行列式的计算方法与技巧.doc

行列式的计算方法与技巧行列式的计算方法与技巧学生姓名： 指导教师：【摘要摘要】在高等代数中,行列式的求解 是非常重要的,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显，因此熟练的掌握行列式的计算技巧是非常有用的，不同的行列式有不同的计算方法,本文根据行列式的特点,通过例题的形式列举了行列式的几种计算方法:三角形法、递推法、拆行(或列)法、加边法、数学归纳法并指明了这些方法的使用条件同时指出求行列式时需要分析行列式的特点选择适当的方法,以便简化计算关键字：行列式 计算方法 技巧The calculating methods of determinant and skilStudent name: Guidance teacher: Abstract: determinant computational method skillsIn Advanced Algebra, the solutions to determinant are very important. Directly working out the the determinant is usually difficult and finicky, especially when the elements of determinant are graphemes. So skilfully mastering the computational techniques in determinant is fairly useful. Different determinants have different conputational methods.According to different determinantal characteristics,this paper has listed several computational methods by useing examples, such as triangular method、recurrence method、open line method or column line method、add adge method and mathematical induction method and clearly figured out their useing requirements. Meanwhile, it has figured out that the proper method should meet the analysed characheristics of determinants when finding their solutions, so as to simplify the computation.一一 定义法1111111 111121()21222 112()()( 1)( 1)nnnnnnn nnn nnnnnjjDjjjjjji i jjiii iaaa aaaaa aaaaaLL LLLL LL L MM L按定义计算行列式是最原始的，最基本的方法，理论上，按定义可以计算一 切行列式但是由于计算量大，我们一般用在 4 阶或 4 阶以下的行列式的计算中， 但是在多阶行列式中零比较多的情况下也可以用 列列 1 计算行列式12137185258213024D 的结果 解解 12131213718520421958210231430240615D1213 02314 04219 0615  12131213 0231402314 0084700847 0083700010   二二 化三角法化三角法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形的行列式计 算的一种方法是计算行列式的基本方法之一，因为利用行列式定义已求的上 （下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算， 原则上每个行列式都能利用行列式的性质化为三角形行列式，但是由于高阶行 列式计算比较繁，因此在很多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种 保值变形，再将其化为三角形行列式。

列列 2 求 n 阶行列式123nxxxxxxxxxxxxa a aaLLLLLLLLL的值123nxxxxxxxxxxxxa a aaLLLLLLLLL11223300 00 00nnnnnaxxxaxx xaxxaxx xxaxaxxxxxaxaxaxaa  LL LL LL LLLLLLLLLL LL123 121111000()0100()0010()()()()0001()0000()()nnn nniixaxxaxxaxax axaxxaxaxaxaxLLL LLLLLLLLL12121()()()()()()()()nnnnaxxxax axaxaxaxaxaxLL注意 能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行(列)有尽 可能多的相同的元素.我们利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列), 出现更多的零,进而化为三角形.三三 利用范德蒙行列式12 222 12 1111 12111()nnnji ij nnnn naaa Daaaaaaaa   L L L LLLL L列列 3 计算 n 阶行列式的值222111111112112(1)12(1)nnnnnX DnXnX LLLLLLLLL解解令1211,2,,1,nnaaanaXL则有上述公式可得233[(1)(2)((1))][(2)(3)1][(3)(4)1][(32)(2 1)][2 1][(1)(2)((1))](2)(3) (4)2nnDXXXnnnnnXXXnnnnLLLLLL四四 拆行（列）法 由行列式的性质可得由已知的行列式拆成若干个行列式之积计算其值再得 原行列式值 有行列式性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和， 该行列式可拆成两行列式和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他个行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同， 利用行列式这一性质，就可以容易求得其值。

列列 4 解 n 阶行列式nxaaaaxaa Daaxaaaax  LLLLLLLLL解解nxaaaaaaaxaaaaaxaaaxaaaxaa Daaxaaaxaaaxaaaaxaaaxaaax LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1 1()()(1)n na xaxa D nxaaaaaaaxaaaaaxaaaxaaaxaa Daaxaaaxaaaxaaaaxaaaxaaax LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1 1()()(2)n na xaxa D  22 122 1(1) ()()()()(2) ()()()()()()1[()() ]()()2n nnn nnnn nn nxaxa Da xaxaDxaxa Da xaxaDa xaa xaDxaxaxaxa 五五 降阶法设nijaD为 n 阶行列式，根据行列式按行（列）展开有nD=111iiniininaaAALL或111njnjjnjjnaaDAALL此种方法旨在降低行列式的阶数，在一般情况下运算量不会减少很多，但是在 当某一行或某一列出现零元素比较多时它才能发挥真正的作用。

列列 5 计算 n 阶行列式000000000000nxyxy DxyyxLLLLLLLLLL解解 以第一列展开的1(1)000000 00000( 1)000000n nnxyy xyxyDxyyxy LL LL LLLLLLLLLLL LL1( 1)nnnxy 六六 递推法 利用行列式性质，把 n 阶行列式表示为有相同结构的较低行列式（比如 n-1 阶或 n-1 阶与 n-2 阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式列列 6 求行列式( )00 10 010000nnD    L L L LLLLL L的值 解解( )(1)(1)1200 10 01000000000 1010 ()( 1)0100100000000()nnnnnnDDD         L L L LLLLL LLL LL LL LLLLLLLLLL L112()nnnnDDDD以此类推12233221()()nnnnDDDDDDDDL L2 1232 21()()nnnnnDDDDDDL并有1D2 222 1()1[()()]nn nnDDD  若0便得n nD否则除以n后移项112 12212()()()()()1()()nnnnnn nnnnnDDDD       LLL如则11nnnD 如则(1)n nDn七七 开阶法（加边法）加边法一般做法是1 1112131 111111112311100100n n nn nnnnnnnnnnnnnaaaaaabaaaaD aaaabaaaaLLLLLMMMMMMMM LLL特殊情况下取121naaaL或121nbbbL加边法不是随便加一行或一列就可以，关键要观察每行每列是否有相同的因子。

利用行列式按行(列) 展开的性质,把 n 阶行列式通过加行(列)变成与之相等的 n+ 1 阶行列式,利用行列 式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更 多为零的元素后再进行计算.添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在:(1)首 行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列.当然有时也添加在行列式的 一般行与列的位置 列列 7 计算行列式2111 22222111111111nnnnnnaaa aaaaaaLL MML的值解解 2111 22222111111111nnnnnnaaa aaaaaaLL MML222111111111 222222222222222100011112 10 10 10 1111111011111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLL221 11111111 221 2222222222120001000 111 111111nnnnnnnnn nnnnnnnnaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaa  LL LL LL LLLLLLLLLL LL22 111111 22 2222222220001111 11 1111nnnnnn nnnnnnaaaaaa aaaaaaaaaaaaLL LL LL LLLLLLLLLL LL21 11111。