《精编》管理统计学之随机变量教材.ppt

管理统计学 第五章2 随机变量及其重要的离散概率分布RandomVariablesandSomeImportantDiscreteProbabilityDistributions 学习目标LearningObjectives 1 计算离散随机变量的期望值和方差ComputetheExpectedValue VarianceofDiscreteRandomVariables2 描述二项 泊松和超几何概率分布DescribetheBinomial Poisson HypergeometricProbabilityDistributions3 介绍两个随机变量的协方差与和的思想IntroducetheIdeasofCovarianceandSumofTwoRandomVariables RandomVariables R V usingvariablesdenotingeventsProperties choosingvaluerandomly theprobabilityofchoosingvalueisdefinite beingdividedintocontinuousvariablesanddiscretevariables oftenbeingdenotedbycapitalletterX Y RandomVariablesandTheirDistributions Thedistributionofdiscreter v Xx1x2 xnPiP1P2 PnWritinglikeP X xi formulaisalsook Forexample P X i TheDistributionofR V nmaybe Pi 0 Thedistributionofcontinuousr v Thedistributionfunction F x P X x Itcandescribediscreter v too 0 F x 1 F x isnondecreasingasxincreases F F Thedistributiondensityfunction f x f x 0 F x F x f x TheDistributionofR V 1 Thegeometricalmeaningofdensityf x IfXisacontinuousr v thenP X a 0 soF x P Xa 1 F a P a X b F b F a Forexample Whichofthefollowingformulasareimpossible P X 6 0 8P X 10 1 3F 3 2 1 6f 1 5 0 8F1 3 0 5F1 4 0 4f2 3 1 6f2 4 1 0 RandomVariablesandTheirDistributions 离散随机变量DiscreteRandomVariable 1 用数值表达的一个事件掷两个硬币出现的反面次数观察到0 1 2个反面2 离散随机变量全部整数 0 1 2 3等等 通过计数得到 离散随机变量的例子Examples 试验 随机变量 可能值 打100个促销 销售数目 0 1 2 100 检查70个收音机 残品数目 0 1 2 70 回答33个问题 正确数目 0 1 2 33 在收费站数车 从11 00到1 00 到达车辆 数目 0 1 2 离散概率分布DiscreteProbabilityDistribution 1 列出所有可能的 Xi P Xi 数对Xi 随机变量的取值 可能的结果 P Xi 与每一取值相应的概率2 互斥 没有重叠 3 完备 没有遗漏 4 0 P Xi 15 P Xi 1 离散概率分布的例子Example 概率分布取值 Xi概率 P Xi 01 4 2512 4 5021 4 25 事件 掷两个硬币 出现反面的次数 1984 1994T MakerCo 图示离散概率分布 0 25 1 50 2 25 列表 表格 图形 等式 反面 f X i 次数 P X i 0 1 25 1 2 50 2 1 25 P x n x n x p p x n x 1 00 25 50 0 1 2 X P X 离散随机变量概括度量SummaryMeasures 1 期望值ExpectedValue概率分布的均值所有可能值的加权平均 E X XiP Xi 2 方差Variance对均值的方差的加权平均 2 E Xi Xi P Xi 思考题ThinkingChallenge 扔两个硬币 你感兴趣的是反面出现的次数 反面的次数 作为一个随机变量 它的期望值和标准差是什么 1984 1994T MakerCo 离散概率分布函数ProbabilityDistribution 1 模型的类型代表一些内在的现象2 数学公式3 代表离散随机变量4 学会求出准确的概率 离散概率分布DiscreteProbabilityDistribution 离散 概率分布 泊松分布 超几何分布 二项分布 二项分布BinomialDistribution 1 n次观察 试验 的样本中成功的次数2 15次旋转轮盘赌转盘中红色出现的次数3 一批五件产品中残品的个数4 33个问题的考试中正确回答的个数5 100个进入店内的顾客中买东西的顾客个数 二项分布特征BinomialDistributionProperties 1 两种不同的抽样方法无限总体无放回有限总体有放回2 n次相同的试验序列3 每次试验有两个可能的结果成功 所希望的结果 或者失败4 每次试验的概率恒定5 每次试验互相独立 二项分布的概率分布函数ProbabilityDistributionFunction P X x n p 给定n和p X x的概率n 样本数量p 成功的概率x 在样本中成功的次数 X 0 1 2 n P X x n p n x n x p p x n x 1 二项分布示例 事件 投掷一个硬币4次 记录反面的个数 出现三次反面的概率是多少 P X x n p n x n x p p P X x n x 1 3 4 5 4 3 4 3 5 1 5 3 4 3 25 二项分布的特征Characteristics n 5p 0 1 n 5p 0 5 均值 标准差 E X np np p 1 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 X P X 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 X P X 泊松分布PoissonDistribution 1 在一单位区间内发生的事件的次数单位可以是时间 长度 面积 空间2 例子在20分钟内惠顾的顾客数目每年美国罢工的次数每一批录像机中的残品数目 泊松过程PoissonProcess 1 事件概率不变平均60次 小时就是在60个1分钟的区间内1次 分钟 2 每个区间发生一个事件不能同时到达3 事件的发生相互独立一个人的到达不会影响到另一个人的到达 1984 1994T MakerCo 泊松概率分布函数ProbabilityDistributionFunction P X x 为给定 时X x的概率 成功事件数的期望 均值 e 2 71828 自然对数的底 x 每单位时间 空间中成功的次数 P X x x x e 泊松分布特征Characteristics 0 5 6 均值 标准差 i i N i E X X P X 1 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 X P X 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 X P X 泊松分布应用示例Example 顾客以每小时72人的速度到达 3分钟之内达到4名顾客的概率是多少 72每小时 1 2每分钟 3 6每三分钟 P X x x P X x e e 0 1912 3 6 4 3 6 3 6 4 4 泊松分布题解 求出 Finding 75单词 分 75单词 分 60分 小时 4500单词 小时6错误 小时 6错误 4500单词 0 00133错误 单词在一个255个单词的段落中 区间 0 00133错误 单词 255单词 0 34错误 255个单词的段落 超几何分布HypergeometricDistribution 1 单一抽样方法有限总体无放回2 n次相同试验的序列3 每次试验有两个后果成功 所希望的后果 或者失败4 恒定试验概率5 试验之间相互依赖 超几何分布HypergeometricDistribution P X 给定n N 和A时X x的概率n 样本容量N 总体容量A 总体中成功的次数x 样本中成功的次数 X 0 1 2 n P X AX N An X Nn 超几何分布特征Characteristics 均值 标准差 E X np对于p A N np p 1 N n N 1 超几何分布的例子 一个班有10个孩子 其中4人患了感冒 试计算从该班抽取一个包括3个孩子的样本中有2个孩子患感冒的概率 0 30 X 42 10 43 2 103 P 协方差Covariance Xi X Yi Y P XiYi I 1 N 度量两个随机变量的相关程度MeasurestheJointVariabilityofTwoRandomVariables XY 两个随机变量的和SumofTwoRandomVariables E X Y E X E Y Var X Y 2 两个随机变量的和的期望值 两个随机变量的和的方差 2Y XY 2X X Y Example Theprobabilitythatoneunitnormallyuseswateris0 75 Computetheprobability thatthereare4daysthatusewaternormallyintherecent6days usingwaterindependentlyeveryday Example 20machinesworkindependently Ithasbeenknownthattheprobabilitythateverymachinebreaksdowninonehouris0 01 Computetheprobability Thereare2breakingdownin20machinesinonehour Iftherearetwopersonswhoarelookingaftermachines computetheprobabilitythatatleastonepersonisidle ThinkingChallenge AbouttheapproximationrelationshipamongtheHypergeometric BinomialandPoissonDistribution 1 WhenNislargeandnissmall n N 0 1 theBinomialDistributioncanapproximatetheHypergeometricDistribution weorderP M N 2 Whennislargeandpissmall thePoissoncanapproximatetheBinomialDistribution wetake np n 100 p 0 01 np 1 0 1 np 10 SpecialFocus TheBinomialDistributionisusedfordeterminingtheprobabilitythattherehavextimessuccessinantimesexperiment ithasthepropertiesasfollows 1 Theexperimentconsistsofnsamesequences 2 Everyexperimentonlyhastwooutcomes successandfailure 3 Everyexperimenthasthesamesuccessfulprobabilityp 4 Everyexperimenti。