05第五节隐函数的导数..doc

第五节隐函数的导数分布图示★隐函数的导数★例3 ★例1 ★例4 ★例2 ★例5★对数求导法★例6★例7 ★例8 ★例9★由参数方程所确定的函数的导数 ★例10★例11 ★例12 ★例13★ *相关变化率★例14 ★内容小结★课堂练习★习题2-5内容要点一、 隐函数的导数假设由方程F(x,y)=O所确定的函数为y=y(x)，则把它代回方程F(x,y)=O中，得到 恒等式F(x,f(x))三0dydx利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量 x求导，再解出所求导数是隐函数求导法.，这就二、 对数求导法：形如y=u(x)v(x)的函数称为幕指函数.直接使用前面介绍的求导 法则不能求出幕指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后 在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数.我们把这种方法称为对数 求导法.三、 参数方程表示的函数的导数设?? x=?(t)? y=书(，)x= ?(t)具有单调连续的反函数t=?-1(x),则变量y与x构成复合函数 dy关系 y珂[?1(x)].且 dy=. dxdxdt例题选讲 隐函数的导数 例1(E01)求由下列方程所确定的函数的导数.ysin x-cos(x-y)=0.解在题设方程两边同时对自变量x求导，得ycosx+sin? dydx+sin(x-y)? (1-dydx)=O整理得［sin(x-y)-sinx］解得dydx=dydx=s in( x-y)+ycosx sin( x-y)+ycosxsin (x-y)-si nx.例2求由方程xy-ex+ey=O所确定的隐函数y的导数 解方程两边对x求导,y+xdydx-e+exydydx,dydxx=O. dydx=O解得dydx=e-yx+eyx,由原方程知x=O,y=O,所以dydx|x=O=e-yx+eyx=Oy=Ox=1.例3 (EO2)求由方程xy+Iny=1所确定的函数y=f(x)在点M(1,1)处的切线方程.解在题设方程两边同时对自变量 x求导，得y+xy'+1yy'=O 解得 y'=-y2xy+1在点 M(1,1)处，y'x=1y=1= -121? 1+仁-12于是，在点M(1,1)处的切线方程为y-1=-12(x-1)，即 x+2y-3=0.44例4设x-xy+y=1,求y''在点(0,1)处的值.解方程两边对x求导得 4x-y-xy'+4yy'=0,(1) 33代入 x=0,y=1 得 y'x=0y=1= 14;将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2-2y'-xy''+12y2(y')2+4y3y''=0,14116 代入 x=0,y=1,y'x=0y=1=得 y”x=0y=1二-.例5 (E03)求由下列方程所确定的函数的二阶导数.y-2x=(x-y)l n( x-y).x-y)+(x-y)解 y'-2=(1-y')l n(12+ln(x-y)1-y'x-y, ••• y'=1 +'?? 1[2+ln(x-y)]'1-y'(代入 y') ? =-=-y''=(y')'= 22 2+ln(x-y) ? [2+ln(x-y)](x-y)[2+ln(x- y)]??=1(x-y)[2+ln (x-y)]3.对数求导法例 6 (E04)设 y=xsinx(x>0),求 y'.解等式两边取对数得两边对x求导得1yy'=cosx? Inx+sinx? 1x, 1? sinx?? sinx? cosx? lnx+? . • y'=y cosx? lnx+sinx? ? =xxx????例7 (E05)设(cosy)x=(sinx)y，求y'.解在题设等式两边取对数 xlncosy=ylnsinx等 式两边对x求导，得In cosy-xs inycosy? y'=y'lnsinx+y ? cosysinx.解得y'=ln cosy-ycotxxta ny+lnsinx.例 8 (E06)设 y=(x+1)x-1(x+4)e2x3,求 y'.解等式两边取对数得ln y=l n(x+1)+13l n(x-1)-2l n(x+4)-x,上式两边对x求导得y'y=1x+1+13(x-1)-2x+4-1, ? (x+1)x-1 ? 112+--1 a y'=? ? . 2xx+13(x-1)x+4(x+4)e? ? 例 9 (E07)求导数 y=x+xx+xx.解 y=x+ex In x+exxx Inx,a y'=1+exlnx? (xlnx)'+exxxlnxx ? (xlnx)'=1+x(lnx+1)+xx-1xxxx[(x)' ? Inx+x ? (Inx)'] xx=1+x(l nx+1)+xx[x(l nx+1)l nx+xx].参数方程表示的函数的导数例10 (E08)求由参数方程？dy2t2? x=arctant? y=ln(1+t)2 所表示的函数 y=y(x)的导数.解 dy=dt=1+t dx1dxdt1+t=2t. 2例11求由摆线的参数方程？dy? x=a(t-sint)? y=a(1-cost)所表示的函数 y=y(x)的二阶导数.解 dyasintsint=dt==(t 工 2厉 n)dxdxa-acost1-costdtdydx22=d? dy? d? sint? d? sint? 1 ? = ? ? =dx? 1-cost? dt? 1-cost? dxdx? dx? dt11-cost? 1a(1-cost)=-1a(1-cost)2=-(t 丰 2n 氏Z).? x=acos3t例12求方程？表示的函数的二阶导数.3? y=asint dydy3as in tcost=dt==-ta nt,2dxdx3acost(-s int)dt2解dydx22=ddx(dydx)=ddt(dydx)dxdt=(-ta nt)'(acost)'3=-sext-3acos22ts in t=sec4t3asi nt.? x=t-t2例13 (E09)求由参数方程？所表示的函数y=y(x)的二阶导数.3y=t-t?dydy3t-1dt==dxdx2t-1dt22 解,dydx222d? dy? d? 3t-1?d? 3t-1? 1 ? = ? = ? = ? dxdx? dx? dx? 2t-1 ? dt? 2t-1?? dt6t2-6t+2211-2t(2t-1)=-6t2-6t+23. (2t-1)例14河水以8米3/秒的体流量流入水库中,水库形状是长为4000米,顶角为 120?的水槽，问水深20米时,水面每小时上升几米？解如图,V(t)=4000上式两边对t求导得dVdt=80003h? dhdt3h, 2 dVdt28800 米 3/小时，米时,dhdt〜0.104当h=20米/小时(水面上升之速率).课堂练习1.求由siny=ln(x+y)所确定的函数的二阶导数 2.y=(1+x2)tanx,求y'. dydx22.。