相似准则与量纲分析.doc

1《力学实验原理与技术》复习提纲 （参考）第一章 相似准则与量纲分析1. 相似的概念2. 相似准则的理论推导3. 相似准则介绍4． 量纲分析1.1 相似的概念1. 回顾相似的概念：三角形相似如果两个三角形的三组对应边成比例那么这两个三角形相似 模型试验中如何选择风洞参数？ 力学相似 几何相似 运动相似 动力相似 热相似 2. 力学相似(1) 几何相似 定义：模型的边界形状和原型的边界形状相似 δ L 模型比尺，Ly 原型的特征长度，Lm 模型的特征长度 思考题 1: 几何相似＝几何尺寸相似？ （2）运动相似 定义：原型流动与模型流动对应点处的速度向量平行且大小成比例 δ v 速度比尺，Vy 原型某点的速度，Vm 模型对应点的速度推导：几何相似 时间相似δ t 时间比尺，质点通过相应线段的时间成固定比例 思考题 2: 运动相似＝速度矢量图相似？ （3）动力相似 定义：原型流动和模型流动中对应点作用的同名力互相平行、大小成比例表达式：力的比尺：推导 加速度比尺： 力的比尺思考 3：几何相似和运动相似是否为动力相似的必要条件？ymLConstvymConstymLConstytmConstyFmConstv2LattConst32vLFt2（4）热相似定义：原型流动和模型流动中对应点（微元）的温度成比例，热流量方向相同、大小成比例。

表达式： 温度比尺：热流量比尺：本节小结• 力学相似－－几何相似、运动相似 、动力相似及边界和初始条件相似；• 动力相似 在流体力学实验中是基本的相似准则1.2 相似准则的理论推导 原型流场的 2 维 N-S 方程 x 分量形式为模型流场 原型流场与模型流场相似的条件: 选 δ L 为长度比尺， δ v 速度比尺δ t、 δ p、 δρ 、 δν 分别为时间、密度、压力、粘度的比尺： 将这些相似条件代入原型流场微分方程对比原型流场的微分方程则原型流场微分方程与模型流场微分方程一致的条件是用 δ v2/δ L 除所有数 1RevL1.3 相似准则介绍1. 相似准则的概念相似准则－－满足上述无量纲组合量，则两个流动相似因此这些数成为判断两个流动之间相似的判据，称为相似准则（相似参数、相似判据） ；yTmConstyyqTmConst21v()uuputxyy22''''''t xv','',',','Lt pxyu2 2vv v2'''1''''()ptt LLuuuxyxxy 21()ut y2vv2LpLt v2v=pt LSt2vpEu3相似准则数－－可作为相似判据的无量纲数。

相似准则数都是有物理含义相似准则数的推导：由微分方程或由作用力定义2. 相似准则介绍（1）粘性相似准则—Re 数• 粘性阻力其中 μ 动力粘性系数， μ =ρν ， ν 运动粘性系数粘性力比尺 当 即 得出：简化后 得到雷诺数： Re:数为惯性力与粘性力之比 两个几何相似的水流，在粘性力为主的流动中动力相似应该满足 Re 数相似 (2) 时间相似准则 —St 数非定常流中，原型与模型要保证力学相似，必须满足时间相似条件时间比尺相似准则St 数： ·周期运动中，取频率的倒数为特征时间，如旋涡频率·圆周运动中，取转速为特征时间：(3) 重力相似准则 —Fr 数• 重力比尺 δ G 其中 ρ 密度，g 重力加速度，V 体积  两个几何相似的水流要在重力作用下动力相似，则需满足上式 • 重力相似 若外力只有重力 F=G，Fr 数Fr 数表示惯性与重力之比 (4) 压力相似准则 —Eu 数• 压力比尺dvFAyvyFTLm2vvLLFv1LvLRetvL1tLtS vStdfvStdNy3ygLm23LVgLG1VL2gymrg2yLpmypAP4其中压力 P=p·A ，p 压强，A 为压力作用面积。

如果 F=P 即, ，化简后：欧拉数 两个几何相似的流动在压力表面力作用下动力相似，则欧拉数相同在有动力载荷的流动中，空泡、气室等，欧拉相似重要 (5) 压缩性相似 —Ma 数对于可压缩气体 (弹性气体)弹性模数 气体介质的音速 空气中 a=344m/s马赫数当气流速度 v 大于 100m/s，气体压缩性需要考虑 (Ma 约 0.3) (6) 弹性力相似 —Ca 数弹性比尺其中弹性力 E=E0 A ， E0 弹性模量如果 F=E，即 ，有则 柯西数 惯性力与弹性力之比本节小结 相似准则－－满足上述无量纲组合量，则两个流动相似因此这些数成为判断两个流动之间相似的判据，称为相似准则（相似参数、相似判据） ； 相似准则数－－可作为相似判据的无量纲数相似准则数都是有物理含义Re, St, Fr, Eu, Ma, Ca, Nu, Pr ......1.4 量纲分析上一节已知各种主要力的表达式，或从已知的运动微分方程推导给出相似准则如果一个物理问题，不知道其主要作用力，还无法用微分方程表达，怎么判断相似准则？1. 量纲的概念 • 量纲与单位 量纲： 表征物理量的属性，是“质”的表征。

PF22vLPL2v1p2Eu20dpEa 20vEaMy2ooyEELmF22voLEL2v1oE2aoC5 单位： 物理量的度量，是“量”的表征 物理量分为：有量纲量和无量纲量 有量纲量分为：基本量纲和导出量纲7 个基本量纲：长度 L、质量 M、时间 T、热力学温度 Θ、电流 I、物质的量摩尔 N、发光强度 cd 用 J, 流体力学常用基本量纲前 4 个流体力学中的量纲（表 1）, 物理量 量纲 物理量 量纲长度 l L 密度 ρ ML-3面积 S L2 力 F MLT-2体积 V L3 压强 p ML-1T-2坡度 J L0 剪应力 τ ML-1T-2几何学面积矩 I L4 重度 γ ML-2T-2时间 t T 弹性模量 E ML-1T-2流速 v LT-1 动量 mv MLT-1角速度 ω T-1 力矩 M ML2T-2加速度 a LT-2 功 W ML2T-2惯性矩 Ia ML2 动力粘度 μ ML-1T-1环量 Г L2T-1 运动粘度 ν L2T-1 运动学流量 Q L3T-1动力学• 量纲和谐：在一个正确的物理方程式中，各项的量纲必须相同 2. π 定理• 定理－－量纲分析的一般定理物理现象涉及 n 个变量，m 个基本变量（不能由别的变量组合成的变量） ，则此 n 个变量间的关系可以用（n-m）个无量纲的 π 项的关系式来表示，即：• 定理解题步骤： 找出 n 个独立变量； 选 m 个基本变量，应是最简单、有代表性、容易测量的量，如：长度、速度、粘度、密度等 π =n-m 项，写成 根据项必须无量纲，确定指数 ai，bi ，ci 根据实验决定具体函数关系【例 1】潜艇航行时，阻力 FD 与航速 v、水的密度 ρ 、动力粘性系数 μ 和潜艇长度 l 有关。

 选 v 、r 、 l 为基本变量 5-3=2 个 π 项 12(,,)0mF(1,2)iiabckiQn(,)DFf1212vabcDFl6 π 1 项 π 1 的量纲和谐公式得 a1=-1, b1=-2, c1=-2 π 2 项得 a2=1, b2=1, c2=1 整理CD= f (Re)3. 量纲分析方法可用来探求物理现象函数关系，步骤为： 确定独立变量 选定基本变量 用量纲表示所有物理量 列出量纲和谐方程组，求解各量纲指数 将指数代入原有函数关系，确定物理公式第一章小结 相似－－成比例 由微分方程相似，获得相似准则（相似参数、相似判据） 对未知物理问题，由 π 定理 （量纲分析） ，导出相似参数 ；实验（动力相似） ，总结规律11[][]v[abcDFl1023-()()()bcMLTLT110a12vDFl2[][][abcl2013-1[] ]MLTLT213a2vlRe12'DDFCl2vl。