数学 第一部分 研究 第七章 图形的变化 课时29 图形的对称与折叠 新人教版.ppt

第一部分第一部分 考点研究考点研究第七章第七章 图形的变化图形的变化课时课时29 29 图形的对称与折叠图形的对称与折叠￿￿考点精讲图形的对称与折叠图形的对称与折叠轴对称图形与轴对称轴对称图形与轴对称中心对称图形与中心对称中心对称图形与中心对称折叠的性质折叠的性质轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称图形图形轴对称图形与轴轴对称图形与轴对称对称 Flash-Flash-““动动””悉重难点悉重难点 对称图形的理解和对应关系对称图形的理解和对应关系轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称定义定义如果一个平面图形沿一条直如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴是它的对称轴把一个图形沿着某一条直线折把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这重合，那么这两个图形关于这条直线（轴）对称，这条直线条直线（轴）对称，这条直线叫做对称轴叫做对称轴性性质质对应线对应线段相等段相等AB=①① .AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′对应角对应角相等相等∠∠B=②② .∠∠A=∠∠A′,∠∠B=∠∠B′,∠∠C =∠∠C′对应点对应点点点A与点与点A,点点B与与③③ .点点A与点与点A′，点，点B与点与点B′，点，点C与点与点C′∠∠CAC　　点点C轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称区别区别1.具有某种特性的一个图形2.对称轴不一定只有一条1.反映两个图形的位置关系2.对称轴只有一条总结总结1. 轴对称图形变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的④ 。

2. 对应点的连线被对称轴⑤ 位置位置垂直平分垂直平分中心对称图形中心对称图形中心对称中心对称图图形形定定义义把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心中心对称图形与中心对称中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形中心对称中心对称性性质质对应线对应线段相等段相等AB= =DC C，，AD=⑥=⑥ . .AB= =A′B′,′,BC= = ′C B′, ,AC= =A′′C′′对应角对应角相等相等∠∠A=⑦=⑦ ,∠,∠B=⑧=⑧ . .∠∠A=∠=∠A′,∠′,∠B=∠=∠B′,′,∠∠C=∠=∠C′′对应点对应点点点A与点与点C，点，点B与点与点D点点A与点与点A′′，点，点B与点与点B′′，点，点C与点与点C′′区别区别某种特性的一个图形某种特性的一个图形反映两个图形的位置关系反映两个图形的位置关系总结总结连接对称点的线段都经过连接对称点的线段都经过⑨⑨ 且被且被⑩⑩ 平分平分BC∠∠C∠∠D对称中心对称中心对称中心对称中心1.1.位于折痕两侧的图形关于折痕成位于折痕两侧的图形关于折痕成⑪⑪ 图形图形2.2.满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等对应边、角、线段、周长、面积等均相等3.3.折叠前后，对应点的连线被折叠前后，对应点的连线被⑫⑫ 垂直平分垂直平分折叠的性质折叠的性质轴对称轴对称折痕折痕 重难点突破图形的对称及相关计算图形的对称及相关计算例例1 1 如图，已知直线如图，已知直线MN是线段是线段AD的垂直平分线，的垂直平分线，点点C在在MN上，上，∠∠MCA=20°，，∠∠ACB=90°，，CA=CB=5，连接，连接BD交交MN于点于点E，交，交AC于点于点F，连接，连接AE.（（1）分别求）分别求∠∠CBE和和∠∠CAE的度数；的度数；（（2）求）求AE2+BE2的值的值.例例1 1题图题图一（（1）【）【思维教练思维教练】根据】根据MN垂直平分垂直平分AD，得出相关线段，得出相关线段的关系，进而得出相关角的关系，再进行求解；的关系，进而得出相关角的关系，再进行求解；解解：：(1)如解图，连接如解图，连接CD，，∵∵MN垂直平分垂直平分AD，点，点C，，E在在MN上，上，∴∴根据点根据点A，，D关于关于MN对称，得对称，得CA＝＝CD，，∠∠MCD＝＝∠∠MCA，，∠∠CAE＝＝∠∠CDE，，∵∵CA＝＝CB，，∴∴CB＝＝CD，，∴∠∴∠CBE＝＝∠∠CDB，，∴∠∴∠CBE＝＝∠∠CAE，，∵∠∵∠MCA＝＝20°，，∴∠∴∠MCD＝＝20°，，∵∠∵∠ACB＝＝90°，，∴∠∴∠BCD＝＝∠∠MCA＋＋∠∠MCD＋＋∠∠ACB＝＝130°，，∴∠∴∠CBE＝＝∠∠CDB＝＝25°，，∠∠CAE＝＝∠∠CDB＝＝∠∠CBE＝＝25°；；(2)【【思维教练思维教练】由（】由（1）中的结论可证明）中的结论可证明△△AEB为直角三角为直角三角形，再根据勾股定理，在形，再根据勾股定理，在Rt△△ABC与与Rt△△AEB中，利用斜边中，利用斜边AB进行等量代换，即可进行解答进行等量代换，即可进行解答.解：解：∵∠∵∠CFE既是既是△△AEF的外角又是的外角又是△△BCF的外角，的外角，∴∠∴∠CFE＝＝∠∠CAE＋＋∠∠AEF＝＝∠∠CBF＋＋∠∠FCB，，∵∠∵∠CAE＝＝∠∠CBE，，∴∠∴∠AEB＝＝∠∠ACB＝＝90°，，∴∴AE2＋＋BE2＝＝AB2，，∵∠∵∠ACB＝＝90°，，CA＝＝CB，，AC＝＝5，，∴∴AB2＝＝AC2＋＋BC2＝＝50，，∴∴AE2＋＋BE2＝＝AB2＝＝AC2＋＋BC2＝＝50.练习练习1 1 （（20162016青岛）青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是是中心对称图形的是 （（ ））B【【解析解析】逐项分析如下：】逐项分析如下：选项选项逐项分析逐项分析正误正误A不是轴对称图形，是中心对称图形不是轴对称图形，是中心对称图形×B既是轴对称图形，也是中心对称图既是轴对称图形，也是中心对称图形形√C是轴对称图形，不是中心对称图形是轴对称图形，不是中心对称图形×D不是轴对称图形，也不是中心对称不是轴对称图形，也不是中心对称图形图形×练习练习2 如如图，图，⊙ ⊙O′与与⊙ ⊙O″均与均与y轴相切且关于某点中心对轴相切且关于某点中心对称，已知称，已知A点坐标为（点坐标为（2，，5），），O′点坐标为（点坐标为（2，，3），），O″点坐标为（点坐标为（-2，，1），），（（1）求出对称中心的坐标）求出对称中心的坐标;（（2）求出）求出A点的对应点点的对应点A′的坐标并求出的坐标并求出AA′的长度的长度. 练习练习2 2题图题图解：解：(1)如解图，连接如解图，连接O′O″，与，与y轴的交点记为点轴的交点记为点D，则，则对称中心的点坐标为点对称中心的点坐标为点D的坐标的坐标，即，即，，化简得化简得D(0，，2)；；(2)连接连接AD并延长交并延长交⊙ ⊙O″于于A′点，则点，则A′点为点为A点的对应点，点的对应点，由由A点、点、D点的坐标可推出点的坐标可推出A′点坐标为点坐标为(－－2，－，－1)，过点，过点A作作AE⊥⊥x轴，过点轴，过点A′作作A′E⊥⊥y轴，交点为轴，交点为E，，∴∴AA′2＝＝AE2＋＋A′E2，，∴∴AA′＝＝图形的折叠及相关计算（难点）图形的折叠及相关计算（难点）例例2 如如图，在图，在△△ABC中，中，∠∠ACB=90°，，∠∠CAB=30°，，△△ABD是等边三角形是等边三角形.如图如图②②，将四边形，将四边形ACBD折叠，使折叠，使D与与C重合，重合，EF为折痕，则为折痕，则∠∠ACE的正弦值为的正弦值为 ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 例2题图B二【【思维教练思维教练】】由由△△ABC为直角三角形，为直角三角形，△△ABD为等边三角形，为等边三角形，可得出各线段间的关系，再根据勾股定理求出可得出各线段间的关系，再根据勾股定理求出AE、、EC的长的长度，进而求出度，进而求出∠∠ACE的正弦值的正弦值.【【解析解析】】∵△∵△ABC中，中，∠∠ACB＝＝90°，，∠∠BAC＝＝30°，设，设AB＝＝2a，，∴∴AC＝＝a，，BC＝＝a；；∵△∵△ABD是等边三角形，是等边三角形，∴∴AD＝＝AB＝＝2a，设，设DE＝＝EC＝＝x，则，则AE＝＝2a－－x，在，在Rt△△AEC中，由勾中，由勾股定理，得股定理，得AE2＋＋AC2＝＝EC2，即，即(2a－－x)2＋＋3a2＝＝x2，解得，解得x＝＝ ，，∴∴AE＝＝ ，，EC＝＝ ，，∴∴ sin∠∠ACE＝＝ ＝＝ .练习练习3 如图，在边长为如图，在边长为6的正方形的正方形ABCD中，中，E是边是边CD的中点，的中点，将将△△ADE沿沿AE对折至对折至△△AFE，延长，延长EF交边交边BC于点于点G，连接，连接AG.（（1）求证：）求证：BG=FG；；（（2）求）求BG的长的长.练习练习3 3题图题图解解：：(1)证明：如解图，在正方形证明：如解图，在正方形ABCD中，中，AD＝＝AB＝＝BC＝＝CD，，∠∠D＝＝∠∠B＝＝∠∠BCD＝＝90°，，∵∵将将△△ADE沿沿AE对折至对折至△△AFE，，∴∴AD＝＝AF，，DE＝＝EF，，∠∠D＝＝∠∠AFE＝＝90°，，∴∴AB＝＝AF，，∠∠B＝＝∠∠AFG＝＝90°，，又又∵∵AG＝＝AG，，在在Rt△△ABG和和Rt△△AFG中，中，AB＝＝AF,AG＝＝AG，，∴∴Rt△△ABG≌ ≌Rt△△AFG(HL)，，∴∴BG＝＝FG；；(2)如解图，设如解图，设BG＝＝FG＝＝x，则，则GC＝＝6－－x，，∵∵E为为CD的中点，的中点，∴∴CE＝＝EF＝＝DE＝＝3，，∴∴EG＝＝3＋＋x，，∴∴在在Rt△△CEG中，由勾股定理知中，由勾股定理知CE2＋＋CG2＝＝EG2，，即即32＋＋(6－－x)2＝＝(3＋＋x)2，解得，解得x＝＝2，，∴∴BG＝＝2.。