2小升初数学讲义_几何篇(1)教师版.doc

. 小升初提升专题 --几何〔一〕一、热点命题方向几何问题是小升初考试的重要容，分值一般在12-14分〔包含1道大题和2道左右的小题〕尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何沉着方面，可以简单的分为直线形面积〔三角形四边形为主〕，圆的面积以及二者的综合其中直线形面积近年来考的比拟多，值得我们重点学习从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识二、考点预测小升初考试将以大题形式考察几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用．同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架运用边长比等于相似比的定理，请重点学习沙漏原理的题型三、典型例题解析1 等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2×底×高因此我们有【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。

例1】〔★★〕如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解】：S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁〞，请同学们体会一下拓展】S△AOD×S△BOC=S△COD×S△AOB，也适用于任意四边形练习】如下列图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个局部，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】〔★★〕将下列图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。

右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠局部的面积为多少？【解】：粗线面积：黄面积=2：3， 绿色面积是折叠后的重叠局部，减少的局部就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色局部为1份，所以阴影局部为2-1=1份，【总结】份数在小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想！2 燕尾定理在三角形中的运用 下面我们再介绍一个非常有用的结论:【燕尾定理】:在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么S△ABO:S△ACO=BD:DC 【证明】：根据结论2 BD/DC=S△ABD/S△ADC=S△BOD/S△COD因此BD/DC=( S△ABD- S△BOD)/( S△ADC- S△COD)=S△ABO/S△ACO证毕上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为△ABO和△ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用例3】〔★★★〕在△ABC中=2:1, =1:3，求=?【分析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。

此题的图形一看就知道是燕尾定理的根本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC解】：连接OC因为AE:EC=1:3 (条件)，所以S△AOE/S△COE=1:3 假设设S△AOE=x,那么S△COE=3x，所以S△AOC=4x,根据燕尾定理 S△AOB/ S△AOC=BD/DC=2:1，所以S△AOB=8x，所以BO/OE=S△AOB/S△AOE=8x/x=8:1例4】〔★★★〕三角形ABC中，C是直角，AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN〔阴影局部〕的面积为多少？ 【解】：因为缺少尾巴，所以连接BN如下，的面积为3×2÷2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现：=CD：BD=2：1；同理：=BM：AM=1：1；设面积为1份，那么的面积也是1份，所以得面积就是1+1=2份，而：=CD：BD=2：1，所以得面积就是4份；：=BM：AM=1：1，所以也是4份，这样的面积总共分成4+4+1+1=10份，所以阴影面积为3×=3 平行线定理在三角形中的运用〔热点★★★〕下面我们再来看一个重要定理：平行线的相关定理：〔即利用求面积来间接求出线段的比例关系〕同学们应该对下列图所示的图形非常熟悉了．相交线段AD和AE被平行线段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形状完全相似．所谓“形状完全相似〞的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．表达在右图中， 就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC的高：三角形ADE的高．这种关系称为“相似〞，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一局部，有时还要经过翻转、平移等变化〔如右下列图〕，往往不易看出相似关系．如〔右下列图〕AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC与三角形DEC也是相似三角形．下列图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．【例5】〔★★〕如下图，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm，△CED的面积是6cm。

问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【解】：方法一：连接BF，这样我们根据“燕尾定理〞在梯形中的运用知道三角形BEF的面积和三角形EDC的面积相等也是6，再根据例1中的结论知道三角形BCE的面积为6×6÷4=9，所以长方形的面积为：15×2＝30四边形面积为30－4－6－9＝11方法二：EF/EC＝4/6＝2/3=ED/EB，进而有三角形CBE的面积为：6×3/2＝9那么三角形CBD面积为15，长方形面积为15×2＝30四边形面积为30－4－6－9＝11例6】〔★★★〕如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影局部面积解1】：两块阴影局部的面积相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG和三角形AMB同高，所以S△BAG=S△ABM=××1÷2=，所以阴影面积为×2=【解2】：四边形AMCB的面积为〔0.5+1〕×1÷2=，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道：：： =AM：BC：AM×BC：AM×BC=：1：：=1：4：2：2；所以四边形AMCB的面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占4份，所以面积为×=解3】：如右图，连结DG，有：S△ACM=S△BAM〔同底等高〕，又S△BAG=S△ADG〔△BAG与△ADG关于AC对称〕　　又S△AGM=S△GDM〔等底同高〕【例7】〔★★★〕如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是________平方厘米。

解】：解：延长EB到K，使BK=CD 三角形EGK与三角形DGC成比例，DC：EK=2：3，所以DG：GK=2：3，由于三角形DEK=90，所以EGK=90÷3/5=54，所以四边形EBFG=EGK-BKF=24同理，EB：DC=1：2，所以BH：HD=1：2，所以三角形EBH=1/3EBD=10所以，四边形BGHF的面积是24-10=144 利用“中间桥梁〞联系两块图形的面积关系【例8】〔★★〕如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？【解】：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4〔AD上的高〕. ∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，∴S△AGD=AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2〔厘米〕，∴DE=3.2〔厘米〕例9】〔★★〕如下列图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等证明】：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手我们添加一条辅助线，即连结CE〔见图〕，这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。

两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等5 差不变原理的运用【例10】〔★★★〕左下列图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，两块阴影局部的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长解】：两块阴影局部的面积和比△EFG的面积大10,两局部分别加上四边形BCFG，这样四边形ABCD的面积比三角形BEC的面积大10cm2S△BCE=1/2×10×8=40 所以四边形ABCD的面积是50 底是10，所以高是5cm【例11】〔★★★〕如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？ [方法一]：[思 路]：公共局部的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共局部是解题的关键解】： GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2阴影BCM面积-阴影MDE面积=(BCM面积+空白面积)-(MDE面积+空白面积)=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=3[总 结]：对于公共局部要大胆的进展处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,到达解题的目的.[拓 展]：如图,圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?[方法二]：[思 路]：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为的，所以关键问题在于求CM和DM．这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得．解: GC=7，GD=10 知道CD=3；BC=4， DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2，MD=1。

阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3[方法三]：连接BD S —S =S—S =(3×4—2×3)÷2=3．6 其他常考题型【例12】〔★★〕下列图中，五角星。