新课标高中数学必修五已知三角形的一边和对角求最值或范围.doc

新课标人教A版高中数学必修五：已知三角形的一边和对角求最值或范围# / 5已知三角形的一边与对角求最值或取值范围的题型的探究一、探究该问题所用到的定理或解论：1、在 ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c :正弦定理： — b C 2R（R为 ABC外接圆的半径）； sin A sin B sin C结论：a =2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC ；结论：1 1 1S.ABC 寸bsinC9bcsinA 寸CsinB ；2、在.'ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c :2卄2 2余弦定理：d2 ；3、a,b • R, a2 • b2 _ 2ab （当且仅当a = b时“=”号成立）；4、a,b • R , a • b _ 2 •. ab （当且仅当a = b时“=”号成立）；5、2a,b・R, a—9也（当且仅当a=b时“=”号成立）；46、辅助角公式： a sinv •bcosr a2 b2 sin（v -;:）,其中 tan，一般地,0tan「一.3 ;tan —1 ;tan 3 二2 3 4 3、具体问题探究:例在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C ,^8。

3（1） MBC面积的最大值；（2） AABC周长的最大值；（3）2a - b的取值范围解析：（1）因为要求的是 ABC的面积，题设中知道C=】，c = 8，所以，要用到3三角形的面积公式SABC=labsi nC ,接下来用余弦定理求出ab的最大值即可2详解：在ABC中，C , c = 8，3求:所以 c2 二 a2 b2「2abcosC 二 64 二 a2 b2「ab= 64 ab 二 a2 b2 _ 2ab=64 ab - 2ab= ab 空 64 S ABCabsin C2(■■ a 0,b 0 )当且仅当a=b时“=”号成立，即该三角形为等边三角形时, 所以，AABC面积的最大值是16、. 32)法 1:在 ABC中，C ,^8，3所以 c2 二 a2 b2「2abcosC 二 64 二 a2 b2「ab二 64 = (a b)2「3ab2=(a b) -64 =3ab _32(a b)42(a b)42-64二(a b) - 4 64二 a b _ 16(■■ a 0,b 0 )当且仅当a=b时“=”号成立，即该三角形为等边三角形时(a b)max "6所以 ABC周长的最大值是24.法2:在. ABC中,sin C16a b=2RsinA 2RsinB=2R(sinA sinB)=2RsinA sin(A — IL 3=2R(si nA 〔s in A 仝 cos A) J6 (? si nA 三cosA)=16si n(A )2 2 <3 2 2 6兀 2兀 兀 兀 2兀C 0 A A -3 3 6 6JI JT JI16sin 16sin(A ) ^16sin6 6 2JI8 ：16sin(A -^16，(a ■ b) max =16， c = 8，所以三角形ABC的周长最大值为24.(3)在 ABC 中，2R -csin C1632a —b =4Rs in A —2Rsi n B =二 2R(2sin A —丄 sin A - 仝 cosA)2 23 . v' 3 兀= 2R(—si nA cos A) =16si n(A-—)2 2 6兀 2兀 兀 兀 兀C 0 ：： A A ,3 3 6 6 2所以，一8 ：16si n(A ) <16，即- 8：：2a—b ：16.6所以，2a -b的取值范围是(-8,16)。

变式训练1:在锐角:ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c，若C ,c = 83求：2a -b的取值范围分析：注意该变式中是在锐角厶ABC中研究解决问题解析：在锐角丄ABC中，2R =csi nC162a-b =4Rs in A-2Rsi nB=2R 2si nA —si n( A 二)=2R(2si nA —」si nA-^cosA)3 2 2= 2R(3s in A-仝 cosA)=16s in (A )2 2 6n ji . n _ . n nC A 0 •；：■ A ,3 6 2 6 3所以，0：：16s in (A )：8.3，即 0 ：： 2a-b ：： 8、3.6所以，2a -b的取值范围是（08.3） o变式训练2:在 ABC中，角代B,C的对边分别为a, b,c，若C ,^8，a_c3求：2a -b的取值范围分析：注意，该变式中也不一定是锐角三角形了，而是 a_c o解析：在 ABC中,2R 二sin C16、32a「b =4Rs in A -2Rsi n B= 2R2sin A-sin(A )1 3 J= 2R(2sin A — *sin AcosA)3 . 3 . ■:= 2R(—si nA cos A) =16si n(A )2 2 6二 二 2 ■: -： .■: .■:C A A ,3 3 3 6 6 2所以，8 ：： 16sin(A__) ：：16，即 8：2a—b：：16.6所以，2a -b的取值范围是(8,16) o三、结论探究: 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若已知c边与C角。

求:（1） ABC面积的最大值；（2） UBC周长的最大值 分析：由三角形中的余弦定理与基本不等式解决处理问题解析：(1)在 AC 中，c2 二 a2 b2 _2abcosC= c2 2abcosC = a2 b2 _ 2ab (当且仅当a =b时“=”成立） 所以，c22 2 2 —c 2abcosC _ 2ab= 2ab -2abcosC _ c = 2ab(1 -cosC) _ c = 2ab - 1 — cosC c c2 sin cos2 2S.ABC1 1 absin C --22(1 -cosC). c2 sin C sin C4 1 -cosCc cos-2.csin24ta n2^22 c_(5 ?)所以,S'ABC4 ta n2 -2即(S. ABC)max(2)在 ABC 中,2b 「2abcosC 二因为,2ab，3所以,(a b)2 -c21 cosC因为,所以,所以,4ta n2^42 2 —c (a b) 「2ab「2abcosC =（当且仅当a=b时“=”成立）= 2ab(1 - cosC)乞 2(1 cosC))(a b)2 _c2= (a b)2a，b,c R，sinf 0a b

sin2四、结论体验:(a b)21 cosC2 2(a b)「c 二 2ab(1 cosC)1 cosC(a b)21-cos2C2.2C sin —2.C 0sin21、在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C3宀6则该三角形面积的最大值为;周长的最大值为2、 在 ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,若C ,c = 4则该三角形面6积的最大值为 ;周长的最大值为 ；3、 在.'ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B二三，b = 6则a c的取值3范围是 五、课后加强训练：1已知锐角 ABC中，角A B、C的对边分别为a，b, c，向量■S（C .、i （ C 小•）m=12cos—，—s in C,n = I cos—,2sin CI2 丿I 2 丿，且 m _ n(1)求角C ；(2 )求：ABC面积的最大值;(3) 求a b的取值范围;(4) 求的取值范围;c(5 )求 1的范围a b2六、总结：这类问题在各种考试是常出题型， 在教学中引导学生推导与总结，在学生学习中 可起到事半功倍的作用许成怀2019、10、 31。