实数完备性理论.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑实数完备性理论 实数完备性理论，理论根基及英应用 实数完备性是指六大定理的等价性它的六大定理如下：1、确界原理 2、单调有界原理 3、区间套定理 4、有限笼罩定理 5、聚点定理（紧性定理）6、Cauchy收敛准那么其中任何一个命题都可推出其余的五个命题 一、熟悉实数完备性 1、确界原理 （1）确界原理：设S为非空数集若S有上界，那么S必有上确界；若S有下界，那么S必有下确界 （2）上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η得志 （i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界； （ii）对任何的aa，即η是S的最小上界，那么称η为数集s的上确界； 下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ得志： （i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界； （ii）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0N,n>N时就有|Xn-Xm|∞),对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|an-A|N，有|a(n)-a(N+1)|∞) 由存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|an-am|N,并且令k趋向于正无穷，得|an-A|0，按上确界的定义，存在数列{an}中的某一项aN,使得a-ε 又由{an}的递增性，当n>=N时有a-ε 另一方面，由于a是{an}的一个上界，故对一切an都有an3) 证：留神到{an}单调递增由上界b1,那么由单调有界原理，存在ξ∈R，且lim(n-->∞）an=ξ,ξ=Supan,即an≤ξ（n=1，2,……） 由lim（bn-an ）=0知lim(n-->∞）bn=ξ,且ξ=infbn,故ξ≤bn（n=1，2,……） 从而an≤ξ≤bn , n=1,2,3，… 下证唯一性：设ξ、k∈[an,bn]即an≤ξ，ξ≤bn由两边夹定理知k=ξ 3、用“区间套定理”证明“有限笼罩定理”（3=>4） 证：将[a,b]等分为两个子区间，那么其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来笼罩。

记这个子区间为[a1,b1],那么[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2. 再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间笼罩记这个子区间为[a2,b2],那么[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2. 重复以上步骤并不断举行下去，那么可得到区间列{[an,bn]},它得志区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来笼罩 但，由区间套定理，存在唯一点c属于全体区间[an,bn].由于H是[a,b]的开笼罩，确定存在H中的一个开区间(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0N时,a0 4、用“有限笼罩定理”证明“聚点定理”（4=>5） 证：（反证）S属于[a,b],设[a,b]中任何一点都不是S的聚点，即存在δx>0,使得U(ξ,δx)只含有S中有限个点 令H={(x-δx,x+δx)|x∈[a,b],(x-δx,x+δx)只含有S中有限个点}，那么H是[a,b]的一个开笼罩，当然也是S的一个开笼罩有有限开笼罩定理，存在x1,x2,……,xn∈[a,b]使得S属于[a,b]属于U（xi-δxi,x+δxi）。

其中S为无限集而U（xi-δxi,x+δxi）只含有S中有限个点，冲突 5、用“聚点定理”证明“Cauchy收敛准那么”（5=>6） 同一、6其中致密性定理包括在聚点定理中 6、用“Cauchy收敛准那么” 证明“确界原理” 证：设E为非空有上界数集当E为有限集时 , 鲜明有上确界 下设E为无限集, 取a1不是E的上界, b1为E的上界 对分区间[a1,b1], 取[a2,b2] 使a2不是E的上界, b2为E的上界 依此得闭区间列{[an,bn]}验证{bn}为Cauchy列, 由Cauchy收敛准那么{bn}收敛; 同理{an}收敛 易见bn↘,设bn↘并趋向于A，有na↗并趋向于A下证supE=A用反证法验证A的上界性和最小性 三、实数完备性的应用举例 例1、设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}证明：sup（A+B）=supA+supB 证明：对任意的z∈A+B,那么z=x+y,x∈A,y∈B,且x≤supA,y≤supB, 所以z=x+y≤supA+supB即supA+supB是A+B的一个上界, 故sup(A+B)≤supA+supB; 对于任意的t>0,存在a∈A,b∈B,使得a>supA-t/2,b>supB-t/2, 有c=a+b>supA+supB-t,所以supA+supB是A+B的一个最小上界， 故sup(A+B)=supA+supB 例2、用闭区间套定理证明零点定理 证明：不妨设f(a)0，那么记[a1,b1]=[a,c]；若f(c)0，那么记[a2,b2]=[a1,c1]；若f(c1)0 于是定理结论转化为：存在x0∈(a,b),使得g(x0)=0即根的存在定理的证明 5、一致连续性定理：若f(x)在区间上[a,b]上连续,那么f(x)在区间[a,b]上一致连续。

证：若不然，存在ε0>0,以及区间[a,b]上的点列{xn},{yn},虽然lim（xn-yn)=0(n->∞),但是 |f(xn)-f(yn)|≤ε0,n=1，2,…… 由于{xn}有界，所以由致密性定理，{xn}有一个收敛的子列{xnk} 设limxnk=x0(k->∞),从而limynk=lim[ynk-xnk+xnk](n->∞)=x0 a≤xnk≤b,由极限的不等式性质推得a≤x0≤b,故f(x)在点x0连续 综上ε0≤lim|f(xn)-f(yn)|（k->∞）=f(x0)-f(x0)=0冲突 040112121 沈燕 — 5 —。