用平方关系求用平方关系求sinαsinα或或cosαcosα时时, ,其正其正负负号是由角号是由角αα所在的象限决所在的象限决定的定的, ,不可凭空想象不可凭空想象. .4.4.同角三角函数基本关系的常用等价同角三角函数基本关系的常用等价变变形形(1)sin(1)sin2 2α=1-cosα=1-cos2 2α,cosα,cos2 2α=1-sinα=1-sin2 2α.α.(2)sinα=cosαtanα,cosα= .(2)sinα=cosαtanα,cosα= . 【【题型探究题型探究】】类类型一型一 利用同角基本关系式求利用同角基本关系式求值值【【典例典例】】1.1.若若tanαtanα=2,=2,则则 的的值为值为　　( (　　　　) )A.0 B. C.1 D.A.0 B. C.1 D.2.2.已知已知sinθ+sinsinθ+sin2 2θ=1,θ=1,求求3cos3cos2 2θ+cosθ+cos4 4θ-2sinθ+1θ-2sinθ+1的的值值. .【【解解题题探究探究】】1.1.典例典例1 1中如何将所求的式子中如何将所求的式子转转化化为为关于关于tanαtanα的式子的式子? ?提示提示: :将分子、分母同时除以将分子、分母同时除以coscosαα. .2.2.典例典例2 2中由已知条件得出中由已知条件得出sinθsinθ与与coscos2 2θθ的关系是什么的关系是什么? ?提示提示: :由由sinsinθθ+sin+sin2 2θθ=1=1得得sinsinθθ=1-sin=1-sin2 2θθ=cos=cos2 2θθ, ,即即sinsinθθ=cos=cos2 2θθ. .【【解析解析】】1.1.选选B.B.分子、分母同时除以分子、分母同时除以coscosαα(cos(cosα≠α≠0)0)得得, ,2.2.由已知条件得由已知条件得sinθsinθ=1-sin=1-sin2 2θ=cosθ=cos2 2θ,θ,所以所以3cos3cos2 2θ+cosθ+cos4 4θ-θ-2sinθ+1=3sinθ+sin2sinθ+1=3sinθ+sin2 2θ-2sinθ+1=sinθ+1-cosθ-2sinθ+1=sinθ+1-cos2 2θ+1=sinθ+2-θ+1=sinθ+2-sinθ=2.sinθ=2.【【方法技巧方法技巧】】关于关于sinα,cosαsinα,cosα的的齐齐次式的求次式的求值问题值问题关于关于sinα,cosαsinα,cosα的的齐齐次式就是式子中的每一次式就是式子中的每一项项都是关于都是关于sinαsinα, , cosαcosα的式子的式子, ,且它且它们们的次数之和相同的次数之和相同, ,其求解策略其求解策略为为: :可用原式的分子、可用原式的分子、分母的各分母的各项项分分别别除以除以coscosn nα(n∈Nα(n∈N+ +),),这样这样可以将原式化可以将原式化为为关于关于tanαtanα的的表达式表达式, ,再整体代入再整体代入tanαtanα=m=m的的值值, ,从而完成求从而完成求值值任任务务. .【【变变式式训练训练】】已知已知tanαtanα= ,= ,且且αα是第三象限角是第三象限角, ,求求sinα,cosαsinα,cosα的的值值. .【【解析解析】】由由 又又sinsin2 2α+cosα+cos2 2α=1α=1　　②②由由①②①②得得 coscos2 2α+cosα+cos2 2α=1,α=1,即即coscos2 2α= .α= .又又αα是第三象限角是第三象限角, ,所以所以 类类型二型二 三角函数式的化三角函数式的化简简【【典例典例】】1.1.函数函数f(xf(x)= )= 　　( (　　　　) )A.A.在在 上是增加的上是增加的B.B.在在 上是增加的上是增加的, ,在在 上是减少的上是减少的C.C.在在 上是减少的上是减少的D.D.在在 上是减少的上是减少的, ,在在 上是增加的上是增加的2.2.化化简简: : 其中其中αα为为第四象限角第四象限角. .【【解解题题探究探究】】1.1.典例典例1 1中研究函数中研究函数f(xf(x) )的的单调单调性的关性的关键键是什么是什么? ?提示提示: :将将f(xf(x) )化简为化简为tanxtanx的形式的形式. .2.2.典例典例2 2中去掉根号的方法是什么中去掉根号的方法是什么? ?提示提示: :根据平方关系去掉根号根据平方关系去掉根号. .【【解析解析】】1.1.选选D.D.在在 区间上区间上, ,所以其在所以其在 上递增上递增, ,在在 上递减上递减. .2.2.因为因为αα是第四象限角是第四象限角, ,所以所以cosαcosα>0,>0,所以所以 【【延伸探究延伸探究】】1.(1.(变变 换换 条条 件件 ) )若若 将将 典典 例例 题题 2 2中中 的的 关关 于于 角角 αα的的 题题 设设 条条 件件 改改 为为sinα·tanαsinα·tanα<0,<0,结结果如何果如何? ?【【解解析析】】由由于于sinsinα·α·tantanαα<0,<0,则则sinsinαα,tan,tanαα异异号号, ,所所以以αα是是第第二二、、三象限角三象限角, ,所以所以coscosαα<0,<0,所以所以 2.(2.(变换变换条件条件) )若将典例若将典例2 2中中““αα为为第四象限角第四象限角””的条件去掉的条件去掉, ,结结果怎果怎样样? ?【【解析解析】】 【【方法技巧方法技巧】】三角函数式化三角函数式化简简的三种常用技巧的三种常用技巧(1)(1)化化切切为为弦弦, ,即即把把正正切切函函数数都都化化为为正正、、余余弦弦函函数数, ,从从而而减减少少函函数数名名称称, ,达到化繁达到化繁为简为简的目的的目的. .(2)(2)对对于于含含有有根根号号的的, ,常常把把根根号号里里面面的的部部分分化化成成完完全全平平方方式式, ,然然后后去去根根号达到化号达到化简简的目的的目的. .(3)(3)对对于于化化简简含含高高次次的的三三角角函函数数式式, ,往往往往借借助助于于因因式式分分解解, ,或或构构造造sinsin2 2α+cosα+cos2 2α=1,α=1,以降低函数次数以降低函数次数, ,达到化达到化简简的目的的目的. .【【补偿训练补偿训练】】1.1.化化简简: =________.: =________.【【解解题题指指南南】】把把1-2sin101-2sin10°°cos10cos10°°配配凑凑成成(cos10(cos10°°-sin10-sin10°°) )2 2即即可可开方开方. .【【解析解析】】 答案答案: :-1-12.2.化化简简:cos:cos4 4α+sinα+sin2 2α(1+cosα(1+cos2 2α).α).【【解析解析】】原式原式=cos=cos4 4αα+sin+sin2 2ααcoscos2 2αα+sin+sin2 2αα=cos=cos2 2α(cosα(cos2 2α+sinα+sin2 2α)+sinα)+sin2 2α=cosα=cos2 2α+sinα+sin2 2α=1.α=1.类类型三型三 三角函数式的三角函数式的证证明明【【典例典例】】1.1.求求证证:sin:sin4 4α-cosα-cos4 4α=2sinα=2sin2 2α-1.α-1.2.2.求求证证:sinθ(1+tanθ)+cosθ :sinθ(1+tanθ)+cosθ 【【解解题题探究探究】】1.1.典例典例1 1中等式左中等式左边边如何如何实现实现降降幂幂? ?提示提示: :因式分解后利用平方关系因式分解后利用平方关系. .2.2.典例典例2 2中左右两中左右两边边的差异是什么的差异是什么? ?如何消除差异如何消除差异? ?提提示示: :差差异异有有两两点点: :一一是是函函数数名名称称, ,二二是是式式子子的的形形式式. .可可通通过过切切化化弦弦来来消消除差异除差异. .【【证明证明】】1.1.左边左边=(sin=(sin2 2α+cosα+cos2 2α)(sinα)(sin2 2α-cosα-cos2 2α)α)=sin=sin2 2α-cosα-cos2 2α=sinα=sin2 2α-(1-sinα-(1-sin2 2α)=2sinα)=2sin2 2α-1=α-1=右边右边, ,所以所以sinsin4 4α-cosα-cos4 4α=2sinα=2sin2 2α-1.α-1.2.2.左边左边= = = =右边右边, ,原式得证原式得证. .【【延伸探究延伸探究】】将典例将典例题题2 2中的式子改中的式子改为为““ ”, ”,如何如何证证明明? ?【【证明证明】】左边左边= = = =右边右边. .所以所以 【【方法技巧方法技巧】】1.1.利用同角关系利用同角关系证证明三角恒等式常用的途径明三角恒等式常用的途径(1)(1)由左由左边边推至右推至右边边, ,或由右或由右边边推至左推至左边边, ,遵循的是化繁遵循的是化繁为简为简的原的原则则. .(2)(2)两两边夹边夹法法, ,即左即左边边=A,=A,右右边边=A,=A,则则左左边边= =右右边边, ,这这里的里的A A起着起着桥桥梁的作梁的作用用. .(3)(3)左左边边- -右右边边=0,=0,或或 =1,=1,通通过过作差或作商作差或作商, ,将原式将原式转转化化为为一个等一个等价的、更便于价的、更便于证证明的等式明的等式. .2.2.证证明明过过程中的三个注意程中的三个注意(1)(1)注意化繁注意化繁为简为简, ,化切化切为为弦弦. .(2)(2)注意公式的注意公式的变变式运用式运用. .如如1±2sinαcosα=(sinα±cosα)1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2 2 等等. .(3)(3)注注意意为为分分式式运运算算时时, ,要要把把握握通通分分的的时时机机, ,不不要要随随意意通通分分, ,争争取取在在变变式式化化简时简时往同分母的方向化往同分母的方向化简简. .【【变变式式训练训练】】求求证证: : 【【解题指南解题指南】】将等号右边式子的分子分母同乘以将等号右边式子的分子分母同乘以( (tantanαα-sin-sinαα),),利利用用tantanαα= = 和和sinsin2 2αα+cos+cos2 2αα=1=1向等号左边式子进行转化向等号左边式子进行转化; ;也可利也可利用用tantanαα= = 将等号左、右两边式子进行切化弦将等号左、右两边式子进行切化弦, ,结合结合sinsin2 2αα+cos+cos2 2αα=1=1达到两边式子相等的目的达到两边式子相等的目的. .【【证明证明】】右边右边= == =左边左边. .原式得证原式得证. .【【补偿训练补偿训练】】求求证证: : 【【证明证明】】方法一方法一:sin:sin2 2α+cosα+cos2 2α=1α=1⇒ ⇒1-cos1-cos2 2α=sinα=sin2 2αα⇒ ⇒(1-cosα)(1-cosα)··(1+cosα)=(1+cosα)=sinαsinα··sinαsinα⇒ ⇒ 方法二方法二: : 所以所以 易易错错案例案例 已知三角函数已知三角函数值值, ,求三角函数式的求三角函数式的值值【【典例典例】】(2015·(2015·西安高一西安高一检测检测) )若若sinAsinA= ,= ,且且A A是三角形的一个内是三角形的一个内角角, ,则则 =______.=______.【【失失误误案例案例】】【【错错解分析解分析】】分析上面的解析分析上面的解析过过程程, ,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗? ?提示提示: :错误的根本原因是忽略讨论三角函数值的符号错误的根本原因是忽略讨论三角函数值的符号, ,实际上本题由实际上本题由sinAsinA= = 及及A A是三角形的一个内角是三角形的一个内角. .说明说明A A是锐角或钝角是锐角或钝角, ,那么那么cosAcosA就就有正、负之分有正、负之分. .【【自我矫正自我矫正】】因为因为sinAsinA= >0,= >0,所以所以A A为锐角或钝角为锐角或钝角, ,当当A A为锐角时为锐角时, ,cosAcosA= = 所以原式所以原式=6.=6.当当A A为钝角时为钝角时, ,cosAcosA= = 所以原式所以原式= = 答案答案: :6 6或或- -【【防范措施防范措施】】挖掘挖掘题设题设条件条件, ,准确准确计计算算使用开方关系使用开方关系sinαsinα=± =± 和和cosαcosα=± =± 时时, ,一定要注意一定要注意正正负负号的号的选选取取, ,确定正确定正负负的依据是角的依据是角αα所在的象限所在的象限, ,如果角如果角αα所在的象所在的象限是已知的限是已知的, ,则则按三角函数按三角函数值值在各个象限的符号来确定正在各个象限的符号来确定正负负号号; ;如果角如果角αα所在的象限是未知的所在的象限是未知的, ,则则需按象限需按象限进进行行讨论讨论. .。