成贤教材-高数b下§10.6 高斯公式与散度.doc

1§10.6 高斯公式与散度10.6.1 高斯（ ）公式Gaus高斯定理设 是以分片光滑曲面 为界面的空间闭区域，向量场在 上具有一阶连续偏导数，则有)},(),(),({),( zyxRQzyxPzAr   dxyzRQxPdddSn )(v其中 取外侧此公式称为高斯公式证：在这里只证明 dxyzRydx设区域 在 面上的投影区域为 ，假定穿过 内部且平行于 轴的直线与 的边yDz界曲面 的交点恰好两个， 由 与 组成，其方程分别为12： ， ，1),(yxzxy,： ， ，其中 2D)( ),(),(21yxz由三重积分计算法有，xyyxzdzRdzR),(21xy dxyzyxRz)],(,),(,[12又 ，21dxyD)],(,),(,[∴ ，dzRyx同理可证 ，xyPzddzQ故  dVzRyQxPyRxzPdy )(注 ：（1） 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续，三者缺一不可Gaus若积分曲面 封闭，则添加辅助曲面使之封闭；当封闭曲面取内侧时， 公式不 GausxyD21zx2中的符号应为负号；应用 公式前首先要检验 的连续条件。

Gaus zRyQxP,, ,（2）当 时， 公式是zRyQxP , ,，Vdyxdzd3故 yzxzV31如果穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲面 的交点多于两个，则可以引进几个辅助曲面把 分成有限个区域，使得每个区域满足上述条件，并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反，相加正好抵消，所以高斯公式对这样的区域仍成立例 1．计算 ，其中 抛物面 ，圆柱dyzxydxzI 22是 2yxz面 和三个坐标面在第一卦限内所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧2yx解：用 公式计算之，Gaus， ， ， ，xzPyQ2zR2yxzRyQxPdVdxdI  )(2.8)(1220zd例 2．计算 ， 球面 的内侧dyxdyxI 33 是 22azyx解： ， ， ， ，由 公式得PQzR)(zzRyQxPGusdyxI)(32adrrd0220sin3球 坐 标 512a例 3．计算 ，yxzxzI )(48)( oxyz1yoz3其中 旋转抛物面 介于 和 两平面间的部分取上侧。

是 2yxz0z4解：积分曲面不是封闭曲面，不能直接利用 公式计算Gaus添补平面 ： ，取下侧； 1).( ,42z则 是一个封闭曲面的内侧，记其所围成的空间区域 ，  为用柱面坐标 ： 表 示 .4 ,20 ,z， ， ， ，)2(xPyQ8)(4xR1481xRyQP由 公式得 Gaus   dvydzxdzd)(48)2(1042zddyxzdxyzxI  )(48)()(21xyD)164(8 xdyxyD162.8cos420320d例 4．计算曲面积分 ，dyzxrxzryIlnl其中 椭球面 的外侧， 是 12cbax 2zr解： ，则当 时，zRrQryP ,ln ,l )0,(,(zyx122yxzx： ，使 包含在 区域 ， 作 球 面 2 所 包 围 的 部 分 所 围 的 内且 的法向量指向球心由 公式得 球 面 GausdyzxrdxzryIlnl dzxrdxzrydxyzlnl434abcdyzxdxzylnl。

)(dabcabc343410.6.2 散度一、通量定义 1 设 为一向量场， 为场中一有向曲面，称 为向量场 穿过曲),(zyxArdSnAvrr面 的通量当 是电场强度 时， 即为电通量；rErdSnvr当 是磁场强度 时， 即为磁通量ArHrr二、散度的概念和计算公式定义 2 设有向量场 ，在场中取包含点 的任一闭曲面 ，设 所围的空间),(zyxrM域 的体积为 ，直径为 ， 外侧的单位法向量为 若当 时， 比式Vdnr0d的极限存在，则称此极限为 在点 处的散度，记为 dSnAvr1Ar（简记为 ） ，即 Mirir dSnVdivvrr1lm0散度的物理意义下面以流量问题为背景，分析散度的物理意义一稳定的不可压缩的流体速度场为 ，流过有向封闭曲面 外侧的流量),(zyxvr，其中 为 外侧的单位法向量， 所围成的区域为 dSnvrr总流量 流出的流量—流入的流量1） ，流出多于流入，表明 内有“源” ，从中散发出流体；0（2） ，流入多于流出，表明 内有“洞” ， 流体从中漏掉了。

（3） ，流入等于流出比式 表示小区域 内有“源”与有“洞”的平均状态，而 则表dSnvVr1Mvdir5示在点 处有“源”与有“洞”的状态M向量场 的散度是数量若 ，则表示该点处有“源” ；若 ，),(zyxAr 0MAdivr 0MAdivr则表示该点处有“洞” ； 若 ，则表示该点处既无“源”也无“洞” 表示该点处“源”与“洞”的强度Mdivr设向量场 ，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，)},(),(),({zyxRQzyxPA在场中取包含点 的任一闭曲面 ，其所围区域 的体积为 ，d 为 的V直径， 为 外侧的单位法向量，由高斯公式得nr( dVzRyxPdSA)(v 积 分 中 值 定 理 zRyxPM)( ∴ MdMzyQxSnAiv )(limli0vrr zyQx)(∵ 是场中任一点， ∴ 故 RPivr dVAivSnrr公式是一个极其重要的公式，它建立了曲面积分与三重积分之间的联系，有着Gaus明确的物理意义，即一区域中总散度等于通过边界的通量 三、散度的性质（1） ，其中 是常数。

BbdivAaidivrr)( ba,（2）若 的梯度存在，则 zyxu grduAuiv)(证明：仅证（2） ，设 ，则 ，)},,,({zyxRQzyxPr } ,{uRQP)))()( uuxAdivr zyuP)()( RzyxzRy garduAiv例 5．求向量场 在点 kjeixuzrrr 1ln(, 22处 的 散 度 )0,1(Pivr解： ， )()()(2zxydivz 2zxey2)0,1(udi6例 6．设有数量场 ，求 2lnzyxu)(graduvi解： ，} ,{1} ,{zyxgrad，2222 )()( zyxzyxzyx ，)(1)(，2222 )()( zyxzyxzyxz  .1)(3)( zgraduvi 例 7．求 ，其中 ， ，在什么情况下才有 ][fi },{zyxrr 0])([rfudiv解： ， )( , ),({)(fyrxf，rfxfrfr][2同理得 fyfyf)()(][， ，rfzfzf)()(][2，)(3)()(3])([2frfxrffudiv r由 ，得 ， ∴ 。

0])([fir 0)(ff 3)(rCerfd§10.7 斯托克斯公式与旋度 10.7.1 斯托克斯 公式)(Stokes高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林公式还可从另一方面推广，就是将曲面 与该曲面 联系起来的 曲 面 积 分  C的 边 界 闭 曲 线的 曲 线 积 分定理（斯托克斯定理） 的边界是分段光滑 空间向量场设 分 片 光 滑 曲 面 C 闭 曲 线在某一包含 具有连续的偏导数，)},(),(),({zyxRQzyxPAr 空 间 域 内的曲 面 7则有 ， dyxPQdxzRPdzyQRdzQyPxC  )()()( 其中 上式称为斯托克斯公式的 侧 向 符 合 右 手 法 则的 取 向 与 曲 面曲 线 为了便于记忆，可将 公式表为行列式的形式：StokesRQPzyxdxdzRdzQyPxC  dSRQPzyxcoscos若定理中的 一块平面闭区域， 公式就变成 公式，故面 上是曲 面 oyStokesGren公式是 公式在三维空间的推广StokesGren例 1．计算曲线积分 ， 曲线 ，dzyxzdxzC)()()( 是其 中 C21zyx。

的 方 向 是 顺 时 针 的轴 负 向 看轴 正 向 往从 z解：设 为 边 界 曲 线上 以平 面表 示 zyx2的曲面，且取下侧， 为面 上 的 投 影 区 域在 o ： ，由 公式得：xyD12StkesdzyxzdzC)()()(yxzyzx xyDdx.22例 2．计算曲线积分 ，其中 C 为平面CzzdI )( )( )( 截立方体 的表面所得的截线，若从 ，3zyx 10,,10yx 轴 正 向 看 去ox取逆时针方向 1xCyzo1xyo1yDxyo123yx21yx8解:取 ，所 围 成 的 部 分的 上 侧 被为 平 面 23 Czyx，即 ， 由 公式得}1 ,{ nr的 单 位 法 向 量 31coscosStokesdSyxzyzxdzyxdzdxyIC 22222 31)( )( )(   .)(34dSzyxxyDddS3234910.7.2 旋度旋度的定义 若存在一个向量，其方向是 ，中 的 一 点为 向 量 场设 AMr 处在 点 MAr环量面密度取最大值的方向，其模恰好是环量面密度所取得的最大值，则称此向量为在点 处的旋度，记为 。

Ar向 量 场 rot二、环量面密度和旋度的计算公式设 ，其中 具有一阶连续偏导数，)},(),(),({zyxRQzyxPr RQP ,记 ，则有由 公式得 , ,RStokes.dSnsAlrr  ) ,( )( 的 面 积为 Mr，lMnsArotr 1limMn)( )( limrr即 若 ，则有t)(rr}cos ,{csnr.)(o)(cos yPxQxRzPzQyRAotnr或 .RQPzyxrtn 9，nMnnArot rrrrr )(,cos),cs( )( 这表明 等于向量 上的投影，显然，当 取最大r方 向在 ),cos( ,0),nr时值，即 方向相同时， 有最大值，其值为 由此得旋度的 方 向 的与 Artnr： ， 或 的 表 达 式Arot } , ,{yPxQRzyArot  RQPzyxkjiArot r公式可写成向量形式 Stokes dSArotC r若 有一阶连续偏导数，则在 向量场 均有一内在 域 ,RQP内 每 一 点 } ,{RQPAr旋度与之对应，因而 构成一向量场，称为 旋度场。

内也 在 域 Arot例 3.设一刚体绕过原点的轴 ( )其角速度为常向量转 动L。