第1课时　单调性与最大(小)值.docx

第1课时　单调性与最大(小)值 　 2.2 　函数的基本性质 求 考试要求 　1. 借助函数图 像 ，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2. 了解函数奇偶性的含义.3. 结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义． 　 1． ． 函数的单调性 (1) 单调函数的定义 　增函数 减函数 　定义 数 在函数 f (x) 的定义域内的一个区间 间 A 上，如果对于任意两数 x 1 ，x 2 A 　当 当 x 1 lt;x 2 时，都有f (x 1 )lt;f (x 2 ) ，那么，就称函数f (x) 在区间 A上是增加的 当 当 x 1 lt;x 2 时，都有f (x 1 )gt;f (x 2 ) ，那么，就称函数f (x) 在区间 A 上 上是减少的 图像描述 　自左向右看图 　像是 上升的 自左向右看图像是 下降的 　(2) 单调区间的定义 数 如果函数 y ＝f (x) 在区间 A 上是 增加的 或是 减少的称 ，那么就称 A 为单调区间． 2． ． 函数的最值 前提 数 函数 y ＝f (x) 的定义域为 D 条件 (1) 存在 x 0 D， ，得 使得 f (x 0 ) ＝M； ； (2) 对于任意x D ，都有f (x) M. (3) 存在 x 0 D， ，得 使得 f (x 0 ) ＝M； ； (4) 对于任意x D ，都有f (x) M. 结论 M 为最大值 M 为最小值 　3． ． 奇函数、偶函数的概念 图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数． 于 图像关于 y 轴 轴 对称的函数叫作偶函数． 4. 周期性 (1) 周期函数：对于函数 y ＝f(x) ，如果存在数 一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的有 任何值时，都有 f(x ＋T) ＝f(x) ，那么就称数 函数 y ＝f(x) 为周期函数，非零函数 T 为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个最小正数 就叫作 作 f(x) 的最小正周期． 考 微思考 1 ．函数 y ＝f(x) 满足意 任意 x 1 ， ，x 2 D， ，x 1 x 2 ，f( (x 1 ) ) －f( (x 2 ) )x 1 － －x 2gt;0(lt;0) ，能否判断 f(x) 在区间 D上的单调性？ 提示 　能，f( (x 1 ) ) －f( (x 2 ) )x 1 － －x 2gt;0(lt;0) f(x)在 在 D 上 上是增加的(减 减 少的) ． 2 ．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？ 提示 　奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 　题组一 　思考辨析 1 ．判断下列结论是否正确( 请在括号中打" 或 ") (1) 函数 y＝ ＝ 1x 的 递减区间是(－ － ， ，0) (0， ，＋ ) ．( 　 　) (2) 若函数 f(x) 为奇函数，则 f(0)＝ ＝0.( 　 　) (3)若 若 y ＝f(x) 在区间 D 上 上 是 增 加的 ，则函数 数 y ＝kf(x)(klt;0)， ，y＝ ＝1f( (x) ) 间在区间 D 上 上 是 减少的． ．( 　 　) (4) 若函数 f(x) 满足 f(4 －x) ＝f(x) ，则 f(x)的图 像于 关于 x ＝2 对称．( 　 　) 题组二 　教材改编 2 ．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( 　) A ．f(x) ＝x －1 　B ．f(x) ＝x 2 ＋ ＋x C ．f(x) ＝2 x － －2－ x 　 D ．f(x) ＝2 x ＋ ＋2－ x 　【答案】C 【解析】f(x) ＝x －1 为非奇非偶函数，f(x)＝ ＝x 2 ＋ ＋x 为非奇非偶函数，f(x) ＝2 x ＋ ＋2－ x为偶函数． 3 ．函数 y＝ ＝xx －1 在区间[2,3] 上的最大值是________ ． 【答案】2 　【解析】数 函数 y＝ ＝xx －1 ＝＝1＋ ＋1x －1 在在[2,3]上为减函数， 当 当 x ＝2 时，y＝ ＝xx －1 取得最大值22 －1 ＝＝2. 4. 设奇函数 f(x) 的定义域为[ －5,5] ，若当x [0,5] 时，f(x) 的图 像 如图所示，则不等式 式 f(x)lt;0 的解集为________ ． 　【答案】( －2,0) (2,5] 】 　【解析】 　由图 像当 可知，当 0lt;xlt;2 ， 时，f(x)gt;0； ；当 当 2lt;x 5 时，f(x)lt;0 ，又 f(x) 是奇函数， 当－2lt;xlt;0 时，f(x)lt;0 ，当－5 xlt; －2时，f(x)gt;0. 综上，f(x)lt;0 的解集为( －2,0) (2,5] ． 题组三 　易错自纠 5 ．函数 f(x) ＝(x ＋1)x －1x ＋1 是是________函数．(填 填 " 奇 " 偶 或 " 非奇非偶 ) 【答案】 　非奇非偶 【解析】f(x) 的定义域为(－ － ，－1) [1， ，＋ ) 不关于原点对称． 故 故 f(x) 为非奇非偶函数． 　6 ．函数 y ＝f(x) 是定义在[ －2,2] 上的减函且 数，且 f(a ＋1)lt;f(2a) ，则实数 a 的取值范围是________ ． 【答案】[ －1,1) 【解析】 　由条件知 － －2 a ＋1 2， ，－ －2 2a 2， ，a ＋1gt;2a， ， 解得－1 alt;1. 　 第 第 1 课时 　单调性与最大( 小) 值 题型一 确定函数的单调性 　点 命题点 1 　求具体函数的单调区间 例 例 1 　(1) 函数 y＝ ＝12log ( －x 2 ＋ ＋x ＋6)的 的 递增区间为( 　) A. 12 ，，3 　B. － －2， ， 12 C ．( －2,3) 　D. 12 ，＋ 【答案】A 【解析】 　由－x 2 ＋ ＋x ＋6gt;0 ，得－2lt;xlt;3， ，故函数的定义域为( －2,3) ，令 t ＝－x 2 ＋ ＋x＋ ＋6 ，则 y＝ ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于数 求函数 t ＝－x 2 ＋ ＋x ＋6 在( －2,3) 上的 递减得 区间．利用二次函数的性质可得 t ＝－x 2＋ ＋x ＋6 在定义域( －2,3) 上的 递减区间为 12 ，，3 ，故选 A. 　(2) 设函数 f(x)＝ ＝ 1 ，xgt;0， ，0 ，x ＝0， ，－ －1 ，xlt;0， ，g(x)＝ ＝x 2 f(x －1) ，则函数 g(x)的 的 递减区间是__________ ． 【答案】[0,1) 【解析】知 由题意知 g(x)＝ ＝ x 2 ， ，xgt;1， ，0 ，x ＝1， ，－ －x 2 ， ，xlt;1， ，该函数图像如图所示，其 递减区间是[0,1) ． 　点 命题点 2 　判断或证明函数的单调性 例 例 2 　试讨论函数 f(x)＝ ＝axx －1 (a 0) 在(－ －1,1) 上的单调性． 【答案】 　【解析】 　方法一 　设－1lt;x 1 lt;x 2 lt;1 ， f(x) ＝a x －1 ＋1x －1＝ ＝a 1＋ ＋1x －1， ， f(x 1 ) －f(x 2 ) ＝a 1＋ ＋1x 1 － －1－ －a 1＋ ＋1x 2 － －1 　＝a( (x 2 － －x 1 ) )( (x 1 － －1) )( (x 2 － －1) ) ，， 由于－1lt;x 1 lt;x 2 lt;1 ， 以 所以 x 2 － －x 1 gt;0 ，x 1 － －1lt;0 ，x 2 － －1lt;0 ， 当 故当 agt;0 ， 时，f(x 1 ) －f(x 2 )gt;0 ，即 f(x 1 )gt;f(x 2 )， ，数 函数 f(x) 在( －1,1) 上是 减 少的； ； 当 当 alt;0 时，f(x 1 ) －f(x 2 )lt;0 ， 即 即 f(x 1 )lt;f(x 2 ) ，函数 f(x) 在( －1,1)上 上 是 增 加的． ． 方法二 　f (x)＝ ＝( (ax) ) ( (x －1) ) －ax( (x －1) ) ( (x －1) ) 2 ＝ a( (x －1) ) －ax( (x －1) ) 2＝－a( (x －1) ) 2 . 当 当 agt;0 时，f (x)lt;0 ，函数 f(x) 在( －1,1)上 是减少的； ； 当 当 alt;0 时，f (x)gt;0 ，函数 f(x) 在( －1,1)上 是增加的． ． 思维升华 　确定函数单调性的四种方法 (1) 定义法：利用定义判断． (2) 导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图 图 像 象法：由图 像 确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图 像 象不连续的单调区间要分开写，用 " 和 或 " ， 连接，不能用 " 连接． 　(4) 性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数 " 同增异减 的原则时，需先确定简单函数的单调性． 练 跟踪训练 1 　(1) 函数 f(x) ＝|x －2|x 的 的 递减区间是________ ． 【答案】[1,2] 　【解析】f(x)＝ ＝ x 2 － －2x ，x 2， ，－ －x 2 ＋ ＋2x ，xlt;2. 　 出 画出 f(x) 的大致图像 像( 如图所示) ， 知 由图知 f(x)的 的 递减区间是[1,2] ． 　(2) 已知 agt;0 ，函数 f(x) ＝x＋ ＋ ax (xgt;0) ，证明：数 函数 f(x) 在(0， ， a]上 上 是 减 少的 ，在[ a， ，＋ )上 上 是增加的． ． 证明 　方法一 　( 定义法)设 设 x 1 gt;x 2 gt;0 ， f(x 1 ) －f(x 2 ) ＝x 1 ＋ax 1 －－x 2 －ax 2 　＝ ＝(x 1 － －x 2 )＋ ＋ a( (x2 － －x 1 ) )x 1 x 2 ＝ ( (x1 － －x 2 ) )( (x 1 x 2 － －a) )x 1 x 2， ， 　∵ ∵x 1 gt;x 2 gt;0， ， x 1 － －x 2 gt;0 ，x 1 x 2 gt;0 ， 当 当 x 1 ， ，x 2 (0， ， a] 时，0lt;x 1 x 2 lt;a， ， x 1 x 2－ －alt;0 ， f(x 1 ) －f(x 2 )lt;0 ，f(x 1 )lt;f(x 2 ) ， f(x) 在(0， ， a]上 上 是 减 少的； ； 当 当 x 1 ， ，x 2 [ a ，＋ ) 时，x 1 x 2 gt;a ， x 1 x 2 － －agt;0， ， f(x 1 ) －f(x 2 )gt;0 ， f(x 1 )gt;。