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第第 6 章 概率统计方法模型章 概率统计方法模型 在对实际问题进行数学建模的过程中，人们经常遇到随机性的不确定问题，用传统的数学建模 方法难以解决此时，就需要基于概率论和数理统计知识，运用概率统计的方法建立数学模型，对 实际问题进行求解，揭示事物发展的基本规律本章详细介绍用概率统计方法建模的基本思路，结 合实际的案例，指出如何用随机变量和概率分布来描述随机不确定事件，说明求解概率统计类模型 的一般过程，并指出该类数学模型在社会调查、影响因素分析、发展趋势模拟等方面的广泛应用 §6.1 概率模型与 Monte Carlo 模拟 6.1.1 概率模型 概率模型 （1）传染病随机模型 在各种传染病的流行过程中，无论健康人还是病人，任何两个人之间接触的机会都是随机的， 而且当健康人与病人接触时，健康人是否被传染也是一个随机的事件我们通过建立传染病随机模 型来分析这些随机规律 假设人群总的规模为 N，在总人群中，病人的数量为 m，健康人的数量为 s，即满足 N=m+s 在人们的日常生活中，任意两人之间（包括健康人和病人）接触的概率相同，每人平均与 k 个人接 触当健康人和病人接触时，被传染的概率为 p。

在以上假设的参数中，m 和 s 通常是已知的，k 和 p 可以通过专家的经验和统计数据获得我们分析的目的是寻找健康人群中每天平均被感染的人数 与已知参数之间的关系，以及初始参数对传染病的扩散速度和流行趋势的影响 我们首先以每一名健康人为研究对象，探讨其每天被感染的概率，而每一名健康人被一名指定 病人接触并传染的概率等于每名健康人与指定传染者接触的概率乘以接触时感染的概率记人群中任意两人接触的概率为 q，则对每一名健康人来说，其每天接触的人数服从二项分布，分布函数为 -1 -1{ = }=()lln-l nPlCq 1q, （6.1.1） 这个分布的期望为 k，即(1)k = nq，进而=(1)q k n 这样，一名健康人被一名指定病人接触并感染的概率为 1==1pkppqn . 进一步，对人群中的每一名健康人来说，其每天不被感染的概率为()mp，被感染的概率为 2=1()mpp . （6.1.2） 所以，对人群中的所有健康人来说，每天被感染的人数服从二项分布，分布函数为 22{ = }=()lls l sPlC p 1p, （6.1.3） 每天被感染的人数期望为2=sp，标准差为 22( )= s(1)pp  为了得到简明的结果，对2p进行近似计算，由于通常人群的总数nk，且根据 Talyor 展开，得 2=1() =1(1+)11n1mpkmpkmpkpnn ， 因此， 2()===n1n-1smpks n- s pksp. （6.1.4） 通过式（6.1.4）可以看出平均每天被感染的人数与 s、m、p 和 k 之间的关系。

进而可以度量平均每 天被感染人数的相对误差即 ( )=nmpk smpk  （6.1.5） 由式（6.1.4）可以看出，对于健康人群来说，每天平均被感染的人数与人群中每人每天平均接触的人数 k，健康人与病人接触时被感染的概率 p 成正比当 n，p，k 都确定的情况下，1=2sn时，也就是在整个人群中，病人和健康人的数量各占一半时，每天被感染的人数达到最大 为了对传染病的传染过程有一个直观的了解，假设一个人口总量 n=10000 的人群，在日常生活 中，平均每人每天接触的人数 k=18，健康人与病人接触时被感染的概率 p=10%，对于不同的 m，平均每天被感染人数与相对误差( ) 的变化趋势如图 6.1.1 和图 6.1.2 所示可见被感染人数随着病人数量的增大而增大，直到病人数量占总人群数量的一半时达到最大，随后呈下降趋势随着 病人人口的增加每天被感染人数的相对误差一直呈减少趋势，尤为明显的是病人数量增长的前期， 相对误差急剧减少 图图 6.1.1 平均每天被感染人数的趋势图平均每天被感染人数的趋势图 图图 6.1.2 平均每天被感染人数的相对误差趋势平均每天被感染人数的相对误差趋势 R 编程如下： crb c>a。

从过上述假设，报童每正常卖掉一份报纸利润为sc，退回一份赔ca，由于需求量事先无法确定，是随机的若通过以往销售的经验了解到需求量的随机规律，销售r份的概率为( )P r，0,1, 2,r我们根据( )P r以及报纸的进价、零售价和剩余退回价格来建立优化模型，求解最优的订购量 假设报童早晨购进报纸的量为 n，则rn 或 rn，所以每天的收入也是不确定的这里考虑报童在不同销售情况下，建立每天销售收入的期望函数( )R n，则 01( )[()()()] ( )()( )nrr nR nsc rca nr P rsc nP r （6.2.1） 接下来求当 n 为何值时，( )R n达到最大？由于 r 为离散的，这里用差分的方法来求式（6.2.1）的极值令 ( )(1)( )R nR nR n 102[()()(1)] ( )()(1) ( )nrr nsc rca nr P rsc nP r  01[()()()] ( )()( )nrr nsc rca nr P rsc nP r 101(1)()( )()( )()( )nr nrr nnscP rcaP rsc nP r  10()( )()( )nr nrscP rcaP r 令( )0R n，且10( )( )1nr nrP rP r ，则 0( )nrscP rsa（6.2.2） 也就是说，当( )P r，a，s 和 c 具体确定时，n 即可确定。

例例 6.2.1 某服装店出售某款夏季时装该款衣服成本 100 元，售价 200 元如整个夏季不能售 出，则必须降价为 70 元设降价后一定可以售出，已知售货量 r 服从泊松分布 ( )!reP rr  为平均出售数，根据以往经验，平均出售数为 120 件问该店的订货量应该为多少单位？ 解：解： 由题意知：s=200，a=70，c=100 代入式（6.2.2） ，可得 020010010( )2007013nrP r编程如下： poisson=(10/13)) break} f; i 可得1270( )0.7829rP r且1260( )0.7558rP r，所以1260( )0.7558rP r更接近于 10/13故，最佳订购量应该为 126 件 6.2.2 随机库存模型 随机库存模型 由于市场对于商品的需求是随机变量，事前难以知道需求的准确数值此时，无论工厂或商店 无法决定存贮策略，从存贮的角度来考虑，假设在一个阶段开始的时刻原有的库存为 I，如供应不足 则须承担缺货费，如供应有余，则多余的部分仍须存贮起来有余存在这种不确定性，就需要计算 随机变量的期望值，从而定出最佳的存贮量。

我们考虑一个时间段落做下列符号假设： 原有的存贮量为 I； 存贮货物的单价为 k； 订购一次的订购费为 C1，如订货量为 Q 时，所需要的订货费为1CkQ； 单位货物的存贮费为2C，缺货费为3C； 需求量为 r 的概率为( )P r 当本阶段开始时，订货量为 Q，存储量达到 I+Q则本阶段所需要的各种费用由订货费、存贮 费和缺货费构成 订货费：1CkQ； 存贮费：当需求rIQ时，未能售出的存贮部分必须付存贮费；rIQ时，不需要付存贮费因此，所需要存贮费的期望值为：2() ( )r I QCIQr P r 当rIQ时，不付存贮费及缺货费 缺货费：当需求rIQ时，则会发生缺货现象，必须付缺货费缺货费用的期望值为： 3() ( )r I QC rIQ P r 综上，在整个阶段所需的订货费、缺货费及存贮费的期望之和为： 123()() ( )() ( )r I Qr I QC IQCkQCIQr P rC rIQ P r  （6.2.3） 为简便起见，记SIQ，则式（6.2.3）即为 123( )() ( )() ( )r I Qr I QC SCkQC Sr P rC rS P r  （6.2.4） 求 S 值使 C(S)达到最小。

将需求 r 的随机值按大小顺序排列为：011, ,, ,,,iimr rr rr，其中1iirr，10iiirrr  ，（0,1,,1im） S 只从011, ,, ,,,iimr rr rr中取值 当 S 取值为ir时， 记为iS， 则1iiiSSS 10iirrr  与 newsboy 模型中求极值的方法类似，我们求( )C S的最小值 11+1112131123()()() ( )() ( )()()() ( )() ( )iiiiiiii r Sr Siiii r Sr SC SCk SIC Sr P rC rSP rC SCk SIC Sr P rC rS P r  （6.2.5） 记1()()()iiiC SC SC S，则 23()( )( )iiiiii r Sr SC Sk SCSP rCSP r 233()( )iiii r Sk SCCSP rCS (6.2.6) 令()0iC S，由于0iS，所以，我们有 233()( )0ir SkCCP rC323( )0ir SCkP rCC（6.2.7） 式（6.2.7）右端的数值称为临界值，记为323Ck CC。

我们选使不等式( )ir SP r成立的iS得最小值为 S，则订货量为QSI 模型中还有一个问题需要我们解决，那就是原库存消耗到什么水平时，需要订货？假设这一水平是 s，当Is时，可以不订货，当Is时要订货，使库存达到 S，订货量为QSI要想确定 s，首先需要考察不等式 23() ( )() ( )r sr sksC sr P rC rs P r123() ( )() ( )r Sr SCkSC Sr P rC rS P r（6.2.8） 因 s 也只能从011, ,, ,,,iimr rr rr中取值，使式（6.2.8）成立的ir（irS）值中最小者定为 s当sS时，式（6.2.8）左端缺货费用的期望值虽然在增加，但订货费及存贮费期望值都在减少在最 不利的情况下，如sS时，不等式使成立的，因此 s 值一定存在 例例 6.2.2 某汽车零部件生产企业，对某型号钢材的需求量的概率为： 需求量（吨） 80 90 100 110 120 P(r) 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 已知每吨钢材的购价为 k=7500 元，订货费为12825C 元，存贮费2100C 元，缺货费39000C 元。

求该企业最优的存贮策略 解：解： （1）临界值 323850075000.1161008500Ck CC另外，(80)0.10.116P r 且(80)(90)0.30.116P rP r，因此，S=90 吨为最优订货量 （2）利用式（6.2.8）求 s：由于 S=90，式（6.2.8）右端为 28。