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第第2章章 优化设计优化设计 Ⅱ Optimal Design　　　　 优化设计是现代设计方法的重要内容之一它是以优化设计是现代设计方法的重要内容之一它是以数学规划论数学规划论为理论基础，以电子计算机为工具，在充分为理论基础，以电子计算机为工具，在充分考虑多种设计约束的前提下，寻求满足某项预定目标的考虑多种设计约束的前提下，寻求满足某项预定目标的最佳设计方案的一种设计方法最佳设计方案的一种设计方法 本章主要介绍了如下几方面内容：本章主要介绍了如下几方面内容：内容简介内容简介■■ 优化设计的基本概念及数学模型的建立；优化设计的基本概念及数学模型的建立；■■ 常用的一维优化方法；常用的一维优化方法； ■■ 多维无约束优化方法；多维无约束优化方法； ■■ 约束优化方法；约束优化方法； ■■ 多目标优化方法；多目标优化方法；■■ 机械优化设计的一般步骤及设计应用实例机械优化设计的一般步骤及设计应用实例2.1 概述概述2.1.1 优化设计基本概念优化设计基本概念　　优化设计优化设计（（Optimal Design）是）是20世纪世纪60年代发展年代发展起来的一种现代设计方法。

它是将起来的一种现代设计方法它是将最优化原理最优化原理和和计算机计算机技术技术应用于设计领域，为应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学工程设计提供一种重要的科学设计方法设计方法　　利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案中寻找出中寻找出最佳设计方案最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量，，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业设计领域和各种产品设计中它已广泛应用于各个工业设计领域和各种产品设计中　　所谓优化设计，所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原理最优化原理和和方法方法将实际工程设计问题转化为将实际工程设计问题转化为最优化问题最优化问题，，然后以计算机为工具进行寻优计算，在全部可行设计方案然后以计算机为工具进行寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目标的中，寻求满足预定设计目标的最佳设计方案最佳设计方案　　进行最优化设计时：进行最优化设计时：　　首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学　　首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的表达式组成的数学模型数学模型；；　　然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在　　然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进行寻优运算求解，得到一组最佳的设计参数。

计算机上进行寻优运算求解，得到一组最佳的设计参数　　这组设计参数就是设计的　　这组设计参数就是设计的最优解最优解 　与传统设计方法不同，优化设计过程　与传统设计方法不同，优化设计过程一般分为一般分为如下四步如下四步：：　　（（１１））设设计计课课题题分分析析：：通通过过对对设设计计课课题题的的分分析析，，提提出出设设计计目目标标，，它它可可以以是是单单项项设设计计指指标标，，也也可可以以是是多多项项设设计计指指标标的的组合 从从技技术术经经济济的的观观点点出出发发，，对对机机械械设设计计而而言言，，机机器器的的运运动动学学和和动动力力学学性性能能、、体体积积、、重重量量、、效效率率、、成成本本、、可可靠靠性性等等都都可可以作为设计追求的目标以作为设计追求的目标　　然然后后分分析析设设计计应应满满足足的的要要求求，，主主要要的的有有：：某某些些参参数数的的取取值值范范围围；；某某种种设设计计性性能能或或指指标标按按设设计计规规范范推推导导出出的的技技术术性性能能；；还有工艺条件对设计参数的限制等还有工艺条件对设计参数的限制等　（２）　（２）建立数学模型建立数学模型：：将工程优化设计问题用数学方程将工程优化设计问题用数学方程式的形式予以全面地、准确地描述，即建立优化数学模型。

式的形式予以全面地、准确地描述，即建立优化数学模型　　（３）选择　　（３）选择优化设计方法优化设计方法：根据所建立的数学方程式：根据所建立的数学方程式的性质、设计精度的要求等选用合适的优化设计方法，并的性质、设计精度的要求等选用合适的优化设计方法，并做出相应的程序设计做出相应的程序设计 （４）（４）上机电算求解上机电算求解：将所编程序及有关数据上机运：将所编程序及有关数据上机运算，自动得出最优值然后对计算结果做出分析和判断，算，自动得出最优值然后对计算结果做出分析和判断，则得出最优设计方案则得出最优设计方案　　上述　　上述优化设计过程的四步优化设计过程的四步其核心是进行如下其核心是进行如下两项工作两项工作：：　　　　一是分析设计任务一是分析设计任务，将实际问题转化为一个最优化问，将实际问题转化为一个最优化问题，即题，即建立优化问题的建立优化问题的数学模型数学模型；；　　　　二是二是选用选用适用的优化方法适用的优化方法在计算机上求解数学模型，在计算机上求解数学模型，寻求最优设计方案寻求最优设计方案 　　下面通过三个简单的优化设计实例，说明优化数学模型下面通过三个简单的优化设计实例，说明优化数学模型的一般形式及其有关概念。

的一般形式及其有关概念2.1.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型　　例例2-1 如如图图2-1所所示示，，有有一一圆圆形形等等截截面面的的销销轴轴，，一一端端 固固 定定 ，， 一一 端端 作作 用用 着着 集集 中中 载载 荷荷 F=10000N和和 转转 矩矩T=100N·M由由于于结结构构需需要要，，轴轴的的长长度度l不不得得小小于于8cm，，已已知知销销轴轴材材料料的的许许用用弯弯曲曲应应力力[σw]=120MPa，，许许用用扭扭转转切切应应力力[τ]=80MPa ，，允允许许挠挠度度[f]=0.01cm，，密密度度ρ=7.8t/m3，弹性模量，弹性模量E=2×105MPa 现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用料最省（销轴质量最轻）的方案料最省（销轴质量最轻）的方案图图2-1 圆形等截面的销轴圆形等截面的销轴　　解解：：根根据据上上述述问问题题，，该该销销轴轴的的力力学学模模型型是是一一个个悬悬臂臂梁梁设设销销轴轴直直径径为为d ，，长长度度为为l，，体体积积为为V，，则则该问题的物理表达式如下：该问题的物理表达式如下：可见销轴用料取决于其直径可见销轴用料取决于其直径d 和长度和长度l。

这是一个合理选择这是一个合理选择d 和和l而使体积而使体积V 最小的优化设计问题最小的优化设计问题2) 满足的满足的条件条件：：①①强度强度条件：条件：弯曲强度弯曲强度表达式表达式扭转强度扭转强度表达式表达式②②刚度刚度条件：条件：挠度表达挠度表达式式(1) 销轴销轴用料最省用料最省（即体积最小）：（即体积最小）：③③结构尺寸结构尺寸边界边界条件：条件：将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：可归纳为如下数学模型：设设：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件：综上所述，这是一个具有综上所述，这是一个具有4 4个约束条件的二元非线性的约个约束条件的二元非线性的约束优化问题束优化问题　　　　例例2-2 现用薄钢板制造一体积为现用薄钢板制造一体积为5　　，长度不小于，长度不小于4m的无上盖的的无上盖的立方体货箱要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和立方体货箱要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸高的尺寸 　　　　解：解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。

分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比　　设货箱的长、宽、高分别为　　　　，货箱的表面积为　　设货箱的长、宽、高分别为　　　　，货箱的表面积为S S，则该，则该问题的物理表达式为：问题的物理表达式为： (1) 货箱的货箱的钢板耗费量钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少（即货箱的表面积用料）最少：可见货箱的表面积取决于货箱的长度　、宽度　和高度　可见货箱的表面积取决于货箱的长度　、宽度　和高度　 2) 满足的满足的条件条件：按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件：　　由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即　　由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即　　　　所以，该问题的优化数学模型应写为：　　　　所以，该问题的优化数学模型应写为：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：　约束条件约束条件：这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼　　　　例例2-3　　某车间生产甲、乙两种产品。

生产甲种产品每件需使用材某车间生产甲、乙两种产品生产甲种产品每件需使用材料料9kg、、3个工时、个工时、4kw电，可获利润电，可获利润60元生产乙种产品每件需用材元生产乙种产品每件需用材料料4kg、、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元若每天能供应材料元若每天能供应材料360kg，，有有300个工时，能供个工时，能供200kw电试确定两种产品每天的产量，以使每天电试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大可能获得的利润最大 　　每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下约束函数表示：每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下约束函数表示：　　解：　　解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题　　设每天生产的甲、乙两种产品分别为　　设每天生产的甲、乙两种产品分别为　　 件，每天获得的利润可件，每天获得的利润可用函数用函数 表示，即表示，即于是上述生产计划问题于是上述生产计划问题的的优化数学模型优化数学模型应写为：应写为：设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件：（工时约束）（工时约束）（电力约束）（电力约束）（材料约束）（材料约束）　　由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，故此优由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，故此优化问题属线性约束优化问题。

化问题属线性约束优化问题 【例2-1】•欲用薄钢板制造一体欲用薄钢板制造一体积为积为6m3，高度为，高度为1m，长度不小于，长度不小于3m的无的无盖货箱盖货箱(如图如图2-1所示所示)，试确定货箱的长，试确定货箱的长x1和宽和宽x2，使耗费的，使耗费的钢钢板最少板最少图2-1 货箱 【例2-2】•试设计一试设计一重量最轻重量最轻的空心传动轴的空心传动轴空心传动轴的轴横截面形状如图空心传动轴的轴横截面形状如图2-2所示，图中所示，图中D、、d分别为轴的分别为轴的外径和内径轴的长度不得小于外径和内径轴的长度不得小于3m轴的材料为轴的材料为45钢，密度钢，密度ρ为为7.8×10-6kg/mm3，弹性模量，弹性模量E=2×105MPa，许用切应力，许用切应力[τ]=60MPa轴所受扭矩为轴所受扭矩为M=1.5×106N·mm 图2-2 空心传动轴的轴横截面形状 【例2-3】•某厂因生产需要，欲购进五种配件，其个数分别某厂因生产需要，欲购进五种配件，其个数分别为为x1、、x2、、x3、、x4、、x5每种配件的单价分别为每种配件的单价分别为60元、元、80元、元、85元、元、100元、元、120元。

要求元要求x1不少于不少于20个，个，x3不少于不少于40个，其余每种配件不少于个，其余每种配件不少于30个，个，x1、、x2之和不少于之和不少于80个，个，x3、、x4之和不少于之和不少于200个，个，x1、、x3、、x4、、x5之和不少于之和不少于400个问每种配件为个问每种配件为多少个，配件多少个，配件总总的的进价进价才才最低最低•影响总进价的因素是每种配件的个数本例是要影响总进价的因素是每种配件的个数本例是要求一组参数求一组参数x1、、x2、、x3、、x4、、x5 ，这组参数应在满，这组参数应在满足一定的条件下，使所有配件的总进价最低足一定的条件下，使所有配件的总进价最低【例2-4】•制造一批设备，需用毛坯长度分别为制造一批设备，需用毛坯长度分别为2.5m，，1.5m和和1.3m的同型号槽钢各的同型号槽钢各120根、根、240根和根和300根这些不同长度的槽钢都将用长度为这些不同长度的槽钢都将用长度为6m的槽钢截得的槽钢截得问如何下料问如何下料用料最省用料最省•本例中，下料的方案有若干个，要求找出其中最本例中，下料的方案有若干个，要求找出其中最佳的方案，该方案应在满足设备所需不同规格槽佳的方案，该方案应在满足设备所需不同规格槽钢根数的条件下，使用料最省。

钢根数的条件下，使用料最省 【例2-5】•图图2-3为一圆弹簧丝的螺旋扭转弹簧已知，弹簧在垂直为一圆弹簧丝的螺旋扭转弹簧已知，弹簧在垂直于其轴线的平面内受到一个扭矩于其轴线的平面内受到一个扭矩T作用，所产生的变形即作用，所产生的变形即扭角为扭角为φ，弹簧的许用弯曲应力为，弹簧的许用弯曲应力为[σb]，弹性模量为，弹性模量为E弹簧的结构尺寸要求为：钢丝直径簧的结构尺寸要求为：钢丝直径dmin≤d≤dmax，外径，外径Dmin≤D≤Dmax，弹簧圈数，弹簧圈数n≥n1，旋绕比，旋绕比4≤C≤8试设计该试设计该弹簧，要求其弹簧，要求其重量最轻重量最轻 图2-3 螺旋扭转弹簧的受力分析 【例2-6】•试设计一闭式直齿圆锥齿轮传动已知：小锥齿试设计一闭式直齿圆锥齿轮传动已知：小锥齿轮悬臂支承，大锥齿轮两端支承，轴交角轮悬臂支承，大锥齿轮两端支承，轴交角∑=90°，，小锥齿轮传递扭矩小锥齿轮传递扭矩T1=40N·m，转速，转速n1=960r/rnin，齿数比，齿数比u=3，精度等级为，精度等级为7级，电动机驱动，工级，电动机驱动，工作机载荷稳定，两班制工作，使用期限为作机载荷稳定，两班制工作，使用期限为8年。

小年小锥齿轮选用锥齿轮选用40Cr，调质处理，硬度为，调质处理，硬度为241～～286HB，大锥齿轮选用，大锥齿轮选用42SiMn，调质处理，硬度为，调质处理，硬度为217～～255HB要求所设计的圆锥齿轮传动要求所设计的圆锥齿轮传动体积小体积小【例2-7】•某一带式运输机中的第一级采用普通某一带式运输机中的第一级采用普通V带传动已知动力机为已知动力机为Y系列三相异步电动机，其额定功系列三相异步电动机，其额定功率率P=7.5kW，转速，转速n1=1440r/min，从动带轮的转，从动带轮的转速速n2=630r/min，允许误差为，允许误差为±5%，两班制工作，，两班制工作，运输装置工作时有轻度冲击试设计此带传动，运输装置工作时有轻度冲击试设计此带传动，要求带传动的要求带传动的轮廓尺寸最小轮廓尺寸最小【例2-7】 (续)•带传动的设计参数主要有带的型号、带的根数带传动的设计参数主要有带的型号、带的根数z、、小带轮直径小带轮直径D1、大带轮直径、大带轮直径D2、带的长度、带的长度L、中、中心距心距a、小带轮包角、小带轮包角α1、带的张紧力、带的张紧力F0以及作用在以及作用在轴上的载荷轴上的载荷FQ。

由于参数由于参数D2、、a、、α1、、F0、、FQ可可由参数传动比由参数传动比i(i=n1/n2= D2/D1)、、D1、、L、、z通过有通过有关公式确定，所以本例的独立设计参数只有关公式确定，所以本例的独立设计参数只有带的带的型号型号、、D1、、L、、z•本例是要通过优选带的型号、本例是要通过优选带的型号、D1、、L、、z这组参数这组参数得到具有最小轮廓且满足得到具有最小轮廓且满足V带根数、小带轮包角带根数、小带轮包角等限制条件的带传动等限制条件的带传动【例2-8】•右图所示的人字架由两个钢管构右图所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力成，其顶点受外力2F=3×105N人字架的跨度人字架的跨度2B=152cm，钢管，钢管壁厚壁厚T=0.25cm，钢管材料的弹性，钢管材料的弹性模量模量E=2.1×105Mpa，材料密度，材料密度ρ=7.8 ×103Kg/m3，许用压应力，许用压应力 σy= 420MPa求在钢管压应力求在钢管压应力σ不超过许用压应力不超过许用压应力σy和失稳临界和失稳临界应力应力σe的条件下，人字架的高的条件下，人字架的高h和钢管平均直径和钢管平均直径D，使钢管总质，使钢管总质量量m为最小。

为最小图2- 人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：使结构质量但应满足强度约束条件稳定约束条件钢管所受的压力失稳的临界力钢管所受的压应力钢管的临界应力强度约束条件可以写成稳定约束条件可以写成人字架的总质量这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解除了解析法外，还可以采用作图法求解 图2- 人字架优化设计的图解　　从以上三个实例可以看出，　　从以上三个实例可以看出，优化设计的数学模型需优化设计的数学模型需要用要用设计变量设计变量、、目标函数目标函数和和约束条件约束条件等基本概念才能予等基本概念才能予以完整的描述，可以写成以下统一形式：以完整的描述，可以写成以下统一形式：求设计变量求设计变量：(2-1)使极小化函数使极小化函数：(2-2)满足约束条件满足约束条件：其中，　　　　称为不等式约束条件，　　　　称为等式约束条件其中，　　　　称为不等式约束条件，　　　　称为等式约束条件　　若用向量　　　　　　　　－－表示设计变量，　　　若用向量　　　　　　　　－－表示设计变量，　　　　　　　　－－表示向量　　　　　－－表示向量X 属于属于n 维实欧氏空间；维实欧氏空间；　　用　　用min、、max－－－－表示极小化和极大化，表示极小化和极大化，　　　　s.t.（（subjected to的英文缩写）－－表示的英文缩写）－－表示“满足于满足于”，，　　　　 m、、p－－－－分别表示不等式约束和等式约束的个数。

分别表示不等式约束和等式约束的个数　　则优化数学模型可以写成以下向量形式：　　则优化数学模型可以写成以下向量形式： (2-3) 上式就是上式就是优化数学模型优化数学模型的一般表达式这一优化数学模型，的一般表达式这一优化数学模型，称为称为约束优化设计问题约束优化设计问题2-4)这一优化问题不受任何约束，称为这一优化问题不受任何约束，称为无约束优化设计问题无约束优化设计问题式（式（2-42-4）即为无约束优化问题的）即为无约束优化问题的数学模型表达式数学模型表达式若上式所列若上式所列数学模型数学模型内内 m m = p= p = 0 = 0，则成为，则成为　　当涉及问题要求当涉及问题要求极大化　　极大化　　目标函数时，只要将式中目标函数时，只要将式中目标函数目标函数改改写为－　　即可因为　　　　和　　　　　　具有相同的解写为－　　即可因为　　　　和　　　　　　具有相同的解　　同样，当　　同样，当不等式约束不等式约束为：为：“≥００”时，只要将不等式两端同乘以时，只要将不等式两端同乘以“－－1”，即可得到，即可得到“≤”的一般形式的一般形式　　一个完整的规格化的一个完整的规格化的优化数学模型优化数学模型应包含有应包含有三部分内容三部分内容：即设计：即设计变量变量X、目标函数　　　、约束条件　　　　和　　　　。

它们又称、目标函数　　　、约束条件　　　　和　　　　它们又称为优化数学模型的为优化数学模型的三要素三要素　　　　建立出的优化数学模型，在计算机上求得的解称为建立出的优化数学模型，在计算机上求得的解称为优化问题的最优化问题的最优解优解，它包括：，它包括：最优方案最优方案：最优目标函数值最优目标函数值：即即优化问题的最优解优化问题的最优解由由最优设计方案最优设计方案X*（或称最优点）和（或称最优点）和最优目标函最优目标函数值　　　数值　　　两部分组成最优目标函数值　　　是最优点两部分组成最优目标函数值　　　是最优点X*带入目标带入目标函数　　所求得的最优函数值，它是评价设计方案优劣程度的一个标函数　　所求得的最优函数值，它是评价设计方案优劣程度的一个标量值下面就下面就优化数学模型优化数学模型三要素三要素的有关问题说明如下的有关问题说明如下: :　　在在优化设计优化设计过程中需要调整和优选的参数，称为过程中需要调整和优选的参数，称为设计变量设计变量可表可表示为：示为： 　　由于实际工程由于实际工程设计对象设计对象的不同，则选取的的不同，则选取的设计变量设计变量也就不同也就不同 它可以是它可以是几何参数几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸等；也可以是寸等；也可以是某些物理量某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯性矩等；还可以是性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。

如应力、变形等　　总之，　　总之，设计变量设计变量必须是对该项设计性能指标必须是对该项设计性能指标优劣优劣有影响的有影响的参数参数　　设计变量是一组相互独立的基本参数一般用向量设计变量是一组相互独立的基本参数一般用向量X 来表示　　来表示　　 设计变量的每一个分量都是相互独立的设计变量的每一个分量都是相互独立的　　以　　以n个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为设计空间设计空间，或称，或称n维实欧式空间，维实欧式空间，用用Rn表示表示1. 设计变量设计变量 　 当当 n=2 时，时，X=[x1,x2]T 是二维设计向量；是二维设计向量；　　 当当 n=3 时，时，X=[x1,x2, x3]T 为三维设计向量，设计变为三维设计向量，设计变量量x1,x2, x3组成一个三维空间；组成一个三维空间；　　当　　当 n>3 时，设计空间是一个想象的超越空间，称时，设计空间是一个想象的超越空间，称n维维实数空间其中二维和三维设计空间如实数空间其中二维和三维设计空间如图图2-2所示 图图2-2　　设计空间设计空间(a)(b) 设计变量设计变量可分为连续变量和离散变量。

可分为连续变量和离散变量　　在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散　　在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称型量，则称离散设计变量离散设计变量，如齿轮的齿数、模数，钢管，如齿轮的齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等的直径、钢板的厚度等　　对于　　对于离散设计变量离散设计变量，在优化设计过程中常是先把它，在优化设计过程中常是先把它视为连续量，在求得连续量的优化结果后再进行圆整或视为连续量，在求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优设计方案标准化，以求得一个实用的最优设计方案　　设计变量的　　设计变量的个数个数，称为，称为自由度（维数）自由度（维数），它决定了，它决定了优化问题的优化问题的大小范围大小范围，当：，当： 　　　　　　　　n＝＝2～～10　　 为小型优化问题为小型优化问题 ；； 　　　　　　　　n＝＝10～～50　　 为中型优化问题；为中型优化问题；　　　　　　　　n > 50　　 为大型优化问题为大型优化问题 2. 目标函数目标函数 　　　　目标函数目标函数是用来评价设计方案优劣的标准，又称是用来评价设计方案优劣的标准，又称评价评价函数函数。

它它是设计变量的函数，常记为是设计变量的函数，常记为 　　　　确定目标函数，是优化设计中最重要的决策之一因确定目标函数，是优化设计中最重要的决策之一因为这不仅直接影响优化方案的质量，而且还影响到优化过为这不仅直接影响优化方案的质量，而且还影响到优化过程　　目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立，　　目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立，例如：例如：机械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、机械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、几几何尺寸、何尺寸、承载能力；机械设计中的运动误差、承载能力；机械设计中的运动误差、功率、应力、功率、应力、动力特性；产品设计中的成本、寿命等动力特性；产品设计中的成本、寿命等　　优化设计就是要寻求一个最优设计方案，即优化设计就是要寻求一个最优设计方案，即最优点最优点X*，从而使目标函数达到，从而使目标函数达到最优值最优值　　　在优化设计中，一　　　在优化设计中，一般取最优值为般取最优值为目标函数的最小值目标函数的最小值 　　一个优化问题，可以用一个目标函数来衡量，称之为一个优化问题，可以用一个目标函数来衡量，称之为单目标优化问题单目标优化问题；也可以用多个目标函数来衡量，称之为；也可以用多个目标函数来衡量，称之为多目标优化问题多目标优化问题。

　　如　　如图图2-3所示，所示，当目标函数当目标函数 f(x)等于等于某一　　　　　值时，就可得到某一　　　　　值时，就可得到一条等一条等值线值线，它是在设计平面上由，它是在设计平面上由 f (x)＝＝Ci 的的无数个设计点无数个设计点X 所连成，当所连成，当 f(x) 为不等为不等的函数值的函数值　　　　　　　　时，可以得到一族等时，可以得到一族等值线　　　目标函数可以通过目标函数可以通过等值线（面）等值线（面）在设计空间中表现出来在设计空间中表现出来　　现以现以二维优化问题二维优化问题为例，来说明为例，来说明目标函数的等值线目标函数的等值线( (面面) )的几何意义的几何意义图图2-3　　二维目标函数的等值线二维目标函数的等值线ci(i=1,2,…)　　由于　　由于每一条曲线上的各点都具有每一条曲线上的各点都具有相相等的目标函数值等的目标函数值，所以，所以这些曲线这些曲线称为目称为目标函数的等值线标函数的等值线　　所谓　　所谓目标函数的等值线（面）目标函数的等值线（面），，就是当就是当目标函数目标函数 f(X) 的值的值依次等于一依次等于一系列系列常数常数 ( i=1, 2, …)时，设计变量时，设计变量X 取得一系列值的集合。

取得一系列值的集合　　对于对于一个目标函数一个目标函数来说，它可来说，它可以有以有无穷多条无穷多条的的等值线等值线可以说等可以说等值线充满了设计空间值线充满了设计空间　　由图可见，由图可见，等值线族等值线族反映了目反映了目标函数值的变化规律，等值线越向标函数值的变化规律，等值线越向里面，目标函数值越小里面，目标函数值越小　　对于　　对于有中心的曲线族有中心的曲线族来说，等来说，等值线族的值线族的共同中心共同中心就是目标函数的就是目标函数的无约束极小点无约束极小点X*故从几何意义上故从几何意义上来说，求目标函数无约束来说，求目标函数无约束极小点极小点也也就是求其等值线族的就是求其等值线族的共同中心共同中心　　等值线　　等值线有以下有以下几个特点几个特点：： (1) 不同值的等值线不相交；不同值的等值线不相交； (2) 除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断； (3) 等值线充满整个设计空间；等值线充满整个设计空间； (4) 等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快 ；； (5) 一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆族，极值点就是椭圆的中心点。

族，极值点就是椭圆的中心点　　在设计空间内，　　在设计空间内，目标函数值相等点目标函数值相等点的连线的连线：： ■ ■ 对于二维优化问题，构成了对于二维优化问题，构成了等值线等值线；； 　　 ■ ■ 对于三维优化问题，构成了对于三维优化问题，构成了等值面等值面；； ■ ■ 对于四维以上的优化问题，则构成了对于四维以上的优化问题，则构成了等值超曲面等值超曲面3. 约束条件约束条件 　　约束条件约束条件是设计变量选取的限制条件，或称是设计变量选取的限制条件，或称设计约束设计约束　　按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，一般表达式为类，一般表达式为：：不等式约束不等式约束等式约束等式约束　　按照　　按照设计约束设计约束的性质不同，约束又可分为如下两类：的性质不同，约束又可分为如下两类：　　　　（１）性能约束：（１）性能约束：是根据设计性能或指标要求而确定的是根据设计性能或指标要求而确定的一种约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及一种约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及对运动学参数如位移、速度、加速度值的限制条件均属性能对运动学参数如位移、速度、加速度值的限制条件均属性能约束。

约束　　　　（２）边界约束：（２）边界约束：则是对设计变量取值范围的限制，例则是对设计变量取值范围的限制，例如对齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺如对齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺寸的限制都是边界约束寸的限制都是边界约束 　　任何一个任何一个不等式约束方程不等式约束方程的图形将的图形将设计空间设计空间划分为划分为两两部分部分：：　　一部分满足约束，即　　一部分满足约束，即 gj(X)＜＜0；；　　另一部分则不满足约束，即　　另一部分则不满足约束，即 gj(X)＞＞0　　故将　　故将该分界线该分界线或分界面称为或分界面称为约束边界约束边界（或约束面）或约束面）　　　　等式约束等式约束本身也是约束边界，不过此时只有约束边界本身也是约束边界，不过此时只有约束边界上的点满足约束，而边界两边的所有部分都不满足约束上的点满足约束，而边界两边的所有部分都不满足约束　　以二维问题为例，如　　以二维问题为例，如图图2-4所示，其中所示，其中阴影方向部分阴影方向部分表表示不满足约束的区域示不满足约束的区域图图2-4　约束边界　约束边界(2-5)图图2-5　二维问题的可行域　二维问题的可行域　　不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不可行域不可行域。

　　　　可行域可行域也可看做满足所有约束条件的设计点的也可看做满足所有约束条件的设计点的集合集合，因此，可用，因此，可用集合集合表示如下：表示如下：　　约束的几何意义约束的几何意义是它将是它将设计空间设计空间一分一分为二，形成了为二，形成了可行域可行域和和非可行域非可行域　　每一个不等式约每一个不等式约束或等式约束都将设束或等式约束都将设计空间分为两部分，计空间分为两部分，满足所有约束的部分满足所有约束的部分形成一个形成一个交集交集，，该交该交集集称为此约束问题的称为此约束问题的可行域可行域，记做，记做 D，见，见图图2-5　　综综上上所所述述，，优优化化数数学学模模型型是是对对实实际际问问题题的的数数学学描描述述和和概概括括，，是是进进行行优优化化设设计计的的基基础础因因此此，，根根据据设设计计问问题题的的具具体体要要求求和和条条件件建建立立完完备备的的数数学学模模型型是是关关系系优优化化设设计计成败的关键成败的关键　　这这是是因因为为优优化化问问题题的的计计算算求求解解完完全全是是围围绕绕数数学学模模型型进进行行的的也也就就是是说说，，优优化化计计算算所所得得的的最最优优解解实实际际上上只只是是数数学学模模型型的的最最优优解解。

此此解解是是否否满满足足实实际际问问题题的的要要求求，，是是否否就就是是实实际际问问题题的的最最优优解解，，完完全全取取决决于于数数学学模模型型和和实实际际问题的问题的符合程度符合程度　　建立优化数学模型是一项重要而复杂的工作：　　建立优化数学模型是一项重要而复杂的工作：　　一方面希望建立一个　　一方面希望建立一个尽可能完善尽可能完善的数学模型，以的数学模型，以求精确地表达实际问题，得到满意的结果；求精确地表达实际问题，得到满意的结果；　　另一方面又力求使所建立的数学模型　　另一方面又力求使所建立的数学模型尽可能简单尽可能简单，，以便于计算与求解以便于计算与求解　　前前者者是是指指总总体体布布局局、、结结构构或或系系统统的的类类型型以以及及几几何何形形式式的的优优化化设设计计；；后后者者是是在在总总体体方方案案选选定定后后，，对对具具体体设设计计参参数数（（几几何何参参数数、、性性能能参数等）的优化设计参数等）的优化设计　　　　总总体体方方案案设设计计是是一一种种创创造造性性活活动动，，必必须须依依靠靠思思考考与与推推理理，，综综合合运运用用多多学学科科的的专专门门知知识识和和丰丰富富的的实实践践经经验验，，才才能能获获得得正正确确、、合合理理的的设设计计。

因因此此，，总总体体方方案案优优化化其其大大量量工工作作是是依依据据知知识识和和经经验验进进行行演演绎绎和和推推理理，，可可用用人人工工智智能能方方法法（（特特别别是是专专家家系系统统技技术术））适适宜宜于于求求解解这这类问题　　　　设设计计参参数数优优化化是是择择优优确确定定具具体体的的设设计计参参数数，，属属于于数数值值计计算算型型工工作作，，比比较较容容易易总总结结出出可可供供计计算算分分析析用用的的数数学学模模型型，，因因而而一一般般采采用用数数学规划方法来求解学规划方法来求解本章本章主要介绍主要介绍设计参数优化问题设计参数优化问题　　工程设计的　　工程设计的类型类型很多，总的来说，它可以分为很多，总的来说，它可以分为两个层次两个层次：2.1.3 优化问题的分类优化问题的分类　　　　　　　　　　　　● 总体方案优化总体方案优化；　　　　　　　　　　　　● 设计参数优化设计参数优化这两者这两者之间有着密切的联系，但也存在着实质性的区别之间有着密切的联系，但也存在着实质性的区别　　　　根根据据优优化化问问题题的的数数学学模模型型是是否否含含有有设设计计约约束束，，可可将将工程优化问题工程优化问题分为分为：：　　工程优化设计问题中的绝大多数问题都是工程优化设计问题中的绝大多数问题都是约束约束优化问题优化问题。

工程优化问题工程优化问题约束优化问题约束优化问题无约束优化问题无约束优化问题一维优化问题一维优化问题多维无约束优化问题多维无约束优化问题非线性规划问题非线性规划问题线性规划问题线性规划问题二次规划问题二次规划问题凸规划问题凸规划问题　　对于优化问题对于优化问题数学模型数学模型的求解，目前可采用的的求解，目前可采用的求解方法求解方法有三种：有三种：　　■数学解析法数学解析法：就是把优化对象用数学模型描述出来后，用：就是把优化对象用数学模型描述出来后，用数学数学解析法（解析法（如微分、变分法等）来求出如微分、变分法等）来求出最优解最优解，如高等数学中求函数极，如高等数学中求函数极值或条件极值的方法值或条件极值的方法　　　　数学解析法数学解析法是优化设计的理论基础但它仅限于是优化设计的理论基础但它仅限于维数较少维数较少且易求且易求导的优化问题的求解导的优化问题的求解 Ø 数学解析法数学解析法Ø 图解法图解法Ø 数值迭代法数值迭代法　　■图解法图解法：就是直接用就是直接用作图的方法作图的方法来求解优化问题，通过画出目来求解优化问题，通过画出目标函数和约束函数的图形，求出最优解标函数和约束函数的图形，求出最优解。

　　　　此法的特点此法的特点是简单直观，但仅限于是简单直观，但仅限于n≤≤2的低维优化问题的求解的低维优化问题的求解 2.1.4 优化设计的迭代算法优化设计的迭代算法图图2-6 所示－－为采用所示－－为采用图解法图解法来求解如下来求解如下二维优化问题二维优化问题：min f(X) = x12+x22－4x1+4 s.t. g1(X) = x2－x1－2≤0 g2(X) = x12－x2+1≤0 g3(X) = －x1≤0 g4(X) = －x2≤0　　该问题的目标函数、约束函数的　　该问题的目标函数、约束函数的立体图立体图－－如－－如图图2-6(a)所示；所示；　　该问题的　　该问题的设计空间关系图设计空间关系图－－－－如如图图2-6(b)所示，阴影线部分即为所示，阴影线部分即为由所有约束边界围成的由所有约束边界围成的可行域可行域　　该问题的　　该问题的约束最优点约束最优点－－为图中的－－为图中的X*点，即点，即 　　　　　　　　　　X*=[x1*, x2*]T　　　　　　 　　　　　　=[0.58, 1.34] T；；　　　　约束最优值约束最优值为：为： 的的最优解最优解的结果。

的结果f(X*)=0.38　　　　　(a)问题的立体图问题的立体图 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 (b)设计空间关系图设计空间关系图　　　　　　　　　　　图　　　　　　　　　　　图2-6 二维优化问题的几何解二维优化问题的几何解　　■数数值值迭迭代代法法：：完完全全是是依依赖赖于于计计算算机机的的数数值值计计算算特特点点而而产产生生的的，，它它是是具具有有一一定定逻逻辑辑结结构构并并按按一一定定格格式式反反复复迭迭代代计计算算，，逐逐步步逼逼近近优优化化问问题最优解的一种方法采用题最优解的一种方法采用数值迭代法数值迭代法可以求解各种优化问题可以求解各种优化问题1. 数值迭代法的迭代格式数值迭代法的迭代格式数值迭代法数值迭代法的基本思想基本思想是：搜索、迭代、逼近是：搜索、迭代、逼近　　为了求得目标函数为了求得目标函数　　　　 的的极小点极小点 ，其，其迭代过程迭代过程如下：如下： ①①在设计空间给出一初始迭代点在设计空间给出一初始迭代点 ；； ②②从从 出发，按照确定的搜索方向出发，按照确定的搜索方向 和迭代步长和迭代步长 ，求，求得第一个改进设计点得第一个改进设计点 ，它应该满足：，它应该满足： ；； ③③再以再以 为新的初始点，重复上述步骤，求得为新的初始点，重复上述步骤，求得 ，如，如此反复迭代，从而得到一个不断改进的此反复迭代，从而得到一个不断改进的点列点列 及一相应及一相应的递减函数值数列的递减函数值数列 。

　　这一这一迭代过程迭代过程用数学式子表达，得用数学式子表达，得数值迭代法数值迭代法的的基本迭代格式基本迭代格式为：为：式中：式中：X(k)——前一步已取得的设计方案（迭代点）；前一步已取得的设计方案（迭代点）；　　　　　　X(k+1)——新的改进设计方案（新的迭代点）；新的改进设计方案（新的迭代点）；　　　　　　S(k)——第第k次迭代计算的搜索方向；次迭代计算的搜索方向；　　　　　　αα(k) ——第第k次迭代计算的步长因子次迭代计算的步长因子2-6）　　　　④④ 这样一步步地重复数值计算，不断用改进的新点迭代前次设这样一步步地重复数值计算，不断用改进的新点迭代前次设计点，逐步改进计点，逐步改进　　　　 值并使设计点最终逼近值并使设计点最终逼近极小点（极值点）极小点（极值点） 这一这一迭代过程迭代过程如如图图2-7所示图图2-7　二维优化问题的迭代过程　二维优化问题的迭代过程　　在优化算法中，关于在优化算法中，关于迭代方法迭代方法有多种，它们之间的有多种，它们之间的区别区别就在于就在于确定确定α(k) 和和S(k)的方式不同的方式不同特别是特别是S(k)的确定，的确定，在各种方法中起着关键性的作用。

在各种方法中起着关键性的作用关于关于α(k) 和和S(k)的确定的确定，，将在后面各节中介绍将在后面各节中介绍 　　通过以上分析及其通过以上分析及其图图2-7可知，要用可知，要用数值迭数值迭代法代法寻找寻找最优点最优点X*，这，这里关键要解决里关键要解决三个问题三个问题：：　　　　●一是如何确定迭代一是如何确定迭代步长步长α(k)；；　　　　●二是怎样选定搜索二是怎样选定搜索方向方向S(k)；；　　　　●三是如何判断是否三是如何判断是否找到了最优点找到了最优点X* ，以终，以终止迭代2. .迭代计算的终止准则迭代计算的终止准则 目前，通常采用的目前，通常采用的迭代终止准则迭代终止准则有以下几种有以下几种：（１）（１）点距足够小准则点距足够小准则相邻两迭代点之间的距离已达到充分小，即相邻两迭代点之间的距离已达到充分小，即（2-7）式中，式中，　　—— 给定的计算精度，一般可取给定的计算精度，一般可取10-3～～10-5２）（２）函数值下降量足够小准则函数值下降量足够小准则 相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即（2-8） 式中，　式中，　—— 给定的计算精度，给定的计算精度，一般可取一般可取10-3～～10-5 。

目标函数在目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即迭代点的梯度已达到充分小，即（３）（３）函数梯度充分小准则函数梯度充分小准则（2-9） 式中，　式中，　—— 给定的计算精度，一般可取给定的计算精度，一般可取10-3 　　这是由于函数极值点的这是由于函数极值点的必要条件必要条件是函数在这一是函数在这一点的梯度值的模为零因此当迭代点的点的梯度值的模为零因此当迭代点的函数梯度的函数梯度的模模已充分小时，则认为迭代可以终止已充分小时，则认为迭代可以终止　　上述上述三个准则三个准则都可以单独使用只要其中一个都可以单独使用只要其中一个得到满足，就可以认为达到了得到满足，就可以认为达到了近似最优解近似最优解，迭代计，迭代计算到此结束算到此结束　　对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的　　对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的终止准则，在此不再介绍终止准则，在此不再介绍 　　已知一已知一n元函数　　，则该函数在　　点处的梯度元函数　　，则该函数在　　点处的梯度可记为：可记为：2.2 优化方法的数学基础优化方法的数学基础( (略略) ) 　　在介绍有关在介绍有关优化算法优化算法时，常常要用到时，常常要用到函数的梯度函数的梯度和和海森海森(Hessian)矩阵矩阵的概念。

这里简要介绍之这里简要介绍之1. 多元函数的多元函数的梯度梯度（2-19）　　函数的梯度函数的梯度在优化设计中有着十分重要的作用在优化设计中有着十分重要的作用　　由于梯度是一个向量，而　　由于梯度是一个向量，而梯度方向梯度方向是函数具有最大变化是函数具有最大变化率的方向亦即率的方向亦即梯度方向梯度方向是指函数的最速上升方向，而是指函数的最速上升方向，而负梯负梯度方向度方向则为函数的则为函数的最速下降方向最速下降方向如图图2-11所示 图图2-11 梯度方向与等值线的关系梯度方向与等值线的关系 　　已知一已知一n元函数　　，则该函数在点　　的所有二阶偏导数组成的元函数　　，则该函数在点　　的所有二阶偏导数组成的矩阵，称为函数　　在点　　的二阶偏导数矩阵或矩阵，称为函数　　在点　　的二阶偏导数矩阵或海森海森(Hessian)矩阵矩阵，，经常记作　　　该二阶偏导数矩阵的组成形式如下：经常记作　　　该二阶偏导数矩阵的组成形式如下：2. 多元函数的海森矩阵多元函数的海森矩阵 (2-21) 　　由于由于n元函数元函数的偏导数有的偏导数有n××n个，而且偏导数的值与求导次序无关，个，而且偏导数的值与求导次序无关，所以函数的二阶偏导数矩阵是一个所以函数的二阶偏导数矩阵是一个n××n阶的阶的对称矩阵对称矩阵。

　　海森矩阵海森矩阵　　　　　　 在判别多元函数极值的充分条件以及在牛顿法构在判别多元函数极值的充分条件以及在牛顿法构造牛顿搜索方向时都有重要用途造牛顿搜索方向时都有重要用途2.3 一维优化方法一维优化方法•求解一维目标函数求解一维目标函数f(x)最优解的过程，称为最优解的过程，称为一维优化一维优化（或一维搜索），所使用的方法称为（或一维搜索），所使用的方法称为一维优化方法一维优化方法•一维优化方法是最简单、最基本的方法，在数值方法迭一维优化方法是最简单、最基本的方法，在数值方法迭代计算过程中都要进行一维搜索代计算过程中都要进行一维搜索•可以把多维优化问题化为一些一维问题来处理可以把多维优化问题化为一些一维问题来处理•求解优化问题的迭代算法的迭代公式为：求解优化问题的迭代算法的迭代公式为：•α(k)值被称为一维搜索的最优步长值被称为一维搜索的最优步长Ø一维搜索方法一般分两步进行：一维搜索方法一般分两步进行：•首先在方向首先在方向S(k)上确定一个包含函数极小点的初始区上确定一个包含函数极小点的初始区间，即确定函数的搜索区间，该区间必须是间，即确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区单峰区间间；；•然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出该搜索区间内的最优步长和一维极小点。

即求出该搜索区间内的最优步长和一维极小点Ø一维搜索方法主要有：分数法、黄金分割法（一维搜索方法主要有：分数法、黄金分割法（0.618法）法）、二次插值和三次插值法等二次插值和三次插值法等2.3.1 搜索区间的确定搜索区间的确定 根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间所谓所谓单峰区间单峰区间，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即函数的极小值，如图函数的极小值，如图2-18所示单峰区间的函数值呈单峰区间的函数值呈“高高-低低-高高”的变化特征的变化特征　　设区间设区间 [α1,α3] 为单峰区间，为单峰区间，而而α2为该区间内的一点，为该区间内的一点，若有　　　若有　　　α1<α2<α3　　　　或　或　 　　 α1>α2>α3成立，则必有成立，则必有 f(α1)> f(α2)< f(α3)同时成立同时成立图2-18　单峰区间Ø进退试算法进退试算法的基本思想是：按照一定的规律给出若干试的基本思想是：按照一定的规律给出若干试算点，依次比较各试算点的函数值的大小，直到找到相算点，依次比较各试算点的函数值的大小，直到找到相邻三点的函数值按邻三点的函数值按“高高-低低-高高”变化的单峰区间为止。

变化的单峰区间为止Ø进退试算法的运算步骤如下：进退试算法的运算步骤如下：•给定给定初始点初始点α0和和初始步长初始步长h，，求搜索区间求搜索区间[a, b]•将将α0及及α0+h代入目标函数代入目标函数f(x)进行计算并比较大小进行计算并比较大小图2-19 求搜索区间•前进试算：前进试算：若若f(α0)>f(α0+h) ，则将，则将步长步长 h增加增加2倍，并计算新点倍，并计算新点α0+3h若f(α0+h)≤f(α0+3h) ，则，则搜索区间为：搜索区间为：a=α0, b=α0+3h 否则，将步长再加倍，并重复上否则，将步长再加倍，并重复上述运算•后退试算：后退试算：若若f(α0)f(α0) ，则搜索区间可取为：，则搜索区间可取为： a =α0 - h/4, b =α0+h 否则，将步长再加倍，继续后退，重复上述步骤，直到满否则，将步长再加倍，继续后退，重复上述步骤，直到满足单峰区间条件为止。

足单峰区间条件为止图2-19 求搜索区间上述进退试算法的程序计算框图，如图上述进退试算法的程序计算框图，如图2-20所示所示图2-20 进退法的程序框图 2.3.2 黄金分割法黄金分割法Ø又称为又称为0.618法，它是一种法，它是一种等比例缩短区间等比例缩短区间的直接搜索的直接搜索方法Ø基本思路：通过比较单峰区间内两点函数值，不断舍基本思路：通过比较单峰区间内两点函数值，不断舍弃单峰区间的左端或右端一部分，使区间按照弃单峰区间的左端或右端一部分，使区间按照固定区固定区间缩短率间缩短率（缩小后的新区间与原区间长度之比）逐步（缩小后的新区间与原区间长度之比）逐步缩短，直到极小点所在的区间缩短到给定的误差范围缩短，直到极小点所在的区间缩短到给定的误差范围内，而得到近似最优解内，而得到近似最优解Ø为了达到缩短区间之目的，可在已确定的搜索区间为了达到缩短区间之目的，可在已确定的搜索区间（单峰区间）内，选取计算点，计算函数值，并比较（单峰区间）内，选取计算点，计算函数值，并比较它们的大小，以消去不可能包含极小点的区间它们的大小，以消去不可能包含极小点的区间 Ø如如下下图图所所示示，，为为使使[a, b]区区间间缩缩小小，，在在单单峰峰区区间间[a, b]内内插插入入两两个个内内分分点点α1，，α2 ，，且且满满足足a＜＜α1＜＜α2＜＜b ，，并并计计算算它它的的函函数数值值f(α1), f(α2)，，比比较较它它们们的的大大小小，，可可能能发发生生以下情况：以下情况：(a) 　　 　　　 (b) 　　 　　　 (c)图2-21 　黄金分割法的序列消去原理 •若若 f(α1)< f(α2)，，则则由由于于函函数数的的单单峰峰性性，，极极小小点点必必位位于于区区间间[a,α2]内内，，因因而而可可以以去去掉掉区区间间[α2,b]，，得得到到缩缩短短了了的的搜搜索索区区间间[a,α2]，如图，如图2-21(a)所示；所示；•若若 f(α1) > f(α2)，，显显然然，，极极小小点点必必位位于于[α1,b]内内，，因因而而可可去去掉掉区间区间[a,α1]，得到新区间，得到新区间[α1, b]，如图，如图2-21(b)所示；所示； •若若 f(α1) = f(α2)，，极极小小点点应应在在区区间间[α1,α2]内内，，因因而而可可去去掉掉[a,α1] 或或 [α2,b]，甚至将此二段都去掉，如图，甚至将此二段都去掉，如图2-21(c)所示。

所示Ø对对于于上上述述缩缩短短后后的的新新区区间间，，可可在在其其内内再再取取一一个个新新点点α3，，然然后后将将此此点点和和该该区区间间内内剩剩下下的的那那一一点点进进行行函函数数值值大大小小的的比比较较，，以以再再次次按按照照上上述述方方法法，，进进一一步步缩缩短短区区间间，，这这样样不不断断进进行行下下去去，，直直到到所所保保留留的的区区间间缩缩小小到到给给定定的的误差范围内，而得到近似最优解误差范围内，而得到近似最优解Ø黄黄金金分分割割法法的的内内插插点点选选取取原原则则是是：：每每次次区区间间缩缩短短都都取取相相等等的的区区间间缩缩短短率率按按照照这这一一原原则则，，其其区区间间缩缩短短率率都都是是取取λ=0.618，，即即该该法法是是按按区区间间全全长长的的0.618倍倍的的关关系系来来选取两个对称内插点选取两个对称内插点α1,α2的Ø如如图图2-22所所示示，，设设原原区区间间[a, b]长长度度为为L，，区区间间缩缩短短率率为为λ为为缩缩短短区区间间，，黄黄金金分分割割法法要要求求在在区区间间[a, b]上上对对称称地地取取两两个个内内分分点点α1和和α2，，设设两两个个对对称称内内分分点点交交错错离离两两端端点点距距离为离为l，则：，则：•首次区间缩短率为：首次区间缩短率为：•再次区间缩短率为：再次区间缩短率为：图2-22 0.618法新、旧区间的几何关系 Ø根据每次根据每次区间缩短率相等区间缩短率相等的原则，则有：的原则，则有： 由此得：由此得： 即即 　　　　 ，，或或　　　　　　　　　　，，解解此此方方程程取取其其正正根根可可得：得： 这这意意味味着着，，只只要要取取λ=0.618，，就就以以满满足足区区间间缩缩短短率率不不变变的的要要求求。

即即每每次次缩缩小小区区间间后后，，所所得得到到的的区区间间是是原原区区间间的的0.618倍倍，，舍舍弃弃的的区区间间是是原原区区间间的的0.382倍倍黄黄金金分分割割法法迭迭代代过过程程中中，，除除初初始始区区间间要要找找两两个个内内分分点点外外，，每每次次缩短的新区间内，只需再计算一个新点函数值就够了缩短的新区间内，只需再计算一个新点函数值就够了 Ø根根据据以以上上结结果果，，黄黄金金分分割割法法的的两两个个内内插插点点的的取取点点规规则则为：为： （（2-30））Ø综上所述，黄金分割法的综上所述，黄金分割法的计算步骤计算步骤如下：如下：(1) 给定初始单峰区间给定初始单峰区间[a, b]和收敛精度和收敛精度ε；；(2) 在区间在区间[a, b]内取两个内插点并计算其函数值：内取两个内插点并计算其函数值：(3) 比较函数值比较函数值 f1和和 f2的大小：的大小：•若若 f1 < f2 ，，则则取取[a,α2]为为新新区区间间，，而而α1则则作作为为新新区区间间内的第一个试算点，即令：内的第一个试算点，即令： 而而另一试算点另一试算点可按下式计算出：可按下式计算出：•若若 f1≥ f2 ，，则则取取[α1 , b]为为新新区区间间，，而而α2作作为为新新区区间间内内的第一个试算点，即令：的第一个试算点，即令： 而而另一试算点另一试算点可按下式计算出来：可按下式计算出来：(4) 迭代终止条件判别：迭代终止条件判别：若若满满足足b-a ≤ε，，则则转转下下一一步步；；否否则则返返回回步步骤骤(3)，，进进行行下下一一次次迭迭代代计计算算，，进一步缩短区间。

进一步缩短区间5) 输出最优解：输出最优解：图2-23 　黄金分割法的计算框图Ø又称又称近似抛物线法近似抛物线法其基本思想是：其基本思想是：•在在给给定定的的单单峰峰区区间间中中，，利利用用目目标标函函数数上上的的三三个个点点来来构构造造一一个个二二次次插插值值函函数数p(X)，，以以近近似似地地表表达达原原目目标标函函数数f(X) ，，并并求求这这个个插插值值函函数数的的极极小小点点近近似似作作为为原原目标函数的目标函数的极小点极小点•该该法法是是以以目目标标函函数数的的二二次次插插值值函函数数的的极极小小点点作作为为新新的中间插入点，进行区间缩小的一维搜索方法的中间插入点，进行区间缩小的一维搜索方法 Ø设设一一元元函函数数f(X) ，，在在单单峰峰区区间间[α1,α3]内内取取一一点点α2，，且且α1＜＜α2 ＜＜α3 ，这三点对应的函数值分别为：，这三点对应的函数值分别为：2.3.3 二次插值法二次插值法  于于是是通通过过原原函函数数曲曲线线上上的的三三个个点点(α1, f1), (α2 , f2)和和(α3 , f3) 可可以以构构成成一一个个二二次次插插值值函函数数，，如如图图2-24所所示。

设二次插值函数为：示设二次插值函数为： (2-31) 此此函函数数可可以以很很容容易易地地求求得得它它的的极极小小点点αp*令令其其一一阶阶导导数数等等于于零零，，即：即： 解解得得：： (2-32)图2-24 二次插值法的原理为求得为求得αp*，应设法求得式，应设法求得式(2-32)中的待定系数中的待定系数B和和C　　由于所构造的由于所构造的二次插值函数二次插值函数曲线通过曲线通过原函数原函数上的三个上的三个点，因此将三个点点，因此将三个点(α1, f1), (α2 , f2)及及(α3 , f3)代入方程代入方程(2-31)可得：可得：解得系数：解得系数：(2-33)(2-34)将将B，，C之值代入式之值代入式(2-32)，可求得：，可求得：Ø由由上上可可知知，，在在已已知知一一个个单单峰峰搜搜索索区区间间内内的的α1,α2 ,α3 三三点点值值后后，，便便可可通通过过二二次次插插值值方方法法求求得得极极小小点点的的近近似似值值 。

由由于于在在求求αp*时时，，是是采采用用原原函函数数的的近近似似函函数数，，因因而而求求得得的的αp*不一定与原函数的极值点不一定与原函数的极值点 X* 重合Ø为为了了求求得得满满足足预预定定精精度度要要求求的的原原函函数数的的近近似似极极小小点点，，一一般般要要进进行行多多次次迭迭代代 为为此此，， 可可根根据据前前述述的的序序列列消消去去原原理理，， 在在已已有有的的四四个个点点α1,α2 ,α3 及及αp* 中中选选择择新新的的三三个个点点，，得得到到一一个个缩缩小小了了的的单单峰峰区区间间，，并并利利用用此此单单峰峰区区间间的的三三个个点点，，再再一一次次进进行行插插值值如如此此进进行行下下去去，，直直至至达达到到给给定定的的精度为止精度为止 (b)(a)图2-24 二次插值法的原理及区间缩小过程Ø二次插值法的二次插值法的计算步骤计算步骤如下：如下：(1) 给定初始搜索区间给定初始搜索区间[α1,α3] 和计算精度和计算精度ε2) 在区间在区间[α1,α3]内取一内点内取一内点α2，有下面两种取法：，有下面两种取法：等距原则取点：等距原则取点： 不等距原则取点：不等距原则取点：计算三点的函数值：计算三点的函数值：(3) 计计算算二二次次插插值值多多项项式式p(α)的的极极小小点点αp*与与极极小小值值f(αp*) 。

(4) 进进行行收收敛敛判判断断：：若若满满足足　　　　　　　　　　，，停停止止迭迭代代，，并并将将点点α2与与αp*中中函函数数值值较较小小的的点点作作为为极极小小点点输输出出，，结结束一维搜索；否则，转下步束一维搜索；否则，转下步(5)；； (5) 缩缩小小区区间间，，以以得得到到新新的的单单峰峰区区间间，，然然后后转转第第(3)步步，，继续迭代，直到满足精度要求为止继续迭代，直到满足精度要求为止图2-25 二次插值法程序框图 2. 2. 步骤步骤 ( (续续) )：：3. 3. 结果分析：结果分析：问题：若不满足精度，如何缩小区间，再拟合（分四种情况分析）问题：若不满足精度，如何缩小区间，再拟合（分四种情况分析） ？？ Ø多维无约束优化问题的一般数学表达式为：多维无约束优化问题的一般数学表达式为： (2-35)Ø求解这类问题的方法，称为多维无约束优化方法求解这类问题的方法，称为多维无约束优化方法。

Ø根据确定搜索方向时所使用的信息和方法的不同，可根据确定搜索方向时所使用的信息和方法的不同，可将多维无约束优化方法分为两大类：将多维无约束优化方法分为两大类： •间接法间接法•直接法直接法Ø各种优化方法之间的主要差异在于如何构造搜索方向各种优化方法之间的主要差异在于如何构造搜索方向S(k)搜索方向的选择是优化方法讨论中的重要内容搜索方向的选择是优化方法讨论中的重要内容 2.4 多维无约束优化方法多维无约束优化方法 2.4.1 坐标轮换法坐标轮换法Ø亦亦称称降降维维法法，，是是求求解解多多维维无无约约束束优优化化问问题题的的一一种种直直接接法法，，该该法法不不需需求求目目标标函函数数的的导导数数而而直直接接搜搜索索目目标标函函数数的最优解的最优解Ø基基本本原原理理：：将将一一个个多多维维无无约约束束优优化化问问题题转转化化为为一一系系列列一一维维优优化化问问题题来来求求解解，，即即依依次次沿沿着着坐坐标标轴轴的的方方向向进进行行一一维维搜搜索索，，求求得得极极小小点点当当对对n个个设设计计变变量量x1, x2,…，，xn依依次次进进行行过过一一次次搜搜索索之之后后，，即即完完成成一一轮轮计计算算。

如如果果还还没没有有收收敛敛到到极极小小点点，，则则又又从从前前一一轮轮的的最最末末点点开开始始，，作作下下一一轮轮搜搜索索，，如如此此继继续续下下去去，，直直至至收收敛敛到到最最优优点点为为止止坐标轮换法即由此而得名坐标轮换法即由此而得名Ø坐坐标标轮轮换换法法求求解解二二维维优优化化问问题最优解的题最优解的搜索过程搜索过程：：•以以X(0)为为初初始始点点，，沿沿着着坐坐标标轴轴x1 方方向向进进行行一一维维搜搜索索，，求求得得极极小小点点X1(1) ，，然然后后固固定定x1不不变变，，再再沿沿着着坐坐标标轴轴 x2方方向向进进行行一一维维搜搜索索，，求求得得极极小小点点X2(1) ，，至至此此完完成成了了二二维维优优化化问题的第一轮计算问题的第一轮计算•由由于于未未得得到到问问题题的的最最优优点点，，需需进进行行第第二二轮轮迭迭代代，，即即从从前前一一轮轮的的最最末末点点 X2(1)出出发发，，重重复复前前面面的的过过程程求求得得X1(2)，， X2(2) 点图2-26 坐标轮换法搜索过程 •如如此此继继续续下下去去，，直直到到找找到到问题的最优解问题的最优解Ø根根据据上上述述原原理理，，对对于于第第k轮轮计计算算，，坐坐标标轮轮换换法法的的迭迭代代计计算算公公式式为为：： (2-36) 其其中中，，搜搜索索方方向向Si(k)是是轮轮流流取取n 维维设设计计空空间间中中各各坐坐标标轴轴的的单位向量单位向量：： 即：即： 也就是其中第也就是其中第i个坐标方向上的分量为个坐标方向上的分量为1，其余均为零。

其余均为零  迭迭代代步步长长αi可可以以取取正正值值或或负负值值，，正正值值表表示示沿沿坐坐标标正正方方向向进进行行搜搜索索，，负负值值表表示示沿沿坐坐标标轴轴反反方方向向进进行行搜搜索索，，但但αi无论正负，必须使目标函数值下降，即无论正负，必须使目标函数值下降，即: 迭代步长迭代步长αi 有两种取法：有两种取法：•最优步长；最优步长；•加加速速步步长长，，步步长长序序列列为为：： αi ，，2αi ，，4αi ，，8αi ，， ··· <Ø坐标轮换法的坐标轮换法的特点特点是：是：•计算简单，概念清楚，易于掌握；计算简单，概念清楚，易于掌握；•但但搜搜索索路路线线较较长长，，计计算算效效率率较较低低，，特特别别当当维维数数很很高高时时很很费费机机时时，，所所以以坐坐标标轮轮换换法法只只能能用用于于低低维维(n<10)优化问题的求解优化问题的求解•此此外外，，该该法法的的效效能能在在很很大大程程度度上上取取决决于于目目标标函函数数的的性态，即等值线的形态与坐标轴的关系性态，即等值线的形态与坐标轴的关系 　　现以现以二维优化问二维优化问题题为例，为例，最优步长　最优步长　 的几何意义如的几何意义如右图右图所所示。

示求最优步长求最优步长 举举例：例：1. 最优步长的几何意义最优步长的几何意义 已知：已知：2. 最优步长的计算最优步长的计算求：在给定点　　处沿给定方向　　搜索的求：在给定点　　处沿给定方向　　搜索的最优步长最优步长　　 解：根据基本迭代公式，有解：根据基本迭代公式，有则则由上可见，由上可见，原本原本 函数函数 为求得最优步长为求得最优步长，可令：可令：即即故得最优步长：最优步长：　2.4.2 鲍威尔法鲍威尔法　　　　鲍威尔法（鲍威尔法（powell法，又称法，又称共轭方向法共轭方向法），是鲍威尔），是鲍威尔于于1964年提出的，它是在坐标轮换法的基础上，通过构造年提出的，它是在坐标轮换法的基础上，通过构造共轭方向，以达到快速收敛的目的并通过改进后，是一共轭方向，以达到快速收敛的目的并通过改进后，是一种比较有效的算法种比较有效的算法　　在上述坐标轮换法中，之所以收在上述坐标轮换法中，之所以收敛速度很慢，原因在于其搜索方向敛速度很慢，原因在于其搜索方向总是平行于坐标轴，不适应函数的总是平行于坐标轴，不适应函数的变化情况。

如图变化情况如图2-27所示，若把上一所示，若把上一轮的搜索末点轮的搜索末点 （即这一轮搜索的（即这一轮搜索的起点起点 ）和本轮搜索的末点）和本轮搜索的末点 连接起来，形成一新的搜索方向连接起来，形成一新的搜索方向 ，并沿此方向进行一维搜索，则由，并沿此方向进行一维搜索，则由此图可以看到，它能极大地加快了此图可以看到，它能极大地加快了收敛速度，鲍威尔法正是利用这种收敛速度，鲍威尔法正是利用这种原理来构成搜索方向并进行迭代计原理来构成搜索方向并进行迭代计算的图2-27 共轭方向 1. 共轭方向的概念与形成Ø设设A为为一一n×n阶阶实实对对称称正正定定矩矩阵阵，，若若有有一一组组非非零零向向量量S(1), S(2), …, S(n)满足：满足： (2-37) 则称这组向量关于矩阵则称这组向量关于矩阵A共轭Ø当当A为单位矩阵为单位矩阵(即即A=I)时，则有：时，则有： 此此时时称称向向量量S(i)(i=1,2, …n)相相互互正正交交。

可可见见，，向向量量正正交交是是向向量量共共轭轭的的特特例例，，或或者者说说向向量量共共轭轭是是向向量量正正交交的的推推广 Ø共共轭轭方方向向的的形形成成有有两两种种方方法：法：•基向量组合法基向量组合法•平平行行搜搜索索法法：：右右图图所所示示，，从从任任意意不不同同的的两两点点出出发发，，分分别别沿沿同同一一方方向向S(1)进进行行两两次次一一维维搜搜索索（（或或者者说说进进行行两两次次平平行行搜搜索索）），，得得到到两两个个一一维维极极小小点点X(1)和和X(2)，，则连接此两点构成的向量：则连接此两点构成的向量： 便便是是与与原原方方向向S(1)共共轭轭的的另另一方向图2-28 共轭方向的形成 沿沿此此方方向向作作两两次次平平行行搜搜索索，，又又可可得得到到第第三三个个共共轭轭方方向向如如此此继继续续下下去去，，便便可可得得到到一一个个包包含含n（（维维数数））个个共共轭轭方向的方向组方向的方向组2. 基本鲍威尔法Ø采采用用坐坐标标轮轮换换的的方方法法来来产产生生共共轭轭方方向向，，因因不不必必利利用用导导数的信息，因此是一种直接法数的信息，因此是一种直接法。

Ø基本原理：基本原理：•首先采用坐标轮换法进行第一轮迭代首先采用坐标轮换法进行第一轮迭代•然然后后以以第第一一轮轮迭迭代代的的最最末末一一个个极极小小点点和和初初始始点点构构成成一一个个新新的的方方向向，，并并以以此此新新的的方方向向作作为为最最末末一一个个方方向向，，而去掉第一个方向，得到第二轮迭代的而去掉第一个方向，得到第二轮迭代的 n 个方向•仿此进行下去，直至求得问题的极小点仿此进行下去，直至求得问题的极小点Ø采用基本鲍威尔法求解二维优化问题的迭代过程：采用基本鲍威尔法求解二维优化问题的迭代过程：•取取初初始始点点X(0)作作为为迭迭代代计计算算的的出出发发点点，，即即令令X0(1) = X(0) ，， 先先 沿沿 坐坐 标标 轴轴 x1的的 方方 向向S1(1)=e1=[1,0]T作作一一维维搜搜索索，，求求得得此此方方向向上上的的极极小小点点X1(1) 再再沿沿坐坐标标轴轴x2坐坐标标方方向向S2(1)=e2=[0,1]T作作一一维维搜搜索索，，求求得得该该方方向向上上的的极极小小点点X2(1) 然然后后利利用用两两次次搜搜索索得得到到的的极极小小点点X0(1)及及X2(1)构构成成一一个个新新的的迭迭代代方方向向S (1) ：：图2-29 基本鲍威尔法的迭代过程 并并沿沿此此方方向向作作一一维维搜搜索索，，得得到到该该方方向向上上一一维维极极小小点点X(1)，，至此完成至此完成第一轮搜索第一轮搜索。

•进进行行第第二二轮轮迭迭代代时时，，去去掉掉第第一一个个方方向向S1(1)=e1，，将将方方向向S(1) 作作为为最最末末一一个个迭迭代代方方向向，，即即从从X(1)= X0(2)出出发发，，依依次次沿沿着着方方向向S1(2)←S2(1)=e2及及S2(2)←S(1)= X2(1) －－X0(1)进进行行一一维维搜搜索索，，得得到到极极小小点点X1(2) 、、X2(2) ；；然然后后利利用用X2(2) 、、 X0(2) 构成另一个迭代方向构成另一个迭代方向S(2)：： 并沿此方向搜索得到并沿此方向搜索得到X(2) 图2-29 基本鲍威尔法的迭代过程 •为为形形成成第第三三轮轮迭迭代代的的方方向向，，将将S(2)加加到到第第二二轮轮方方向向组组之之中中，，并并去去掉掉第第二二轮轮迭迭代代的的第第一一个个方方向向S1(2)=e2 ，即令：，即令： 即即第第三三轮轮的的迭迭代代方方向向实实际际上上是是S(1)和和S(2)，，由由于于S(2)是是连连接接两两个个沿沿平平行行线线的的方方向向S(1)搜搜索索得得到到的的极极小小点点X2(2)、、X0(2)所所构构成成的的，，根根据据共共轭轭方方向向的的概概念念可可知知，，S(1)和和S(2)是是互互为为共轭的方向。

共轭的方向图2-29 基本鲍威尔法的迭代过程 •如如果果所所考考察察的的二二维维函函数数是是二二次次的的，，即即对对于于二二维维二二次次函函数数，，经经过过沿沿共共轭轭方方向向S(1)、、S(2)的的两两次次一一维维搜搜索索所所得得到到的的极极小小点点X(2)就就是是该该目目标标函函数数的的极极小小点点X*（（即即椭椭圆圆的的中中心心））•而而对对于于二二维维非非二二次次函函数数，，这这个个极极小小点点X(2)还还不不是是该该函函数数的极小点，需要继续按照上述方向进行进一步搜索的极小点，需要继续按照上述方向进行进一步搜索•由由上上述述可可知知，，共共轭轭方方向向是是在在更更替替搜搜索索方方向向反反复复作作一一维维搜搜索索中中逐逐步步形形成成的的对对于于二二元元函函数数，，经经过过二二轮轮搜搜索索，，就产生了两个互相共轭的方向就产生了两个互相共轭的方向•对对于于三三元元函函数数经经过过三三轮轮搜搜索索以以后后，，就就可可以以得得到到三三个个互互相共轭的方向相共轭的方向•而而对对于于n元元函函数数，，经经过过n轮轮搜搜索索以以后后，，一一共共可可产产生生n个个互互相相共共轭轭的的方方向向：： 。

得得到到了了一一个个完完整整的的共共轭轭方方向向组组（（即即所所有有的的搜搜索索方方向向均均为为共共轭轭方方向向））以以后后，，再再沿沿最最后后一一个个方方向向S(n)进进行行一一维维搜搜索索，，就就可可得得到到n元元二二次函数次函数的极小点的极小点•而而对对于于非非二二次次函函数数，，一一般般尚尚不不能能得得到到函函数数的的极极小小点点，，而而需需要要进进一一步步搜搜索索，，得得到到新新的的共共轭轭方方向向组组，，直直到到最最后后得到问题的极小点得到问题的极小点 Ø上上述述基基本本鲍鲍威威尔尔法法的的基基本本要要求求是是，，各各轮轮迭迭代代中中的的方方向向组组的的向向量量应应该该是是线线性性无无关关的的然然而而很很不不理理想想的的是是，，上上述述方方法法每每次次迭迭代代所所产产生生的的新新方方向向可可能能出出现现线线性性相相关关，，使使搜搜索索运运算算蜕蜕化化到到一一个个较较低低维维的的空空间间进进行行，，从从而而导导致致计算不能收敛而无法求得真正的极小点计算不能收敛而无法求得真正的极小点Ø为为了了提提高高沿沿共共轭轭方方向向搜搜索索的的效效果果，，鲍鲍威威尔尔针针对对上上述述算算法提出了改进，则改进后的算法称为法提出了改进，则改进后的算法称为修正鲍威尔法修正鲍威尔法。

2. 修正鲍威尔法修正鲍威尔法Ø为为了了避避免免迭迭代代方方向向组组的的向向量量线线性性相相关关现现象象发发生生，，改改进进后后的的鲍鲍威威尔尔法法，，放放弃弃了了原原算算法法中中不不加加分分析析地地用用新新形形成成的的方方向向S(k)替换上一轮搜索方向组中的第一个方向的作法替换上一轮搜索方向组中的第一个方向的作法 Ø该该算算法法规规定定，，在在每每一一轮轮迭迭代代完完成成产产生生共共轭轭方方向向S(k)后后，，在在组组成成新新的的方方向向组组时时不不一一律律舍舍去去上上一一轮轮的的第第一一个个方方向向S1(k)，，而而是是先先对对共共轭轭方方向向的的好好坏坏进进行行判判别别，，检检验验它它是是否否与其他方向与其他方向线性相关线性相关或或接近线性相关接近线性相关•若若共共轭轭方方向向不不好好，，则则不不用用它它作作为为下下一一轮轮的的迭迭代代方方向向，，而仍采用原来的一组迭代方向；而仍采用原来的一组迭代方向；•若若共共轭轭方方向向好好，，则则可可用用它它替替换换前前轮轮迭迭代代中中使使目目标标函函数数值值下下降降最最多多的的一一个个方方向向，，而而不不一一定定是是替替换换第第一一个个迭代方向。

这样得到的方向组，其收敛性更好迭代方向这样得到的方向组，其收敛性更好Ø为为了了确确定定函函数数值值下下降降最最多多的的方方向向，，应应先先将将一一轮轮中中各各相相邻极小点函数值之差计算出来，并令邻极小点函数值之差计算出来，并令 = { - } (2-38) 按按上上式式求求得得 后后，，即即可可确确定定对对应应于于 的的两两点点构构成成的的方向方向Sm(k)为这一轮中函数值下降最多的方向为这一轮中函数值下降最多的方向Ø 修正鲍威尔法对于是否用新的方向来替换原方向组修正鲍威尔法对于是否用新的方向来替换原方向组的某一方向的判别条件为：的某一方向的判别条件为： 在第在第 k 轮搜索中，若轮搜索中，若(2-39)同时成立，则表明方向同时成立，则表明方向S(k)与原方向组与原方向组线性无关线性无关，因此可，因此可将新方向将新方向S(k)作为下一轮的迭代方向，并去掉方向作为下一轮的迭代方向，并去掉方向Sm(k)而而构成第构成第k+1轮迭代的搜索方向组；否则，仍用原来的方轮迭代的搜索方向组；否则，仍用原来的方向组进行第向组进行第k+1轮迭代。

轮迭代 •式式(2-39)中中F1=f(X0(k))为第为第k轮起始点函数值；轮起始点函数值； F2=f(Xn(k))为第为第k轮方向组一轮方向组一维搜索终点函数值；维搜索终点函数值； F3=f(2Xn(k) -X0(k))为为X0(k)对对Xn(k)的映射点函数值；的映射点函数值； △△m(k)为第为第k轮方向组中沿诸轮方向组中沿诸方向一维搜索所得的各函数方向一维搜索所得的各函数值下降量中之最大者，其相值下降量中之最大者，其相对应的方向记为对应的方向记为Sm(k) Ø实践证明，上述修正鲍威尔实践证明，上述修正鲍威尔法保证了非线性函数寻优计法保证了非线性函数寻优计算可靠的收敛性算可靠的收敛性 图2-30 修正鲍威尔法的方向淘汰 修正的鲍威尔法修正的鲍威尔法的的迭代计算步骤迭代计算步骤如下：如下： 　　(1)给定初始点给定初始点X(o)和收敛精度和收敛精度εε；； 　　(2)取取 n 个坐标轴的单位向量个坐标轴的单位向量 ei ( i=1，，2，，…，，n )为初始搜索为初始搜索方向方向Si(k) = ei ，置，置k=1 ( k为迭代轮数为迭代轮数) ；； 　　(3)从从　　　　出出发发，，依依次次沿沿　　　　　　　　　　　　　　 进进行行 n 次次一一维维搜搜索索，，得到得到 n 个一维极小点个一维极小点　　(4)连接　　、　连接　　、　 ，构成新的共轭方向，构成新的共轭方向 ，即，即沿共轭方向沿共轭方向 计算计算 的新映射点的新映射点　　(5)计算第计算第k 轮中各轮中各相邻极小点相邻极小点目标函数的差值，并找出其中的最目标函数的差值，并找出其中的最大差值及其相应的方向大差值及其相应的方向　　(6)计算第计算第k 轮初始点、终点和映射点的函数值轮初始点、终点和映射点的函数值　　(7)用判别条件用判别条件式式(2-39)检验原方向组是否需要替换，若同时满足检验原方向组是否需要替换，若同时满足　　则由　　出发沿方向　则由　　出发沿方向　 进行一维搜索，求出该方向的极小点进行一维搜索，求出该方向的极小点 ，，并以并以 作为作为k+1轮迭代的初始点，即令轮迭代的初始点，即令 ；；　　然后去掉方向　　然后去掉方向 ，而将方向，而将方向 作为作为k+1轮迭代的最末一个方向，轮迭代的最末一个方向，即第即第k+1轮的搜索方向为：轮的搜索方向为： 　　若上述若上述判别条件判别条件不满足，则进入第不满足，则进入第 k+1轮轮迭代时，仍采用迭代时，仍采用第第k轮迭代的方向轮迭代的方向，即，即(8)进行收敛判断进行收敛判断：若满足若满足或或则结束迭代计算，则结束迭代计算，输出最优解输出最优解：： ；；否则，置否则，置 ，转入，转入下一下一轮轮继续进行循环迭代。

继续进行循环迭代 　　　　修正鲍威尔法修正鲍威尔法的的计算框图计算框图如如图图2-31所示图图2-31 鲍威尔法的鲍威尔法的　　计算框图　　计算框图Thank you!。