鸡兔同笼问题详解.doc

鸡兔同笼问题详解鸡兔同笼问题详解目录目录1 总述 2 假设法 3 方程法 一元一次方程 二元一次方程4 抬腿法 5 列表法 6 详解 7 详细解法 8 鸡兔同笼公式1 总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一大约在 1500 年前， 《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头,从下面数，有 94 只脚问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数 （94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23） 解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×2 只，由于鸡只有 2 只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以 2 就是兔子数虽然现实中没人鸡兔同笼2 假设法假设全是鸡：2×35=70（只） 鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只） 兔：24÷(4-2)=12 （只） 鸡：35－12=23（只） 假设法（通俗） 假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚： 94-35=59（只） 然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）3 方程法一元一次方程解：设兔有 x 只，则鸡有(35-x）只。

4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=24÷2 x=12 35-12=23(只） 或 解：设鸡有 x 只，则兔有（35-x）只 2x+4(35-x)=942x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只） 答：兔子有 12 只，鸡有 23 只注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些二元一次方程解：设鸡有 x 只，兔有 y 只x+y=352x+4y=94（x+y=35)×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只） 答：兔子有 12 只，鸡有 23 只4 抬腿法 法一 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起 2 只脚，还有 94 除以 2=47 只脚笼子里的兔就比鸡的头数多 1，这时，脚与头的总数之差 47-35=12，就是兔子的只数法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下 94－35×2=24 只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有 24÷2=12 只兔子，就有 35－12=23 只鸡5 列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6 详解中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元 5 世纪。

这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 题目中给出雉兔共有 35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡鸡兔总的脚数是 35×2=70（只） ，比题中所说的 94 只要少 94-70=24（只） 现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即70+2=72（只） ，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加 24，因此兔子数：24÷2=12（只） ，从而鸡有 35-12=23（只） 我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差 2 只脚就说明有 1 只兔，将所差的脚数除以 2，就可以算出共有多少只兔概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数） 类似地，也可以假设全是兔子 我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为 x，鸡的数量为 y 那么：x+y=35 那么 4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有 12只，鸡有 23 只。

7 详细解法基本问题“鸡兔同笼“是一类有名的中国古算题最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法“来求解因此很有必要学会它的解法和思路. 【鸡兔问题公式】（（1 1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数例如， “有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；36-14=22（只）……………………………鸡解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；36-22=14（只）…………………………兔答 略）（（2 2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多数多时，可用公式（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。

（例略）（（3 3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多多时，可用公式每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数 （例略）（（4 4）得失问题（鸡兔问题的推广题））得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数例如， “灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一 （4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）＝1000-18525÷19=1000-975=25（个） （答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题” ，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。

它的解法显然可套用上述公式 ）（（5 5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题）各多少的问题） ，，可用下面的公式：〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差） 〕÷2=鸡数；〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差） 〕÷2=兔数例如， “有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只鸡兔各是多少只？”解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2） 〕÷2=20÷2=10（只）……………………………鸡〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2） 〕÷2=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）8 鸡兔同笼公式公式 1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数公式 2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数公式 3：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数公式 4：鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数公式 5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数公式 6：（头数 x4-实际脚数）÷2=鸡公式 7 ：4×+2（总数－x）=总脚数 （x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）公式 8：鸡的只数：兔子的只数=兔子的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数。