高考数学解析几何-第15讲 椭圆的共轭直径.pdf

高考数学解析几何第 15讲椭圆的共舸直径知识与方法1、有关概念定 义 1过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.定义22 2人2若椭圆，+S =1(b 0)的两直径AB,C D的斜率之积为-勺则称这两直径AB,CD为椭圆的一对共挽直径.特别地，当一直径所在直线斜率为0,另一直径所在直线斜率不存在时，我们也称这两直径为椭圆的共貌直径.注：(1)椭圆直径即过其对称中心的弦，因此椭圆的直径有无数条，因此共较直径有无数对；(2)当椭圆的一对共轨直径互相垂直时，即为椭圆的长轴和短轴.2、椭圆直径的性质性 质 1为椭圆性 质 2已知椭圆E:2 y27+2=l(0),线段4 3 为椭圆的直径(过椭圆中心的弦)，点 PE 上异于 A X 8 的点，贝 I J kpA.kpB=一 一y.a椭圆=l(6 0)的一焦点为尸，AB为其一直径，则AABF的面积的最大2/值为8c.性质3 椭 圆 与+4 =l(a 6 0)的中心为到互相垂直的两直径的两端点的连线a b段的距离为3、椭圆共匏直径的性质:性质 已知直线/与椭圆U 0 +%=l（O）交于M a,y j,N（X2,为）两不同点，若力 2直线OM,Q V 的斜率之积&”即汽=-彳，则:(I)ax2=一/M,好,b%=T laa=Tbb%=一 ia(2)xl2+=a2,y +yj=b2；()i+巧当=。

4)Ixly2-x2y=ab(5)OM I2+O2=2+2；(6)MVION 的面积 StMO N=证明：MM kc N -2=-=-=2y y2-b2x x2.a xl X2 a因为点M(XI,必)，N(X2,%)在椭圆C 上，所以户才+y j=/廿，722+a2y2=a2h2即 2x12-a1b=-a1y b2x l-a2b2=-a2yl 由 X 得：b4(2-2)(J-2)=4yl2y2 b4xfx2,所以 x；+J =/.由+得2(/+用+/(y；+阳=切 序,所以yj+yj=62.(3)因为(x y+%f=X22+g F +2x,x2y,y22、=l21-4a+a=叩；+硝 一4+引 2=小 2 _%4=0所以西凹+A22=0.（4）因为（占 丫 2-专力）2+（百 为 +2y2）2=（+）（y2+另），所以-=IXly2 x2y=ab.IQWI2+1 ON=才+城+君+#=（不2+云）+仪2+年）=/+/SlMON=旧+货-M +y）sin NMoN=-y/xf+y2 yX2+l-cos2 ZMONJ2 V 、I”（X：+#）田 +为）=蛔+才）但+杨）-区+X乃J=；/（.为一电必）21.1 ,=-x,y2-x2y1 I =-ab2 2推 论 1设 椭 圆 二+=l（4bO）的两共辗直径的端点为A,C 及 B,D,则四边形a bABcD的面积为定值2b.推论2 椭圆J+表 =1（。

6 0）的任意两共挽直径的平方和为4（/+序）典型例题X2 例 1已知椭圆的方程为，+a=l（O）,A,8 是椭圆上的两动点，历为椭圆上任意一点，O M =OA+O B,且%=-与，证明：1+1=.2 2【例 2】已知A,8 是椭圆C:土 +匕=1上关手原点对称的两个点，P、M、N 是椭圆上25 9异于AB的点，且 /O M,B P H O N,则MON的面积为（）【例 3】如图，4 4 分别为椭圆 y 2=l的长轴的左，右端点，为坐标原点，S Q T为椭圆上不同于A，4的三点，直线QA,Q 4,OS,O T围成一个平行四边形O P Q R,则IoSI2+OT 等 于（）2 2【例 4】已知椭圆E:土+匕=1,为坐标原点，A,8 是椭圆上两点，0 4,0 8 的斜率存在24 12并分别记为电1,e.,且 LMMoB=-L,则-+_的最小值为()0 0 2 O A O B A.正 B.1 C.也 D.也6332【例 5】在平面直角坐标系Xoy中，已知椭圆u W +E =l(a h 0),其焦点到相应准线Cr b的距离为3,离心率为2(1)求椭圆C 的标准方程；如图所示，A,8 是椭圆C 上两点，且直线OA,OB的斜率满足k0A KB=-(，延长CM到M，使得Q M=3Q 4,且 交 椭 圆 C 于。

设 OQ=20A+,求证：万+储=1；上”BQ为定值.【例 6】椭圆M:+y 2=i上有相异的任两点A8,且 A 8,0 三点不共线，直线4,直4线 0 3 的斜率满足：R B=G%(L 0),求证：IOA+108 F 为定值.强化训练1.已知椭圆Ci：9 +y2=1,过抛物线2：/=4y焦点尸的直线交抛物线于M、N两点,连接NO,M并 延 长 分 别 交 G 于 4 B 两 点，连 接 4B,AOMN与A(M B的 面 积 分 别 记 为SAOMN,SAOAB,则在下列命题中,正确命题的个数是()(1)若记直线N的斜率分别为的,心，则的心的大小是定值为一:(2)CMB的面积SAOAB是定值1;(3)线段A、OB的长度的平方和|0川2+QB 是定值5；(4)设Z l=2型,则；I 2.SOABA.1个 B.2个 C.3个 D.4个2 22.如图,在平面直角坐标系Xoy中和C,分别是椭圆r 京+左=l(b 0)的左右顶点与上下顶点.设P,Q是椭圆上且位于第一象限的两点,满遥Q Il 4P,M是线段AP的中点,射线OM与椭圆交于点R.证明：线段Q,OR,BC能构成一个直角三角形.3.已知两点C(一日,0)川 6,0),设4 B,M 是椭圆9 +y2=上三点，满足南=|市+g砺,点N为线段AB的中点,求INCI +INDl的值.4.己知4 B在椭圆?+?=1上运动,上MkOB=-*延长04到M,使得。

M=304,Q为MB与椭圆的交点,求萼的值.v25.已知椭圆C:?+y2=1,不过原点的直线I与椭圆C相交于4 B 两点,设直线04,OB的斜率分别为自,心，且自，化电恰好构成等比数列.证明：|4+0B 2为定值.参考答案2 2【例 1】已知椭圆的方程为二+4 =l(a60),A,3 是椭圆上的两动点，“为椭圆上Cr h任意一点，O M =OA+OB,且 .%=-，证明：2+1=.a【证明】设M(XO,%),A(x1,y1),(x2,y2),由 OM=XOA+O8,知点M 的坐标为(Z+x2,yx+y2)，因为点M 在椭圆上，所以(端+i f +(肛+为F=a2 b22 2 2 2又 A,B 是椭圆上的两动点，所 以 与+4 =1,4 +4 =1.a2 b2 a2 b2又由MA%=/，可 得 警+券=0,所以公+/=1.a a bh2【注】三个条件中：koAkoB=-;(2)2+2=,(3)M 在椭圆上，已知任意a两个，可以推出第三个.2 2【例 2】已知A,8 是椭圆C:+=l 上关手原点对称的两个点，P、M、N 是椭圆上25 9异于S的点，且 A P Q W,BP/ON,则AMQV的面积为()【答案】C【解析】解 法 1：利用特殊位置g _ A-15SMON-=3 ,解法2：利用参数方程.,b1k M kON=kP kPB=一 7，设(5cos,3sin2),/V(5cos7,3sin),则 丸仙。

3sin=一 _9_5COS6 Z 5 cos 力 25cos a s/?+SinaSin 歹=0 n cos(一 4)=0,SA M O N =/|Xly2 一芍乂|=弓冈11(一 4)|=5.解法3：koM k N=kpA kpB=7，由 性 质(6)右 S o v=/方=5,【例 3】如图，4，&分别为椭圆5 +V=1 的长轴的左，右端点，O 为坐标原点，S Q T为椭圆上不同于A，&的三点，直线QA，5,O T围成一个平行四边形OP0R，则I OSI 2+O72等 于()3 5A.4 B.3 C.-D.-2 2【答案】B【解析】解 法 1：设Q,S 三点的坐标分别为(羽丁),(,),(,以)，直线QA,Q 4 的斜率分别为4/2，则直线OTQS 的斜率为分别为 K,%，且 kk?=-j=-j=-,，x+2 x-2%2-2 2I 4,-J 2(l+,2)4,2+l11 1 +2I2 2 6 +1Wion2=xl2 y；=X：+k22 =芈署，同理IOSF=号喏,1 +ZKl 1 +.c s F+c =2Q 驾)I+22,2(1+公)_ 2(1+片)H-T-=-1 +2居 1 +2%：2 1 +T解法2：,b2 1纭=7=-5Ik2%-2一+1/.0 S 2=2k*1+,近 2 2由 K =；H +2=2 S 2火 2 +1设。

S:y=Axl+422kr+于是IOSl2+o TF=3.【例 4】已知椭圆E:工+=1,O 为坐标原点，A B 是椭圆上两点，OAOB的斜率存在24 12并分别记为Z(M,勺“，且则+焉 的 最 小 值 为()2 I OA IOBI 2 1 c 2 D 近6 3 3 2【答案】C【解析】解 法 1：记 A(26 cos a,23 sin a),B Q R cos(3,23 sin ),由 J KB=-=COSaCoS尸 +sinasin尸=O,cos(-)=G,a=+k-(k Z),I OA 2+OB 2=24 cos2 a 12sin2 a 24 cos2 fa+j+12sin2(+=36,1 12-H-.；=IoA l OB IOAI2+OBi =-.当且仅当IO A R O B I时，等号成立.18 3 u解法2：V 2Im.n=T-，I QAF二24(21)2公+11,同理(将Z换成-24,2 2442 2公+1 4 2k2+1 ),|0 8|22(4,+1),于是IOAI2+OB 2=36,2k 2k+12 2-Ql 0B OA2 O B 2 1 8 3.当且仅当Io 4 R O 8时，等号成立.设OA:y=丘，由J=日，+2/242OA+OB解法3：V 2的最小值 为 立311设 tt4:y =履，由 J,=x=,y-+2 y2=24 22+12=”二D,同理(将Z换成-L),OBF=2k2+1 2k24公22+1喘A于是.2+3X6,3P-1-i-H-7 Q l 1 例(IoAW(|。

53 3P(1+1)22 2366 3.当且仅当|A l=IoB l时，等号成立.一+二 一 的最小值 为 亚OA OB 3解法4:仿射变换设X=，r则.一X+y=11=,2 +y Iy=y 24 1212,.Q4XF=y,y J =2.16A I2+1OBI2=2芭+2 x 2+y/=3靖 +3y =36,1 12IO A l+|BI A OAI2+1 OB|2=-=g.当且仅当IoAl=IO8|时，等号成立.18 3V 2_ 1 _+_.的最小值为 农OA OB 32 2【例5】在平面直角坐标系XOy中，已知椭圆C=1 +=l(a 6 0),其焦点到相应准线a b的距离为3,离心率为L .2(1)求椭圆C的标准方程；3（2）如图所示，A,8 是椭圆C 上两点，且直线OA,OB的斜率满足kOA%=-：，延长OA到M,使得OM=34,且 MB交椭圆C 于设 0Q=l0A+08,求证：矛+/?=1；也2 2【解析】（1）山 幺 一 C =3,解 得 =2,=3,C=I,椭圆C 的标准方程 为 二+匕=1.c 4 3a2=b2+c2 解 法 1：OQ=OA+OB,设 A（Xl,）,B（x2,为），则。

之 工 +小，XyI+必）由勉，|得毡+坚=O4 3由A S Q 在椭圆：，得 V=L 4=1,回严+”直八化简得 尸 争+,+1+竽+号）=1，所以h储=1.02而OQ=I o M+3,由M,Q,8 三点共线，得 +=1.3 4 1 4C.=-,a=-,OQ=-OM+-OB,5 5 5 5设BM二出Q,则OQ=Io M+(1-I 3,，=5U ,H-B-M-5.BQ解法2：仿射变换X2+=4,Q4=2,O Y=6,延长 AO 交圆于 E,MA=4 ,ME =8,由勾股定理得：MB=y MO2+OB2=2i(j,由割线。