小学数学几何五大模型教师版7155-修订编选.pdf

几何五大模型几何五大模型 一、五大模型简介一、五大模型简介 （1）等积变换模型（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，S1：S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图所示，S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，SACD=SBCD；反之，如果 SACD=SBCD，则可知直线 AB 平行于 CD 例、如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E、F 分别是 BC、AC、AD 的中点，求三 角形 DEF 的面积 例、如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E、F 分别是 BC、AC、AD 的中点，求三 角形 DEF 的面积 （2）鸟头（共角）定理模型（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图下图三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上或 AB、AC 延长线上的点 则有：SABC：SADE=（ABAC）：（ADAE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接 BE，根据等积变化模型知，SADE：SABE=AD：AB、SABE：SCBE=AE：CE， 所以 SABE：SABC=SABE：（SABE+SCBE）=AE：AC，因此 SADE：SABC=（SADE： SABE）（SABE：SABC）=（AD：AB）（AE：AC）。

例、 如图在 ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上， 且 AB： AD=5:2， AE： EC=3:2， ADE 的面积为 12 平方厘米，求 ABC 的面积 例、 如图在 ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上， 且 AB： AD=5:2， AE： EC=3:2， ADE 的面积为 12 平方厘米，求 ABC 的面积 （3）蝴蝶模型（3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、 如图， 梯形 ABCD， AB 与 CD 平行， 对角线 AC、 BD 交于点 O， 已知AOB、 BOC 的面积分别为 25 平方厘米、35 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积 例、 如图， 梯形 ABCD， AB 与 CD 平行， 对角线 AC、 BD 交于点 O， 已知AOB、 BOC 的面积分别为 25 平方厘米、35 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 例、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，如果三角形 ABD 的面积等于 三角形 BCD 面积的 1/3，且 AO=2、DO=3，求 CO 的长度是 DO 长度的几倍。

例、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，如果三角形 ABD 的面积等于 三角形 BCD 面积的 1/3，且 AO=2、DO=3，求 CO 的长度是 DO 长度的几倍 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一 方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 （4）相似模型（4）相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或 两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似 3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似模型大致分为金字塔模型、 沙漏模型这两大类， 注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线！ 例、如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=16、AD=10、BE=4，那么 FC 的长度是 多少？ 例、如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=16、AD=10、BE=4，那么 FC 的长度是 多少？ （5）燕尾模型（5）燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫 做燕尾模型,看一下它都有哪些性质： SABG：SACG=SBGE：SCGE=BE：CE SBGA：SBGC=SGAF：SGCF=AF：CF SAGC：SBGC=SAGD：SBGD=AD：BD 例、如图，E、D 分别在 AC、BC 上，且 AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD 与 BE 交于 点 F，四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米，求三角形 ABC 的面积。

例、如图，E、D 分别在 AC、BC 上，且 AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD 与 BE 交于 点 F，四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米，求三角形 ABC 的面积 二、五大模型经典例题详解二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型（1）等积变换模型 例 1、图中的 E、F、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边 长是 12，那么阴影部分的面积是多少？ 例 1、图中的 E、F、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边 长是 12，那么阴影部分的面积是多少？ 例 2、如图，Q、E、P、M 分别为直角梯形 ABCD 两边 AB、CD 上的点，且 DQ、CP、ME 彼此平行，已知 AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形 PQM 的面积 例 2、如图，Q、E、P、M 分别为直角梯形 ABCD 两边 AB、CD 上的点，且 DQ、CP、ME 彼此平行，已知 AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形 PQM 的面积 （2）鸟头（共角）定理模型（2）鸟头（共角）定理模型 例 1、如图所示，平行四边形 ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四 边形 ABCD 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比。

例 1、如图所示，平行四边形 ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四 边形 ABCD 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比 例 2、 如图所示， ABC 的面积为 1， BC=5BD、 AC=4EC、 DG=GS=SE、 AF=FG， 求FGS 的面积 例 2、 如图所示， ABC 的面积为 1， BC=5BD、 AC=4EC、 DG=GS=SE、 AF=FG， 求FGS 的面积 （3）蝴蝶模型（3）蝴蝶模型 例 1、如图，正六边形面积为 1，那么阴影部分面积为多少？例 1、如图，正六边形面积为 1，那么阴影部分面积为多少？ 例 2、 如图， 长方形 ABCD 被 CE、 DF 分成四块， 已知其中 3 块的面积分别为 2、 5、 8 平方厘米，求余下的四边形 OFBC 的面积 例 2、 如图， 长方形 ABCD 被 CE、 DF 分成四块， 已知其中 3 块的面积分别为 2、 5、 8 平方厘米，求余下的四边形 OFBC 的面积 例 3、 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， E 为 AD 的中点， F 为 CE 的中点， G 为 BF 的中点，求三角形 BDG 的面积。

例 3、 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， E 为 AD 的中点， F 为 CE 的中点， G 为 BF 的中点，求三角形 BDG 的面积 （4）相似模型（4）相似模型 例 1、如图，正方形的面积为 1，E、F 分别为 AB、BD 的中点，GC=1/3FC,求阴影 部分的面积 例 1、如图，正方形的面积为 1，E、F 分别为 AB、BD 的中点，GC=1/3FC,求阴影 部分的面积 例 2、如图，长方形 ABCD，E 为 AD 的中点，AF 与 BD、BE 分别交于 G 和 H，OE 垂 直于 AD，交 AD 于 E 点，交 AF 于 O 点，已知 AH=5,HF=3,求 AG 的长 例 2、如图，长方形 ABCD，E 为 AD 的中点，AF 与 BD、BE 分别交于 G 和 H，OE 垂 直于 AD，交 AD 于 E 点，交 AF 于 O 点，已知 AH=5,HF=3,求 AG 的长 （5）燕尾模型（5）燕尾模型 例 1、如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中 点，求四边形 BGHF 的面积 例 1、如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中 点，求四边形 BGHF 的面积。

例 2、 如图， 在ABC 中， BD=2DA、 CE=2EB、 AF=2FC， 那么ABC 的面积是阴影GHI 面积的几倍？ 例 2、 如图， 在ABC 中， BD=2DA、 CE=2EB、 AF=2FC， 那么ABC 的面积是阴影GHI 面积的几倍？ 例 3、如图，在ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E、F 是 BC 的三等分点，若ABC 的面积是 1，求四边形 CDMF 的面积 例 3、如图，在ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E、F 是 BC 的三等分点，若ABC 的面积是 1，求四边形 CDMF 的面积。