2021年陕西省西安市第六十七中学高二数学理期末试题含解析.docx
7页
2021年陕西省西安市第六十七中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若非零向量满足，则与的夹角为（ ）A． 30°° B． 60° C． 120° D． 150°参考答案：C2. 已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若⊥，则实数x的值为( )A．2B．﹣2C．1D．﹣1参考答案：A考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题：计算题．分析：利用向量垂直的充要条件，列出方程，再利用向量的数量积公式将其转化为坐标形式，求出x．解答： 解：∵∴即x﹣2=0解得x=2故选A．点评：解决向量垂直的问题，常利用向量垂直的充要条件：数量积为0；数量积的坐标形式为对应坐标的乘积的和．3. 某校高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法从高中生中抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A.45,75,15 B.45,45,45 C.30,90,15 D.45,60,30 参考答案：D4. 若对于任意的实数，都有，则的值是（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 参考答案：B5. 设随机变量，则（ ）A. B. C. D. 3参考答案：B【分析】根据二项分布方差公式求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查二项分布中方差的求解，属于基础题.6. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是A． B．1 C． D．2参考答案：C7. 等比数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则A． B． C． D． 参考答案：D8. 已知集合，则集合= ( )A． B． C． D．参考答案：B9. 已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cos∠POQ取最小值时的∠POQ的大小为( )A． B．π C．2π D．参考答案：D【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】画出不等式组式组，对应的平面区域，利用余弦函数在上是减函数，再找到∠POQ最大时对应的点的坐标，就可求出cos∠POQ的最小值【解答】解：作出满足不等式组，因为余弦函数在上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P与A（7，1）重合，Q与B（4，3）重合时，∠POQ最大．此时kOB=，k0A=7．由tan∠POQ==1∴∠POQ=故选D【点评】本题属于线性规划中的拓展题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）围成的角的问题，注意夹角公式的应用．10. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级:“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于乙，且至少有一门成绩高于乙，则称“甲比乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生.那么这组学生最多有（ ）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线lk：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是 ．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①lk与抛物线 y=﹣均相切； ②lk与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与lk均不相交； ④对任意的i，j∈R，直线li，lj相交．参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中直线lk：y=kx+k2（k∈R），逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：由得：，由△=0恒成立，可得方程组恒有一解，即lk与抛物线均相切，故①正确；圆x2+（y+1）2=1的圆心（0，﹣1）到直线lk：y=kx+k2的距离d==≥1恒成立，当且仅当k=0时，lk与圆x2+（y+1）2=1相切，故②错误；存在直线l：y=x+1，y=﹣x+1，y=0，与直线lk：y=kx+k2（k∈R）均不相交，故③正确；对任意的i，j∈R，直线li，lj的斜率不相等，两直线必相交，故④正确；故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系等知识点，难度中档． 12. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）= ．参考答案：6【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．【解答】解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得f′（2）=﹣12∴f′（x）=6x﹣24∴f′（5）=30﹣24=6故答案为：6【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．13. “”是“”的 ▲ 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）参考答案：充分不必要14. 计算= 参考答案：15. 已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为 ．参考答案：8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．16. 每次试验的成功率为p(0＜p＜1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为____________ 参考答案：p3(1－p)7 略17. 设直线与曲线的图像分别交于点，则的最小值为 参考答案：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）某医院计划从10名医生（7男3女）中选5人组成医疗小组下乡巡诊.（I）设所选5人中女医生的人数为，求的分布列及数学期望；（II）现从10名医生中的张强、李军、王刚、赵永4名男医生，李莉、孙萍2名女医生共6人中选一正二副3名组长，在张强被选中的情况下，求李莉也被选中的概率.参考答案：解：（I）的所有可能的取值为0，1，2，3， ….…….2分 则；；；. ………………………….6分 的分布列为0123 . ……………………9分 （II）记“张强被选中”为事件，“李莉也被选中”为事件， 则，，所以.（亦可直接得）…12分略19. 已知函数.（1）解不等式；（2）设函数的最小值为m，若a，b均为正数，且，求的最小值.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）通过讨论范围，求出各个区间上的的范围，取并集即可；（2）求出的值，根据基本不等式求出的最小值即可【详解】（1）因为，由可得或或得不等式解集为．（2）由（1）知，在单调递减，在上单调递增，所以．因为是正数，则，当且仅当时取等号．又因为，所以，则的最小值为．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式以及转化思想，是一道常规题20. 已知命题p：方程表示圆；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆.（1）若命题p为真命题时，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）若命题为真命题时，则由方程即表示圆，∴解之得∴（2）由成立得∴，若是的必要不充分条件，则，∴解之得∴ 21. （本题满分14分）如图，两条相交线段、的四个端点都在抛物线上，其中，直线的方程为，直线的方程为．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？ 参考答案：当时，，等价于，即，即，即，此式恒成立．（也可以从恒成立来说明）所以，存在常数，当变化时，恒有．……14分考点：1.直线与曲线的位置关系；2.直线的斜率和角的平分线；3.探究思想的应用.22. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°． （Ⅰ）证明AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 参考答案：【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C； （Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B， 因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°， 所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB， 又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0）， 则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，）， 设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即， 可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：． 【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题． 。
