D11集合与函数.ppt
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目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、函数二、函数 一、集合、符号一、集合、符号第一节函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义、性质及表示法定义、性质及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的全体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.( 或) .简称集集简称元元我们通常用大写字母如A,B,C等表示集合，而用小写字母如：a，b，c，等表示集合的元素.把含有有限个元素的集合称为有限集有限集，含有无限个元素的集合称为无限集无限集全体自然数集：N；全体整数集：Z;全体有理数集：Q；全体实数集：R;全体复数集：C贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例:有限集合自然数集(2) 描述法：若集合M是由具有某种性质P的元素 x的全体所组成就表示为： x 所具有的特征P例例: 整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 集合的性质：n1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合 2.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象如写成{1，1，2}，等同于{1，2}互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素 3.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合 4.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性 5.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性完备性与纯粹性是遥相呼应的 贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合及集合之间的关系和运算集合及集合之间的关系和运算定义定义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如：显然有下列关系 :,,若A的所有元素都属于B设有集合记作记作如果不含任何元素的集合称为空集记为我们规定空集是任何集合的子集贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集交集且差集且定义下列运算:余集或易知集合补与差运算满足贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 其运算律：其运算律：（（1）交换律）交换律 A B= B AA B =B A AB=BA （（2）集合律）集合律（（A B ) C =A (B C) =(A B C)（（3）分配律）分配律 （（A B ) C =(A C ) (B C)（（A B ) C =(A C ) (B C)(AB)C=A(BC)=ABC贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 绝对值：对于任何一个实数x，它的绝对值为：贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,以上都是有限区间，以下是无限区间：以上都是有限区间，以下是无限区间：区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 邻域邻域: :注意：邻域总是开集。
注意：邻域总是开集记作记作贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 1. 我们用符号“” 表示“任取”或“对于任意的” 或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词.二、符号二、符号贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 2. 我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR, 使x+y=1”符号“”称为存在量词.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 3. 我们用符号“”表示“充分条件”比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 或 “推出” 这一意思.则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 4. 我们用符号“”表示“当且仅当”比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.或 “充要条件” 这一意思.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对于常量与变量是相对于“自变量变化过程自变量变化过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量.二、 函数的概念贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 自由落体的运动规律为：自由落体的运动规律为：1. 引例引例贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 2、函数的定义、函数的定义定义：定义：设设x和和y是两个变量，是两个变量，D是一给定的非空数集。
是一给定的非空数集如果对于每个数如果对于每个数x xD,按照某种对应法则按照某种对应法则f，，y都有唯一确定都有唯一确定的的数值与之对应，数值与之对应， 则称则称y是是x的函数，的函数， 记着记着y=y=f(x)f(x).x.x数集数集D叫做这个函数的定义域，叫做这个函数的定义域， X X叫做自变量，叫做自变量，y叫做因变量叫做因变量D,贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 函数的三要素函数的三要素自变量自变量x因变量因变量y对应法则对应法则f1.函数的函数的定义域定义域D2.函数的函数的对应法则对应法则 y=f(x)3.函数的函数的值域值域f(D)={y|y=f(x),x D}贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意： 如如f(x)=lg2x 和和 g(x)=2lgx 就不是同一个函数，为什么？就不是同一个函数，为什么？ 2．求定义域的方法：．求定义域的方法：应用题由实际意义确定；应用题由实际意义确定；取使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为函取使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为函数的定义域数的定义域1.当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。
是同一个函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 如果在如果在D中任取一个中任取一个x,对应的函数值都只有一个，对应的函数值都只有一个，这种函数称单值函数，否则称多值函数这种函数称单值函数，否则称多值函数y=2x为单值函数，为单值函数，凡未作特别说明，本教材提到的凡未作特别说明，本教材提到的“函数函数”都是指单值函都是指单值函数数即即为多值函数为多值函数y=x2例如，例如，3.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 4、函数的常用表示法n（1）表格法：自变量的值与对应的函数值列成表格的方法n（2）图像法：在坐标系中用图形来表示函数关系的方法n（3）公式法：自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法，根据函数的解析表达式的形式不同，函数又可分为和分段函数、隐函数、n显函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分段函数的图分段函数的图形分段作。
形分段作3.分段函数分段函数例例7注：分段函数的定义域是各段自变量取值区间（也称为分段区间）的并集，分段区间的公共点称为分界点贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 4. 隐函数隐函数 相对而言函数可以称为显函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 例例5、、 已知函数解解:及写出 f (x) 的定义域及值域, 并求f (x) 的定义域 值域 贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性有界性使称 使称 说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .(2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 奇偶性奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数奇函数时,则当必有例如, 偶函数双曲余弦 记贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记说明: 给定 则 偶函数偶函数 奇奇函数函数 贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 周期性周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄利克雷函数x 为有理数x 为无理数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 DWDW3、反函数与复合函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：1.1.直直接接函函数数的的定定义义域域（（或或值值域域））是是其其反反函函数数的的值值域域（或定义域）（或定义域）;2.单值函数的反函数不一定是单值函数。
单值函数的反函数不一定是单值函数如如y=a+bx 的反函数为的反函数为y=(x-a)/b可解出可解出的反函数的反函数称为直接函数）（称为直接函数）如果由如果由 x x 为自变量，为自变量， y y 为因变量的为因变量的 函数函数y=f(x)y为自变量为自变量 ,x,x 为因变量的为因变量的 函数函数则称则称 y=y= (x)(x) 为为y=f(x)y=f(x) x=x= (y)(y) 记为记为:y=f:y=f-1-1(x)(x)贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 3．在区间．在区间I上定义的单值且严格单调函数的反函数上定义的单值且严格单调函数的反函数在在W={y y=f(x) ,x∈I}∈I}上也是上也是单值且严格单调函数单值且严格单调函数例如，例如，y=x2在区间在区间[0，，+∞∞) )上是上是单值且严格单调函数，单值且严格单调函数，其反函数其反函数也是单值且严格单调函数也是单值且严格单调函数（（在在 y=x2的的值域值域[0, )上上））贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 4. 把直接函数把直接函数y=f(x)和反函数和反函数y=y= (x)(x)的图形画在同一个的图形画在同一个坐标平面上，这两个图形关于直线坐标平面上，这两个图形关于直线y=xy=x是对称的。
是对称的贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数复合函数 设有函数设有函数 y=uy=u2 2 和函数和函数 u=1-sinx,u=1-sinx,则则 y=(1-sinx)y=(1-sinx)2 2是两者的是两者的复合函数复合函数一般地一般地: :若函数若函数y=f(u)y=f(u)的定义域为的定义域为D D1,1,U=φ(x)U=φ(x)的定义域为的定义域为D D2 2值域值域w w2 2={u={u u=u=φ(x)x∈Dφ(x)x∈D2 2} } 且且W W2 2 D D1 1, ,这样得到的这样得到的以以x x为自变量为自变量,y,y为因变量的函数为因变量的函数称为由函数称为由函数y=f(u)y=f(u)和和u=φ(x)u=φ(x) 复合而成的复合而成的复合函数复合函数, ,其中其中u u称为中间变量称为中间变量函数还可进行三重，四重和多重复合函数还可进行三重，四重和多重复合y=f[φ(x)],Xy=f[φ(x)],X W W2 2 D D1 1贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：条件条件W W2 2 D D1 1必不可少，必不可少， 否则两个函数就不一定能构成一个否则两个函数就不一定能构成一个复合函数。
复合函数和和u=2+xu=2+x2 2就不能构成一个复合函数就不能构成一个复合函数值域w2为[2,)，定义域 D1为[-1，1])如如y=y=arcsinuarcsinu贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 例2 将下列各函数表示成x的复合函数： (1) (2) 解 解 (1) (2) 例3 指出下列函数的复合过程： (1) (2) 解 (1) y=cos u，u=v2，v=tanx (2) 复合过程复合过程分解过程分解过程贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 4、初等函数基本初等函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 1、、幂函数幂函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 2、指数函数、指数函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 3、对数函数、对数函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 余弦函数余弦函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 正切函数正切函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 余切函数余切函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 正割函数正割函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 余割函数余割函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 5、反三角函数、反三角函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 5、双曲函数贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 思考题：双曲思考题：双曲函数是函数是不是初等函数？不是初等函数？双曲函数常用公式双曲函数常用公式贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 奇函数奇函数.偶函数偶函数.贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 奇函数奇函数,有界函数有界函数,贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:1、符号函数当 x > 0当 x = 0当 x < 02、取整函数当贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 狄利克雷函狄利克雷函数数有理数点有理数点无理数点无理数点•1xyo(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 集合及符号定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构2. 函数的定义及函数的二要素第二节 贵州航天职业技术学院 目录 上页 下页 返回 结束 且备用题备用题证明证证: 令则由消去得时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 . 设贵州航天职业技术学院 。
