高等数学在经济学中的应用.doc

本科学生毕业论文〔设计〕题目 高等数学在经济学中的应用 学院 数学计算机科学学院 专业 数学与应用数学 学生 郭庆友 学号 0807034 指导教师 朱春荣 职称 副教授 论文字数 7584 完成日期 2102 年 04 月 20 日. z.-目 录1 引 言 ·····························································12 微分在经济学中的应用 ·················································22.1 边际分析····························································22.2 最优化问题 ·························································42.3 弹性分析 ···························································63 积分在数学中的应用····················································114 函数在生产中的应用 ··················································125 概率论在经济学中的应用···············································146 总结·····························································147 参考文献·····························································158 致 ·····························································16. z.-高等数学在经济学中的应用郭庆友, 数学计算机科学学院摘 要：高等数学在经济学开展中具有重要的作用。

本文主要阐述了高等数学，包括微分、积分、函数和概率论在经济学中的应用，并总结了高等数学在经济学研究中的意义关键字：高等数学；经济学；微分；积分；函数；概率论Application of Advanced Mathematics in EconomicsGuoqing You, College of Mathematics and puter ScienceAbstract:Advanced mathmatics plays an important role in the development of economics. This paper discusses the application of advanced mathematics in economics, including differntiation, integration, function and probability theory, and sums up the significance of advanced mathematics applied in the research of economics. Keywords: advancedmathematical;economics; differentiation; integration; function; probability theory1 引言经济学在古代就有先人开场研究，他们就懂得经营之道，在古代格兰经济学家亚当.斯密写过"国富论"，是一部经典的经济学著作，自此人们越来越注意经济学在国家的富强和开展中的作用，经济学的研究方法也受到人们的关注，从逻辑上的文字分析，不满足一些精细的严密的理论分析，数学和经济学的结合，是的经济学的开展带来了很大的进步，让经济学成为一门逻辑思维严谨的学科，给经济学带研究方法带来质的飞跃，成为经济学分析方法上的里程碑。

19 世纪30 年现代数学方法开场在经济学中被大量运用，法国的经济学家古诺就是十分重要的奠基者和开拓者他设立了诺贝尔经济学奖，推动了经济数学化当中很多获奖者都是数学家兼经济学家，他们运用数学方法，将数学与经济学巧妙地结合起来， 由此提高了经济学理论的科学性， 使人们更加了解经济学中的规律性以及其潜在中存在的巨大风险高等数学作为初等数学的延伸，主要研究变动的量，文献中主要介绍了包括微积分学、概率论与数理统计、以及深入的代数学和几何学等高等数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，在各个领域都有广泛的应用在文献[2-4]和文献[5]中都介绍到了数学在经济学中的应用，本文将具体地阐述高等数学在经济学中的应用，包括微分、积分、函数，以及概率论在经济学中的应用2 微分在经济学中的应用在阐述微分在经济学中的应用之前，先介绍有关微分的一些根本概念和定理[1]定义1设函数在有定义，在自变量的改变量，相应函数的该变量限存在，称函数在可导〔或存在导数〕，此极限称为函数在的导数〔或微商〕，表为或，即 或 . 假设极限不存在，称函数在不可导假设极限 与 都存在，那么分别称为函数在右可导和左可导，其极限分别称为函数在的右导数和左导数，分别表为，即= ，= =.定理 1假设函数在处可导，且在处取得极值，那么.定义2 设函数，。

假设，且在的某一邻域有定义，那么当极限存在时，称这个极限为函数在点关于的偏导数，记做或.定理 2 假设函数在点存在偏导数，且在取得极值，那么有,.微分在经济学中，主要应用在边际分析、最优化问题、弹性问题、生产优化和风险不确定性问题等等中2.1 微分在边际分析中的应用在经济学中, 常常会用到变化率这一根本概念, 作为变化率又可分为平均变化率和边际量平均变化率就是函数增量与自变量量之比, 如常用到的劳动的平均产量、平均利润、平均本钱; 边际量是表示一单位的自变量的变化量所引起的因变量的变化量从数学意义上讲, 如果函数是连读的, 那么边际量表示当自变量的改变量趋于零此时,因变量的相应改变量与其的比值, 表示为,亦即函数对自变量的导数.在边际量的研究中，主要包括边际本钱和边际收入的分析2.1.1边际本钱在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总本钱或增加这一个单位产品的生产本钱定义为边际本钱，边际本钱就是总本钱函数在所给定点的导数设某产品的本钱函数为,为产量根据定义，边际本钱为,由微分的定义，当变化很小的时候，=，为边际本钱函数可见，边际本钱约等于本钱函数的变化率， 通过函数的一阶导数来衡量边际本钱的函数值。

其几何意义为：在每一产量水平上的边际本钱就是相应的总本钱曲线在该点处切线的斜率，即总本钱函数在该产量处的导数值在经营管理中，边际本钱可以用来判断产量的增减在经济上是否合算例1某种产品的总本钱C〔万元〕与产量〔万件〕之间的函数关系式为 ，求生产水平为〔万件〕时的平均本钱和边际本钱，并从降低本钱角度看，继续提高产量是否合算？解 当时的总本钱为(万元)，,平均本钱为 元/件,边际本钱为 元/件.因此在生产水平为20万件时，每增加一个产品，总本钱增加8元，比当前的平均本钱9元低，从降低本钱角度看，应该继续提高产量2.1.2边际收入与边际本钱类似，边际收入定义为，即边际收入是总收入函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为时，再销售一个单位〔即〕所增加的总收入所以边际收入约等于收入函数的变化率其几何意义为：每一销售水平上的边际收益值就是相应的总收益曲线在该点处切线的斜率，即总收益曲线关于该销售量的导数值2.2 最优化问题2.2.1收益最大化与利润最大化问题总收益是产量与价格的乘积, 即, 总利润为总收益与总本钱的差值, 即=-假设价格随的变化而改变, 那么最大时总收益和总利润不一定取到最大值, 并且收益最大时的产量不一定能产生最大的利润, 下面, 运用导数对收益进展优化分析。

例3设垄断厂商的需求函数为,总本钱函数, 求 (1)为多少时使总收益最大, 与此相应的价格, 总收益及总利润各为多少" (2)为多少时总利润最大, 价格, 总收益及总利润为多少"解(1) 厂商的产品的需求函数为总收益最大, 即要求最大故= 15时，最大把=15代入，得此时，总收益，总利润.，，.总利润最大时，，即把代入，得，总收益，总利润.例4某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两种商品的价格分别为元和元，该消费者的效用函数为,该消费者每年购置这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得效用最大，其值是多少？解 假设这两种商品的消费量分别为，由消费者的消费收入可以得到，即是约束函数，求得最大值求此类含有约束的最值问题，可以用拉格朗日函数法对其进展求解，而且方便易懂构造拉格朗日函数,对其各个变量求一阶偏导数,,.解，得.由于最值的存在性，得知此时取得最大值，也即取得最大值=3888.在此处有一个非常重要的经济学意义，为货币的边际效用2.2.2 费用的节省节省费用是经济生活中觉的问题, 无论是生产者, 还是销售者, 总想以最小的资金和劳动消耗去获得最大的收益应用导数的知识, 可以使我们能够在条件允许的围做到费用最省。

例5 某商店每年销售某种件, 每次购进的手续费为元, 而每件的库存费为元/年, 在该商品均匀销售情况下, 商店应分几批购进此商品才能使所花费的手续费及库存费之和为最小"解 在均匀销售情况下, 商品库存量仅需年销售量的一半, 即件, 设总费用为, 共分批购进此种商品, 手续费为, 每批购置的件数为,库存费为,那么总费用，.令，即求得〔负值舍去〕，又,故所求值为极小值所以应分批进货才能使所花费的手续及库存费之和为最小以上列举事例只是经济生活中最优化问题的简单代表,类似问题在生活中不胜枚举对企业经营者来说,对其经济环节进展定量分析是非常必要的, 将数学( 本文主要介绍导数)作为分析工具, 可以给企业经营者提供客观、准确的数据, 从而为企业经营者科学决策提供量化依据2.3 弹性问题2.3.1 弹性分析在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反响程度，具体的说，也就是要计算自变量变化1个百分比，因变量要变化几个百分比，即用弹性系数来表示.对函数，当自变量从起改变了时，其自变量的相对改变量是，函数相对应的相对改变量那么是函数的弹性就是为考察相对变化而引入的，即在点的弹性为,其中为弹性符号，、可以理解为变动的百分比。

因此，弹性可以理解为函数变动的百分比与自变量变动的百分比之比一切函数只要有意义，都可以以此定义弹性概念，以反映因变量变动对于自变量变动的反响程度以需求价格弹性为例介绍，其他的类似可得设某一商品的需求函数为,为该商品的单价,为需求量需求量对于单价的弹性为，需求函数往往是一个减函数，即，由此可以看出需求。