函数的单调性与导数课件.ppt
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普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学（选修数学（选修2-22-2）） 1.31.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 § 1.3.11.3.1（（1 1）） 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 1.1.函数的单调性：函数的单调性：对于函数对于函数y y＝＝f(x)f(x)在某个区间上在某个区间上单调递增或单调递减单调递增或单调递减的性的性质，叫做质，叫做f(x)f(x)在这个区间上的在这个区间上的单调性单调性，这个区间叫做，这个区间叫做f(x)f(x)的的单调区间单调区间一一般般地地，，设设函函数数y=f(x)y=f(x)的的定定义义域域为为I I，，如如果果对对于于定定义义域域I I内内的的某某个个区区间间D D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x x1 1，，x x2 2，，当当x x1 1 的单调性xyo函数在函数在 上为上为________函数，函数，在在 上为上为________函数图象法图象法定义法定义法减减增增如图：如图：一一. .复习引入复习引入 问题：问题：如何求出下列函数的单调性呢如何求出下列函数的单调性呢? ?(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 (2)f(x)=e+7 (2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x思思考考：：用用单单调调性性的的定定义义讨讨论论函函数数的的单单调调性性虽虽然然可可行行，，但但十十分分麻麻烦烦，，尤尤其其是是在在不不知知道道函函数数图图象象时时例例如如：：2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7，，是是否否有有更更为为简简捷捷的的方方法法呢呢？？下下面面我我们们通通过过函函数数的的y=xy=x2 2－－4x4x＋＋3 3的图象来考察的图象来考察单调性单调性与与导函数导函数有什么关系有什么关系。 一一. .问题引入问题引入 2yx0. .. .. .. .. .. .. .观察函数观察函数y=xy=x2 2－－4x4x＋＋3 3的图象：的图象：总结总结: 该函数在区间该函数在区间（－（－∞，，2）上）上单调递减单调递减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导导数为负数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率斜率为为0,即即导数为导数为0.函数在函数在该点单调性发生改变该点单调性发生改变这样的点叫（这样的点叫临界点临界点））.在区间（在区间（2，，+∞）上）上单单调递增调递增,切线斜率切线斜率大于大于0,即其即其导数为正导数为正. xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, , 探讨函数的单调性与其导函数探讨函数的单调性与其导函数正负的关系正负的关系. .结论：结论：在某个区间在某个区间( (a a, ,b b) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增; ; 如果如果 , ,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减. . 注注：： （（（（1 1 1 1））））若函数在某个区间内恒有若函数在某个区间内恒有若函数在某个区间内恒有若函数在某个区间内恒有f ‘f ‘( (x x) )＝＝＝＝0 0，，，，则则则则f f( (x x) )为为为为常数函数常数函数常数函数常数函数; ; ; ; （（（（2 2 2 2）应正确理解）应正确理解）应正确理解）应正确理解“ “某个区间某个区间某个区间某个区间” ”的含义的含义的含义的含义, , , ,它必是定义它必是定义它必是定义它必是定义域内的某个区间。 域内的某个区间域内的某个区间域内的某个区间二二. .新课学习新课学习 1.1.函数的单调性与导函数的联系函数的单调性与导函数的联系设设函数函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间 内可导，内可导，若若则函数则函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上是增函数；上是增函数；若若则函数则函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上是减函数。 上是减函数 几何意义：几何意义：关系：关系：思考思考:结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系? ?二二. .新课学习新课学习 f(x)为增函数为增函数f(x)为增函数为增函数 恒成立恒成立二二. .新课学习新课学习 xyo14xyo14xyo14xyo 14ABCDD典例精析典例精析例例1:1:已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息: :当当1 < x < 4 时时,当当 x > 4 , 或或 x < 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,下图中（下图中（ ）是函数）是函数y=f(x)y=f(x)的大致图象的大致图象. . A课堂练习课堂练习 2.2.应用导数求函数的单调区间应用导数求函数的单调区间典例精析典例精析例例2:2: 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, , 并求出单调区间并求出单调区间: : 注：注：利用导数确定函数的单调性的步骤利用导数确定函数的单调性的步骤（（1 1）确定函数）确定函数f(x)的定义域；的定义域；（（2 2）求出函数的导数）求出函数的导数f '(x) ；；（（3 3）解不等式）解不等式f '(x)>0(或或f '(x)<0)；；（（4 4）确认并指出递增区间（或递减区间））确认并指出递增区间（或递减区间）. . 课堂练习课堂练习求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间. . 3.3.应用导数求参数的取值范围应用导数求参数的取值范围典例精析典例精析例例3 3：：若函数若函数f(x)=axf(x)=ax3 3-x-x2 2+x-5+x-5在在(-∞,+∞)(-∞,+∞)上单调上单调递增，求递增，求a a的取值范围。 的取值范围 解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，，1]上单调递增上单调递增课堂练习课堂练习 在某个区间上，在某个区间上， ，，f（（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的还有可能导数等于是不够的还有可能导数等于0也能使也能使f（（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证课堂练习课堂练习 总结总结: 当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法1 1°°什么情况下，用什么情况下，用““导数法导数法”” 求函数单调性、单调区间求函数单调性、单调区间较简便？较简便？2 2°°试总结用试总结用““导数法导数法”” 求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？课堂总结课堂总结 课后作业课后作业 B 2.2.函数函数y= =a( (x3 3- -x) )的减区间为的减区间为 则则 a 的取值范围为的取值范围为( )( )(A)(A)a>0 (B)>0 (B)––1<1
