初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习.doc

1平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 4．三角形一边的平行线的性质定理 2（即课本例 6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或 两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成 比例的最重要方法之一定理的基本图形∵l1∥l2∥l3 ∴DFEF ACBC DFDE ACAB EFDE BCAB①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对 应 ②为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：， 可以说成“上比下等于上比下”EFDE BCAB， 可以说成“上比全等于上比全”DFDE ACAB， 可以说成“下比全等于下比全”等DFEF ACBC2．三角形一边平行线的性质定理 1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形∵DE∥BC ∴ ACCE ABDB ACAE ABAD ECAE DBAD①图 2—（1） ，图 2—（3）称为“A”型，图 2—（2）称为“X”型LLL图1-（1）CFABEDFC图1-（2）3ED12BAF 3LC图1-（3）2LL1BEA图1-（4）FL3CL2L1BDA3L2LL1(D)(E)ADEBCEDABCABCDE 图2-(1)图2-(2)图2-(3)2ABCDEFl123ll图3图4ADBCE图5CBEFGADABCDEF图6②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3．三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。

（1）这个定理可以用来判定两条直线平行 （2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成 比例 4．平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条 直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行它是一个假命题，如图 3，其中 AB=BC，DE=EF，则，但 L1、L2、L3不平行1EFDE BCAB5、三角形一边的平行线的性质定理 2（即课本例 6） ，这 个定理也叫做相似三角形预备定理① DE∥BC ACAE BCDE ABAD这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上 ②当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定 理也成立 ③图 4 是最基本的“A”型，课本例 6 中有“A”型时常 作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的 线段平移到关系明显的线段上去 [典型例题] 例 1、如图 5，在△ABC 中，D 是 BC 上的点， E 是 AC 上的点，AD 与 BE 交于点 F，若 AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。

分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身 并没有平行线，故需添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值解：过 E 作 EG∥BC 交 AD 于 G，则在△ADC 中，ACAE DCGE又∵ ∴ ∴43ECAE 73ACAE 73DCEG极 EG=3X ， DC=7X （X>0） ，则∵ ∴ DB=32DCBDxxDC314732 32∴ 914 3314xxEGBD又 ∵EG∥BC， ∴914EGBD FEBF例 2、如图 6，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD 分析 根据条件可知 BDEF 为平行四边形，由 EF∥BC，应用相似三角形的预备定理，得再应用比例性质，即可求出 EF 即 BDBCEF ABAF解：∵ DE∥AB， EF∥BC ∴ 四边形 BDEF 为平行四边形， ∴ BD=EF又∵ EF∥BC， ∴BCEF ABAF∴ ∴DCBDBD BFAFAF 32355 BDBD解之，得 BD=（cm）310例 3、如图 7，A、C、E 和 B、F、D 分别是∠O 的两边上的点，且 AB∥ED、BC∥FE。

求证：AF//CD 分析 要证明 AF//CD，应推导出能使 AF//CD 的比例线段，由题中图形可知，应证明，而由 AB//ED，ODOF OCOABC//FE，容易得到此关系证明：∵AB//ED ∴ ① ∵BC//FE ∴ ②ODOB OEOAOEOC OFOB由①得 由②得 ∴OEOBODOAOEOBOFOCOFOCODOA则 ∴AF//CDODOF OCOA点评：本题是采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的， “公比”是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比， 有时公比是采用乘积式的形式 例 4 如图 8 梯形 ABCD 中，AB//CD，M 为 AB 的中点， 分别连结 AB、BD、MD、MC，且 AC 与 MD 交于 E，DB 与 MC 交于 F，求证 EF//CD分析：要证 EF//CD，可根据三角形一边平行线的判定定理证明， 首先观察 EF、CD 截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可证明：∵AB//CD ∴， 又∵AM=BM ∴ ∴EF//CDEMDE AMCDFMCF MBCDFMCF EMDE点评 利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为： （1）首先观察欲证平行线截哪个三角形 （2）再观察它们截这个三角形的哪两边 （3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段）的比作为中间比 例 5 如图 9，分别在△ABC 的三边 BC、AC、AB 上,,,CBA 或其延长线上，且CCBBAA////求证：CCBBAA111分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。

证明：∵ ∴ ∵ ∴ AACC//BACB AACCBBCC//ABCA BBCC∴ ∴1 ABCACB ABCA BACB BBCC AACC CCBBAA111点评 对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角形有关性质进行求解，如本题中，要证，只需证，即将倒数和的形CCBBAA1111 BBCC AACC式化为线段比的形式 例 6 如图 10 四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BD 于 E，EF//CD 交 BC 于 F，求证：1ABAD BFBC分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比， 再进行减法运算证明：∵AE 平分∠BAD ∴ ① BEDE ABAD图7COBAFDED图8CMAEFB图9ACBACBF图10CBEAD4FC图11BDEAM N在△BCD 中 ∵EF//CD ∴②BFCB BEDB②—①得 ∴1BEDE BEDB ABAD BFBC1ABAD BFBC例 7 如图 11，AD 为△ABC 的角平线， BF⊥AD 的延长线于 F，AM⊥AD 于 A 交 BC 的延长线于 M，FC 的延长线交 AM 于 E， 求证：AE=EM 分析 要证 AE=EM，可利用比例缎来证明，而由 BF⊥AF， 可延长 BF 交 AC 延于 N，构造等腰三角形， 利用等腰三角形性质有 BF=FN，再由 BN//AM， 得比例线段，即可得出结论。

证明：延长 BF 交 AC 的延长线于 N ∵AF⊥BF ∴∠BFA=∠NFA=900 又 ∵∠BAF=∠NAF，AF=AF∴△ABF≌△ANF ∴BF=NF ∵BF⊥AF AM⊥AF ∴BF//AM ∴，ECFC EMBFCEFC AEEN∴ 又∵BF=FN ∴EM=AE AEFN EMBF点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题 （2）利用比例证明线段相等主要有以下形式① ② baba1cabc ba③ ④ca dbdc ba  db cadc ba  例 8 如图 12 把线段 AB 分成 2：3 两部分 分析 利用平行线分线段成比例定理作图 作法；1. 以点 A 为端点，作射线 AM 2. 在 AM 上顺次截 AD=2a，DE=3a（a 为任意长） 3. 连结 BE，过点 D 作 DC//BE 交 AB 于 C，则点 C 即为所求[练习与测试] 1． 如图△ABC 中，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上， 且 DE//BC，EF//AB，AD=9，EF=6，CF=5， 则 BF= 2． 直线 DE 分别交△ABC 的边 AB、AC 于点 D、E， 且 AD=4cm，AE=6cm、AB=12cm，AC= 那么 DE//BC3． 如图 DE//BC ，32DBAD那么= ECACBCDE4．如图在 ABCD 中，E 在 AD 上，且 4AE=5DE，CE 交 BD 于 F，则 DFBF5． 如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，对角线 AC、BD 相交于 O，CE//AB 交 BD 的延长线于 E， 若 OB=6，OD=3，则 DE= 6． 如图，已知 DC//EF//GH//AB， AB=30，CD=6，且 DE：EG：GA=1：2：3， 则 EF= GH= 图122aADC3aBEM(第1题)BDCFEA(第3题)CEABD(第4题)BAFCEDDABO(第5题)CE(第6题)GACEBHFD(第7题)EOB1A2OCOF3DECG(第8题)BFADl2l1(第9题)BDCEA5NEFADBC （第13题（2）—③）M（第13题（2）—②）ADEFCBMN（7．如图，在 ABCD 中， O1、O2、O3分别为对角线 BD 上三点， 且 BO1=O1O2=O2O3=O3D，连结 AO1，并延长交 BC 于 E， 连结 EO3，并延长交 AD 于点 F，则 AD：FD= 8． 图，，BC=4CD，GBAFll52,//21若 AE=k，则 k= EC 9． 如图，CD 是△ABC 的角平分线，点 E 在 AC 上，，AC=10，求 DE52ACAE ABAD10．如图，CD 是△ABC 中，E 为 AC 的中点，D 为 BC 上的点，且 BD=AB，求证：GDAG ABBC11．已知，C 是线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边，在 AB 的同侧作两个等边三角形 ACD 和 BCE， AE 交 CD 于 F，BD 交 CG 于 G，求证 FG//AB 12．已知，BD 为△ABC 的角平分线，DE//BC，交 AB 于 E，求证：DEBCAB11113．已知，如图（1） ，梯形 ABCD 中， AD//BC，E、F 分别在 AB、CD 上， 且 EF//BC，EF 分别交 BD、 AC 于 M、N。

① 求证 ME=NF ② 当 EF 向上平。