潜心研读教材致力学生发展——“圆锥曲线”教学设计与反思.pdf

潜心研读教材 致力学生发展— — —“ 圆锥曲线” 教学设计与反思昌 明 （ 江苏省扬州市教育科学研究院 ２ ２ ５ ０ ０ ７）作者简介： 昌明， 江苏宝应人，１ ９ ８ ６年７月毕业于扬州师范学院数学系（ 今扬州大学数学科学学院） ，２ ０ ０ ８年被评为江苏省中学数学特级教师，２ ０ １ ２年被评为扬州市有突出贡献的中青年专家，２ ０ ０ ８年任扬州大学兼职硕士生导师．在《 数学通报》 等省级以上刊物发表论文３ ０余篇， 主持过多项省级课题．从教三十年， 在长期的教学中形成了“ 亲切自然， 结构严谨， 生动活泼” 的教学风格．１ 基本情况１． １ 学情分析 本节授课对象是江苏省四星级高中二年级学生， 有一定的自主探究能力．高二年级的学生经历了“ 平面解析几何初步”的学习， 已经掌握了直线和圆的几何要素以及代数表示， 初步地了解了解析几何的思想和用解析几何思想解决问题的方法．在日常生活中学生已对圆锥曲线的概念、 形状有了一定的感受， 但还缺少深度的理解和系统的研究．１． ２ 教材分析 苏教版教材“ 圆锥曲线与方程”这一章内容的组织方法采用的是先把椭圆、 双曲线、 抛物线合起来作为一个整体先讨论它们的定义， 再分别研究它们的方程、 几何性质及应用， 使学生对圆锥曲线有一个统一认识．本节课内容是让学生从整体上认识三种圆锥曲线．教材用平面对圆锥面的不同的截法产生三种不同的圆锥曲线， 使学生经历概念的形成过程， 并用Ｄ ａ ｎ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ双球证明了椭圆上的点的几何性质， 最终给出了圆锥曲线的轨迹定义．历史上， 圆锥曲线最初被看做是用平面从不同角度截割锥体所得到的曲线．到了１ ６世纪， 对运动与 变 化的 研 究 已变 成 自 然科 学 的中 心 问题［１］．行星绕日运动和抛体运动要求人们用运动和变化的观点研究圆锥曲线， 将圆锥曲线看成是满足某种条件的动点运动轨迹更能描述自然界的变 化 规 律． １ ８ ２ ２年， 比 利 时 数 学 家 旦 德 林（Ｇ ｅ ｒ ｍ ｉ ｎ ａ ｌ Ｐ ｉ ｅ ｒ ｒ ｅＤ ａ ｎ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ） 利用在圆锥与截面之间放入两个内切球， 非常巧妙地证明了截线定义与轨迹定义的一致性．由此可见， 教材的这种安排正应合了圆锥曲线的发展历史．教学目标 （１）通过用平面截圆锥面， 经历 从具体情境中抽象出圆锥曲线模型的过程， 感知圆锥曲线的定义； （２）通过创设情境， 激发学习数 学的兴趣， 养成用数学的眼光观察生活的意识；（３）在探索椭圆几何特征的过程中， 掌握圆锥曲线的轨迹定义， 感受圆锥曲线概念的历史发展， 提升直观想象力和逻辑推理能力．教学重点 引导学生探究圆锥曲线的轨迹定义．教学难点 旦德林双球的发现及圆锥曲线几何特征的证明．２ 教学过程２． １ 创设情境 ·引入历史， 模型演示师： 在公元前３世纪前后， 古希腊学者梅内赫莫斯、 欧几里德、 阿基米德、 阿波罗尼斯等发现并研究了一类曲线： 用一个平面截圆锥面所得到的曲线．很显然， 当平面经过圆锥面的顶点时， 可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面的轴垂直时， 截得的图形是一个圆．用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？（ 结合实物模型演示让学生观察、 猜想）生： 椭圆、 抛物线、 双曲线．师： 什么是椭圆、 抛物线、 双曲线呢？这些曲线具有哪些几何特征？·４·中学数学月刊 ２ ０ １ ７年第１ ２期·观察实验， 建立联系观察实验： 一个球在点光源犛的照射下的投影， 当点光源犛的位置变化时， 投影轮廓有哪些变化？师： 这一生活实例与古希腊人用平面截圆锥面的模型有联系吗？生１： 在点光源犛的照射下的投影轮廓也是圆、 椭圆、 抛物线、 双曲线等图形．生２： 如果把投影看成一个截面， 与球相切的光线看成是圆锥面的母线， 它们的本质是一样的，只不过球的投影模型中多一个球．２． ２ 数学建构 ·活动探究师： 当点光源犛在球的正上方时投影的轮廓是什么图形？投影的轮廓上的点有什么性质？生： 圆！圆上的点到圆心的距离是一个定值．图１师： 现在我们来研究投影的轮廓是椭圆的情形．请同学们继续看投影的变化： 缓慢地移动点光源犛， 投影的轮廓变成了椭圆（ 如图１）．师： 椭圆上的点有何性质？生： ……（ 积极思考， 尚不能回答问题．）师： 我们能否类比圆上点的性质呢？当投影的轮廓为圆时， 圆心是一个什么点？生： 切点， 是投影与球的一个切点．师： （ 一边演示圆渐变为椭圆过程一边提问）圆上的点到圆心（ 也就是切点）的距离是一个定值， 圆变为椭圆后， 椭圆上的点有没有类似的性质呢？生： （ 否定）椭圆上的点到切点的距离不是一个定值呀！师： 请比较圆和椭圆形状、 切点位置有什么异同？生： 圆和椭圆都是轴对称、 中心对称图形．投影是圆时， 切点是圆的中心； 投影是椭圆时， 切点偏在一侧．师： （ 一边演示左右改变点光源犛的位置切点左右摆动的过程， 一边提问）圆和椭圆都是轴对称、 中心对称图形， 而这个切点偏在一侧， 你有何猜测？生： 可能在对称的位置处还有一个点．师： 你认为应该是个什么点？生： 也应该是个切点．球与截面、 锥面都相切，因此是球与截面的切点．师： 请同学们画出这个切点．（ 师生交流， 共同完成“ 双球图” ， 如图２）师： 如图２， 当点犘在椭圆上移动时， 点犘与切点犉１，犉２的连线段分别是犘 犉１，犘 犉２， 关于犘 犉１，犘 犉２的长类比圆上点的性质有何猜想？ 生： 当点犘在椭圆上移动时， 点犘与切点犉１，犉２的连线段犘 犉１，犘 犉２一长一短地交替变化着， 我猜想犘 犉１与犘 犉２的和是一个定值．师： 很好！能证明吗？生： ……（ 积极思考， 尚不能回答问题．）图２ 图３师： 同学们已经猜想犘 犉１与犘 犉２的和是一个定值， 这个定值是什么呢？我们先研究特殊位置．当点犘在点犃处，犘 犉１与犘 犉２的和是什么？我们 画一个平面图帮助思考（ 如图３）．生１：犘 犉１＋犘 犉２＝犃 犅． 生２：犘 犉１＋犘 犉２＝犘 犆＋犘犇＝犆 犇． 师： 很好！犃 犅，犆 犇是定值， 请同学们回顾一下， 是利用什么定理证明犘 犉１＋犘 犉２＝犃 犅＝犆 犇的？ 生： 切线长定理．师： 当点犘在其他位置时，犘 犉１＋犘 犉２与犃 犅，犆 犇相等吗？如何证明？ 生： ……（ 积极思考， 尚不能回答问题．）师： 如果我们要证明犘 犉１＋犘 犉２＝犆 犇， 现在遇到什么困难？图４生：犘 犉１，犘 犉２与犆 犇分 开 了，犘点不在犆 犇上了， 不好直接 使用切线长定理．师： 能否移动犆 犇使犆 犇经过犘点， 这 样 便 于 使 用 切 线 长 定理？生： 可以．过犘作圆锥面的一条母线分别与两球相切于点犕，·５·２ ０ １ ７年第１ ２期 中学数学月刊 犙，犕犙＝犆 犇（ 如图４， 教师引导学生完成猜想证 明， 略）．·概念形成师： 以上同学们探究了椭圆上点的几何特征，即椭圆上一点到两个定点的距离之和是定值．一般地， 平面内到两个定点犉１，犉２的距离的和等于常数（ 大于犉１犉２）的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点犉１，犉２叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（ 概念的辨析略．对于双曲线、 抛物线、 圆锥曲线直接给出定义， 并鼓励学有余力的学生用旦德林双球证明．）师： 圆锥曲线早在古希腊时代就已经被发现和研究．在１ ６世纪之前人们只是出于对纯数学的兴趣来研究圆锥曲线， 而且是用静态的观点来研究图形的性质的， 即把它们看做是用平面从不同角度截割锥体所得到的曲线［２］．到了１ ６世纪， 行星绕日运动和抛体运动要求人们用运动和变化的观点研究圆锥曲线．今天我们在圆锥与截面之间放入两个内切球证明了截线定义与轨迹定义的一致性， 这个证明是比利时数学家旦德林在１ ８ ２ ２年发现的．在历史的长河中， 人们对圆锥曲线的认识是按如下的顺序发展的： 从截线定义到轨迹定义， 从静态观点到运动变化观点， 从纯几何方式到数形结合的思想， 这反映了社会的发展和人类对自然界认识的进步．２． ３ 数学运用 例１ 试用适当的方法作出以两个定点犉１，犉２为焦点的一个椭圆． 引导学生如何运用椭圆上点的几何性质先作出一个点， 并保持这一性质不变让点动起来， “ 点动成线”地画出一个椭圆．２． ４ 课堂小结（ 略）３ 回顾与反思３． １ 教学设计的立意 本节课设计了观察实验环节， 通过观察球在点光源的照射下形成的投影轮廓， 与用平面截圆锥面形成的曲线建立联系， 并经历对各种可能的数学猜测和反驳的过程探究圆锥曲线的几何特征， 让学生更自然地进行探究活动， 发展学生的直观想象力和逻辑推理能力， 提升学生发现数学问题与规律的素养．３． ２ 教学反思 （１）在教学设计中突出数学教育价值 本节课的教学内容是圆锥曲线历史发展的一个缩影， 蕴含着丰富的数学文化．本节课的教学设计以圆锥曲线的发展历史为序顺次展开， 并在开始与结束部分渗透了圆锥曲线的发展历史， 让学生更好地体会圆锥曲线这一概念所反映的思想方法， 了解圆锥曲线概念的历史发展， 感受数学家们不懈努力和勇于开拓的精神， 体会数学对人类文明发展的作用， 彰显数学的教育价值．（２）在课堂教学中发展学生的核心素养 本节教学内容中， 在圆锥面和截面之间嵌入双球是证明定理的关键， 也是师生感到困惑的教学难点； 探索并证明椭圆上点的性质是另一教学难点．教师由于对教材研究不透往往照本宣科， 学生对突然嵌入的双球也感到迷茫， 对这一节的教学内容感到枯燥．本节课的教学为克服上述难点做了有益探索．从数学的发展历史中、 从现实的生活中挖掘教学资源， 为引导学生进行猜测、 推理精心设计， 让学生在探索活动中发展直观想象力和逻辑推理能力．教材是教师进行教学的重要资源， 蕴涵着丰富、 深刻的知识背景， 数学的发展历史凝聚着人类文明与智慧的结晶， 大自然为学生提供了一个丰富多彩的真实情境．教师在教学中要潜心研读教材， 将这些教学资源进行有机地整合， 为学生的发展精心设计， 在课堂教学中培养学生的数学思维和理性精神， 将学生核心素养的发展扎扎实实地落实课堂教学之中．参考文献［１］ 李文林．数学史概论（ 第二版） ［Ｍ］．北京： 高等教育出版社，２ ０ ０ ２：１ ３ ７．［２］ 单?．数学史选讲（ 选修３  １） ［Ｍ］．南京： 江苏教育出版社，２ ０ ０ ９：５ ０．·６·中学数学月刊 ２ ０ １ ７年第１ ２期。