高考数学一轮复习题型讲解+训练：导数与函数零点（原卷版+解析）.pdf

2023高考一轮复习讲与练专题17 导数与函数零点、方程的根导数与函数零点、方程的根判断函数 判断方程 已知零点零点 个 数|1根的个数个 孥 皆的已个知数方求程参根数范围有关函数零点个数的证明练布考照方向1.（多选题）（2023新高考I 卷 T 10）已知函数/（X）=V-x+l ,则（）A.A x）有两个极值点 B./有三个零点C.点（0,1）是曲线y =/（x）的对称中心 D.直线y =2 x 是曲线y =/（x）的切线2.（2023全国乙（文）T 20）已知函数/（X）=奴 工一（a +l）l nX .x（1）当a =0 时，求/（丈）的最大值；（2）若/（x）恰有一个零点，求 a的取值范围.3.（2023全国乙（理）T 21）已知函数x）=l n（l+x）+a x e-（1）当a =l 时，求曲线y =/（x）在点（0,/（0）处的切线方程；（2）若/（%）在区间（1,0）,（0,”）各恰有一个零点，求 a的取值范围.4 .（2023年高考全国乙卷理科）设 函 数/（尤）=In（a 力，已知x =0 是函数y =4（力的极值点.求 a；设函数g（x）=x +/(x).证明:g(x)l.x,x 013 2恰有3 个零点，则A.1,b 0 B.。

0C.a 1,b 1,Z?06.(2023年高考数学课标全国I 卷理科)已知函数/(x)=si nx l n(l +x),尸(x)为/(x)的导数.证明：(1)/(x)在区间 1,/存在唯一极大值点；(2)/(x)有且仅有2 个零点.7.(2023年高考数学课标全国I 卷理科)已知函数/(x)=si nx l n(l +x),尸(x)为 y(x)的导数.证明：(1)/(x)在区间 一 1,|存在唯一极大值点；(2)/(X)有且仅有2 个零点.8.(2023年高考数学课标II卷(理)已 知 函 数/(无)=修-依2.(1)若 q=l,证明：当xNO时，/(x)N l;(2)若/(x)在(0,+8)只有一个零点，求 a.9.(2023高考数学新课标1 理科)(本小题满分12分)-3 1已知函数/(x)=x +ax+,g(x)=-Inx4(I)当a为何值时，x轴为曲线y =/(x)的切线；(II)用 m i n”表示九中的最小值，设函数/z(x)=m i n/(x),g(x)(x 0),讨论7i(x)零点的个数.10.(2023年高考数学新课标I 卷理科)已知函数/(x)=a e 2x+(a 2)e X x.讨论龙)的单调性；(2)若龙)有两个零点，求。

的取值范围.11.(2023高考数学课标1 理科)已知函数/(x)=x3 3 1 +1,若/(x)存在唯一的零点/，且/0,则的取值范围为()A.(2,+8)B.(-8,-2)C.(1,+8)D.(-8,-1)锦典例备布考类型一、利用导数判断函数零点的个数基本题型：1 21.已知函数/(x)=x si nx +c o sx +以,xG-n.7 r(1)当=0 时，求/(%)的单调区间；(2)当 0,讨论了(盼的零点个数；2、已知函数/(x)当0 时,求 证：危)%；(2)讨论函数八尤)在R 上的零点个数.基本方法：1、两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间 a,句上是连续不断的曲线，且式)负6)0.(1)直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明八)负6)0；(2)分类讨论法：判断几个零点时，需先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明/(a)-X )0.2、讨论零点个数，常用以下基本步骤：利用导数判断函数的增减区间；求出函数极值点；判断(讨论)函数极值与零点个数关系.类型二、利用导数判断方程根的个数基本题型：1、已知函数/(x)=e x 1,g(x)=5+x,其中e 是自然对数的底数，e=2.718 28-o证明：函数 贴)=段)一g(x)在区间(1,2)上有零点。

2)求方程於)=g(x)的根的个数，并说明理由2、设 a,6GR,已知函数 x)=；a l nr Z z r 的导函数为/(x),且/(1)=3时，求函数五尤)的单调递减区间2)当方程川)+2 x=0 有唯一实数根时，求实数a的取值范围类型三、已知函数零点个数求参数范围基础知识：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.具体思路为：(1)利用导数讨论函数的单调性、极值或最值.对一般函数，可以直接求导并讨论函数的单调性、极值或最值；对较为复杂的函数，可以先构造几个函数，并分别借助导数讨论这几个函数的单调性、极值或最值.(2)讨论零点的相关问题.由可以建立函数之间的相互关系，进而确定函数的零点或方程的根的情况；也可以根据函数的零点或方程的根的情况建立关于相关参数的不等式(组)或方程(组).基本题型：|x2+2 7 X+t z|,X 0、x 3的取值范围为.2 .已知关于%的函数/(幻=竺了(2 0).e(1)当a =1时，求函数/X x)在点(0)处的切线方程.(2)设g(x)=e (x)+l n x,讨论函数g(X)的单调区间.(3)若 函 数/(x)=/(x)+l没有零点，求实数。

的取值范围.3 .已知函数/(x)=x l n x +x?-a x(a e R).(1)若3,求/(x)的单调性和极值；(I I)若函数y =/(x)+，至少有1个零点，求a的取值范围.4 .设函数/(x)=a e*+c os x,其中a e H.(I )已知函数八)为偶函数，求的值；(I I)若 a =l,证明：当尤 0 时，f(x)2 ；(I I I)若/(%)在区间 0,句内有两个不同的零点，求的取值范围.“I n x5.已知函数人0二一+以一3,g(x)=-,当a =2时，/(x)与g(x)的图象在x=l处的切线相同.求上的值；(2)令5(x)=/(x)g(x),若网尤)存在零点，求实数的取值范围.基本方法：1、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.类型四、已知方程根的个数求参数范围基本题型：1 .若关于X的方程卜2-4 x|-k x-k=o有四个不同的实数根，则实数k的取值范围为()A.(0,6 -2 7 5)B.(，6-2 7 5)C.(0,6+2 下)D.(6-2如，6+2 7 5)2 .已知函数“r)=x+；l n 2 x l n x+1.(1)讨论式X)的单调性；(2)若%0,方程 矿(x)x+1=0有两个不同的实数解，求实数机的取值范围.类型五、有关函数零点个数的证明基本题型：1、已知函数/(x)=l n x x+2 s i n x,f，(x)为/(x)的导函数.(1)求证：/(X)在(0,)上存在唯一零点；求 证：/(“有且仅有两个不同的零点.2.已矢口函数/(x)=e*-2 c os x ,x e R.1)求 函 数 在 x =O 处的切线方程；(2)是否存在正数。

的值使得/(x)N a(x-l)对 任 意 x e 0,+恒成立？证明你的结论.(3)求证：A x)在-乃,+8)上有且仅有两个零点.基本方法：1.已知函数/(%)=0,z、,x(氏)，若方程2 =0 恰有3 个不同的根，则的取值范x+3,%0.围是()A.(-c o,0)B.(-o o,l)C.(-o o,0 D.(-00,12.已知函数/(%)=0B.3 1n2-2 C.3 1n2 D.3 1n2 +23.已知函数/(x)=A.e 九 0B.-1 C.e D.14、(多选题)设定义在H 上的函数/(尤)满足/(x)+/(x)=f,且当x W O时，/(九)/(l-x)-1-(l-x)2 L 且/为函数 g(x)=e*a(a e R,e 为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是(B.C.D.yje5.已知函数尤)=|111乂 2G:恰有三个零点，则实数的取值范围为6.已知函数/(%)=0围是.7 .已知函数/(x)=2*+(1-6 2,*-ca2(a&R).(1)证明：当龙N e?时，eA%2；(2)若函数“尤)有三个零点，求实数的取值范围.8 .已知函数於)=%+3 1占一l nx+1.(1)讨论人尤)的单调性；(2)若加 0,方程2 f (x)尤+?=。

有两个不同的实数解，求实数机的取值范围.9、已知函数y(x)=2 1n无 一+办.(1)当2时，求/(x)的图象在x=l 处的切线方程；1(2)若函数g(x)=/(x)办+%在 仁，e 上有两个零点，求实数机的取值范围.10.已知函数/(X)=si n 2x a|In x|.(1)若 a=1,讨论/(x)在区间(0,1)上的单调性；(2)证明：当a 0 时，/(刈 在 区 间(0,万)上有且只有两个零点.11.函数/(x)=ax+xl nx在 x=l 处取得极值.求 小)的单调区间；(2)若丫干力一机一1 在定义域内有两个不同的零点，求实数机的取值范围.12、设 函 数 力=2 x3+ax2+bx+m的导函数为/(%),若函数y =/(x)的图象关于直线尤=-g对称,且/=0.(1)求 实 数 服 6的值；(2)若函数/(九)恰有三个零点，求实数机的取值范围.1 3.已知函数兀c)=F 一依(ae R).(1)讨论函数加)的单调性；当 a=2时，求函数g(x)=/(x)c o sx在(苫，+8)上的零点个数.1 4.已知函数/(x)=(x+l)lnxa t,是实数.当 a W 2 时，求证：“尤)在定义域内是增函数；讨论函数尤)的零点个数.15、已知函数 fix)=22lnx 一/(a。

)o(1)当1 时，求曲线y=/(x)在点(1,犬1)处的切线方程2)求函数於)的单调区间3)讨论函数段)在区间(1,e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)2023高考一轮复习讲与练专题17 导数与函数零点、方程的根A.7(无)有两个极值点 B./有三个零点C.点(0,1)是曲线 =/(尤)的对称中心 D.直线y =2 x是曲线 =/(尤)的切线答案：A C【解析】分析：利用极值点的定义可判断A,结合A x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，/，(x)=3 x2-l,令/(0得X#或 /,令/(x)得所以/在(_上单调递减，在(-哈-,+o o)上单调递增，所以x=g是极值点，故A正确；因/(#)=1+孚0，/(岑)=1孚o,/(-2)=-5/f 0,即函数%)在j告+8上无零点,7综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；令 力)=13 X,该函数的定义域为R,A(-x)=(-X)3-(-x)=-x3+x=-h(x),则以X)是奇函数，(0,0)是(X)的对称中心,将K x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心,故C正确；令 r a)=3f1=2,可得X=l,又/=1)=1,当切点为(1,1)时，切线方程为 y =2 x 1,当切点为(1,1)时，切线方程为y =2 x+3,故 D 错误.2.(2 02 3 全国乙(文)T20)已知函数/(x)=取工一(a+l)l nx.(1)当a=0 时，求/(%)的最大值；(2)若/(幻恰有一个零点，求 的取值范围.答案：(1)-1 (2)(0,4 W)【解析】分析：(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；(2)求导 得 广(耳=(奴 吁_1)，按照a VO、0 。

1 结合导数讨论函数的单X调性，求得函数的极值，即可得。