梁的弯曲变形与刚计算课件.pptx

第1页/共67页7-19.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题第2页/共67页第3页/共67页 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题第4页/共67页9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题第5页/共67页 挠挠度度(w):横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠挠度度(Deflection)取梁的左端点为坐标原点,梁变形前的轴线为x轴,横截面的铅垂对称轴为y轴,xy平面为纵向对称平面9.1 工程实际中的弯曲变形问题 x yBABCC1挠度w挠度符号？第6页/共67页 x yBABCC1转角符号？转角 转转角角():横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或角位移）,称为该截面的转转角角(Slope rotation angle)第7页/共67页挠度和转角符号的规定：挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中,向上为正,向下为负转角：逆时针转向为正,顺时针转向为负yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)9.1 工程实际中的弯曲变形问题F第8页/共67页必须注意:梁轴线弯曲成曲线后,在x轴方向也有线位移。

9.1 工程实际中的弯曲变形问题yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F但在小变形情况下,梁的挠度远小于跨长,横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量,可略去不计第9页/共67页挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线挠曲线方程:式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)挠曲线挠曲线9.1 工程实际中的弯曲变形问题F第10页/共67页挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)9.1 工程实际中的弯曲变形问题F第11页/共67页9.2 挠曲线的近似微分方程横力弯曲时,M和 都是x的函数略去剪力对梁的位移的影响,则纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知,平面曲线的曲率可写作第12页/共67页曲线向上凸 时：w0,M0因此,M与w的正负号相同MMM0w0MM曲线向下凸 时：w0,M0Oxy第13页/共67页由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,w2远比1小,可以略去不计,于是上式可写成此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程Approximately differential equation of the deflection curve)称为近似的原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了w2项。

第14页/共67页再积分一次,得挠度方程挠度方程上式积分一次得转角方程转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边边界界条件条件和变形的连续性条件连续性条件来确定9.3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形第15页/共67页简支梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 连续性条件连续性条件(Continuity condition)在挠曲线的任一点上,有唯一的挠度和转角如:不可能不可能c第16页/共67页 讨论讨论：适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁缺点：计算较繁第17页/共67页例例1：图图示示一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的悬悬臂臂梁梁,在在自自由由端端受受一一集集中中力力F作作用用试试求求梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程和和转转角角方程方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角 max。

ABlxxy解解：以以梁梁左左端端A为为原原点点,取取直直角角坐坐标标系系,令令x轴轴向右向右,y轴向上为正轴向上为正1)列弯矩方程列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分 第18页/共67页(3)确定积分常数确定积分常数 代入式代入式(a)和和(b),得：得：C10,C20ABlxxyF在在x0处处,w0 在在x0处处,0 第19页/共67页ABlxxyF(4)建立转角方程和挠度方程建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数将求得的积分常数C1和和C2代入式代入式(a)和和(b),得梁得梁的转角方程和挠度方程分别为：的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度 自由端自由端B处的转角和挠度绝对值最大处的转角和挠度绝对值最大wmax max所所得得的的挠挠度度为为负负值值,说说明明B点点向向下下移移动动;转转角角为为负值负值,说明横截面说明横截面B沿顺时针转向转动沿顺时针转向转动第20页/共67页xlABqFAFB例例2:2:图图示示一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁梁,在在全全梁梁上上受受集集度度为为q的的均均布布荷荷载载作作用用。

试试求求此此梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程和和转转角角方方程程,并并确确定定其其最最大大挠挠度度 wmax和和最最大大转角转角 max xy解解:由由对对称称性性可可知知,梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为第21页/共67页积分两次积分两次xlABqFAFBxy第22页/共67页简支梁的边界条件是简支梁的边界条件是在在x0处处,w0 在在xl处处,w0 代入代入(c)、(d)式确定出式确定出积分常数积分常数xlABqFAFBxy第23页/共67页ABqxy A Bwmaxl/2由由对对称称性性可可知知,在在两两端端支支座座x0和和xl处处,转转角角的的绝绝对对值值相相等且都是最大值等且都是最大值在在梁梁跨跨中中点点l/2处处有有最最大大挠度值挠度值第24页/共67页例例3：图图示示一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁梁,在在D点点处处受受一一集集中中力力F的的作作用用试试求求此此梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程和和转转角方程角方程,并求其最大挠度和最大转角并求其最大挠度和最大转角xlABFabFAFBD解解:求出梁的支反力为求出梁的支反力为将梁分为将梁分为I和和II两段两段,其弯矩方程分别为其弯矩方程分别为III第25页/共67页梁段梁段I (0 x a)梁段梁段II(a x l)两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为积积分分一一次次得得转转角角方方程程再再积积分分一一次次得得挠挠曲曲线方程线方程挠曲线方程挠曲线方程注注意意：在在对对梁梁段段II进进行行积积分分运运算算时时,对对含含有有(x-a)的的弯弯矩矩项项不不要要展展开开,而而以以(x-a)作作为为自自变变量进行积分量进行积分,这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。

这样可使下面确定积分常数的工作得到简化第26页/共67页D点的连续条件：点的连续条件：在在x=a处处,1 2,w1w2边界条件边界条件:在在x=0处处,w10在在x=l处处,w20代入方程可解得代入方程可解得:xlABFabFAFBDIII第27页/共67页梁段梁段I (0 x a)梁段梁段II(a x l)将积分常数代入得将积分常数代入得转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程第28页/共67页将将x=0和和x=l分分别别代代入入转转角角方方程程左左右右两两支支座座处截面的转角处截面的转角当当a b时时,右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大xlABFabFAFBDIII第29页/共67页简简支支梁梁的的最最大大挠挠度度应应在在w0 0处处研研究究第第一一段段梁梁,令令w10 0得得当当a b时时,x1 a,最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中xlABFabFAFBDIII第30页/共67页 在极端情况下在极端情况下,当当b b非常小非常小,以致以致b b2 2与与l l 2 2项相比可以略去不计时项相比可以略去不计时讨论讨论1:1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？xlABFabFAFBDIII则：当则：当F F从梁中点位置向从梁中点位置向B B支座移动时，支座移动时，b b值减小时，值减小时，x x从从0.5L0.5L向向0.577L0.577L趋近（趋近（F F接近接近B B点时）；点时）；此时最大挠度的位置离此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。

梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大第31页/共67页梁中点梁中点C C处的挠度为处的挠度为结结论论:在在简简支支梁梁中中,不不论论它它受受什什么么荷荷载载作作用用,只只要要挠挠曲曲线线上上无无拐拐点点,其其最最大大挠挠度度值值都都可可用用梁梁跨跨中中点点处处的的挠挠度度值值来来代代替替,其其精精确确度度是是能能满满足足工程要求的工程要求的略去略去b b2 2项项,得得第32页/共67页讨论讨论2:BD2:BD段上有无段上有无=0=0的点？的点？xlABFabFAFBDIII第33页/共67页条件：由由于于梁梁的的变变形形微微小小,梁变形后其跨长的改变可略去不计,且梁梁的的材材料料在线弹弹性性范围内工作范围内工作,因而,梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系9.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角 在这种情况下,梁在几项载荷(如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角,就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加此即为叠加原理第34页/共67页按按叠叠加加原原理理 求求A A点点转转 角角 和和C C点挠度解、解、载荷分解如图载荷分解如图PP=+AAABBB Caa 例题例题例题例题第35页/共67页 查简单载荷引起的变形。

查简单载荷引起的变形PP=+AAABBB Caa叠加叠加第36页/共67页例例：一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁梁受受荷荷载载如如图图所所示示试试按按叠叠加加原原理理求求梁梁跨跨中中点点的的挠挠度度wC 和和支支座座处处横横截面的转角截面的转角 A,BBAqlMeC解解：将将梁梁上上荷荷载载分分为为两两项项简单的荷载简单的荷载第37页/共67页例例:试试利利用用叠叠加加法法,求求图图示示抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度wCBql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解解：该梁上荷载可视为：该梁上荷载可视为正正对称载荷对称载荷与与反称对载荷反称对载荷两两种情况的叠加种情况的叠加1)正对称载荷作用下正对称载荷作用下第38页/共67页(2)反对称荷载作用下反对称荷载作用下在跨中在跨中C截面处截面处,挠度挠度wC2等于零BACq/2q/2(3)将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加,即得即得（）第39页/共67页例例 用叠加法求梁中点处的挠度设用叠加法求梁中点处的挠度设bl/2l/2lABqbxdx解解：将将均均布布荷荷载载看看作作许许多微集中力多微集中力dF组成组成dF=qdxdFC当b=l/2时,结果与例2一致.第40页/共67页例例 叠加法（叠加法（逐段刚化法逐段刚化法)抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI，求，求B处处的挠度与转角、的挠度与转角、C C处的转角。

处的转角PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价等价等价PL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCM第41页/共67页w2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1第42页/共67页一、梁的刚度条件：一、梁的刚度条件：、校核刚度。