不定积分几种基本方法.ppt

微积分讲课提纲微积分（微积分（I I））讲课人：朱静芬讲课人：朱静芬E-mail:E-mail:1第二节 不定积分的几种基本方法第四章　 不　定　积　分一. 凑微分法(第一换元法)二. 变量代换法(第二换元法)三. 分部积分法2不定积分的换元法不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数求出不少函数的原函数, ,但实际上遇到但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的的积分凭这些方法是不能完全解决的. . 现在介绍与复合函数求导法则相对现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法应的积分方法 —— —— 不定积分换元法不定积分换元法. . 它是在积分运算过程中进行适当的变量它是在积分运算过程中进行适当的变量代换代换, ,将原来的积分化为对新的变量的积将原来的积分化为对新的变量的积分分, ,而后者的积分是比较容易积出的而后者的积分是比较容易积出的. .3问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法(凑微分法)4在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理5第一类换元公式第一类换元公式（（凑微分法凑微分法））说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为定理定理( (凑微分法凑微分法) )凑微分法的步骤凑微分法的步骤6例例 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）7例例 求求解解一般地一般地8例例 求求解解9例例 求求解解10例例. .证明证明:(1)(2) (3)(4)说明说明以上四式可作为公式用以上四式可作为公式用.11(1).证证(2). (3 ).12例例 求求解解13例例 求求解解14例例 求求解解15例例. .求求16例例 求求解解18例例 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）19解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出20例例解解21说明说明1)1)用用凑微分法计算不定积分凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换作适当的代数或三角恒等变换. 2)有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.例　求例　求22例例 求求解解24问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法(变量代换法)26证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理27第二类积分换元公式第二类积分换元公式28例例 求求解解 令令29例例 求求解解 令令30例例 求求解解 令令31说明说明(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令32说明说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令33 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)例例 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解34例例 求求解解 令令35说明说明(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例 求求令令解解36例例 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）3738说明说明(5)例例 求求解解令令当被积函数含有两种或两种以上的根当被积函数含有两种或两种以上的根式式 时，可采用令时，可采用令 （其（其中中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）） 3940基基本本积积分分表表4142即(1)(1)称为分部积分公式分部积分公式三、分部积分法48定理：定理：49一般说来一般说来, ,当被积函数为下列形式之一时当被积函数为下列形式之一时, ,可考虑可考虑运用分部积分法进行计算运用分部积分法进行计算: :幂函数与三角函数幂函数与三角函数 ( (或反三角函数或反三角函数) ) 之积之积 指数函数与三角函数指数函数与三角函数 ( (或反三角函数或反三角函数) ) 之积之积 幂函数与指数函数之积幂函数与指数函数之积 指数函数与对数函数之积指数函数与对数函数之积 一个函数难于用其它方法积分一个函数难于用其它方法积分 两个函数的乘积两个函数的乘积 50说明51例例 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数或幂函数和指数函数的乘积数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设就考虑设幂函数为幂函数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正假定幂指数是正整数整数)52例例 求积分求积分解解令令53例例 求积分求积分解解总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和函数和反三角函数反三角函数的乘积，就考虑设对数函的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .54例例 求积分求积分解解55例例 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式56例例 求积分求积分解解57令令58利用递推关系式可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分. 例例 求积分求积分解解5960解解例例61解解两边同时对两边同时对 求导求导, 得得62。