几何证明中常见的辅助线的方法.ppt

专题学习专题学习 --------几何证明中常见几何证明中常见 ““添辅助线添辅助线””方法方法 1.1.连结连结目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在两个点存在两个点—A—A和和B B语言描述语言描述: :连结连结ABAB注意点注意点: :双添双添------在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法1.1.连结连结典例典例1:1:如图如图,AB=AD,BC=DC,,AB=AD,BC=DC,求证求证:∠B=∠D.:∠B=∠D.ACBD1.1.连结连结ACAC, ,构造全等三角形构造全等三角形. .1.1.连结连结典例典例2:2:如图如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. .ACBD连结连结ACAC、、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM1.1.连结连结典例典例3:3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、、N N分别是分别是BDBD、、CDCD的中点，求证：的中点，求证：∠AMB∠AMB＝＝ ∠ANC ∠ANCACBD连结连结ADAD构造全等三角形构造全等三角形NM目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到距离相等距离相等适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在一个点存在一个点X X和和一条线一条线MNMN语言描述语言描述: :过点过点X X作作XYXY⊥⊥MNMN注意点注意点: :双添双添------在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法2.2.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段2.2.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例4:4:如图如图,△ABC,△ABC中中, ∠C =90, ∠C =90o o,BC=10,BD=6,,BC=10,BD=6, AD AD平分平分∠BAC,∠BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .ACD过点过点D D作作DE⊥AB,DE⊥AB,垂足为垂足为E E 构造了构造了 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE2.2.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例5:5:如图如图,△ABC,△ABC中中, ∠C =90, ∠C =90o o,AC=BC,,AC=BC, AD AD平分平分∠BAC,∠BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DE⊥AB,DE⊥AB,垂足为垂足为E E构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,则则△BED△BED的周长是多少的周长是多少? ?2.2.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例6:6:如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中, ∠A= ∠D =90, ∠A= ∠D =90o o, , BE BE、、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EF⊥BCEF⊥BC，垂足为，垂足为F.F.构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BFE2.2.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段2.2.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中, ∠A= ∠D , ∠A= ∠D =90=90o o, ,BEBE、、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD. 解法解法2. 2. 延长延长BEBE和和CDCD交于点交于点F F构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形FACDBE2.2.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例4:4:如图如图,OC ,OC 平分平分∠AOB, ∠OEP +∠ODP =180∠AOB, ∠OEP +∠ODP =180o o, , 求证求证: PD=PE.: PD=PE.ACD过点过点P P作作PF⊥OAPF⊥OA于于F,PG ⊥OBF,PG ⊥OB于于G.G.构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF EPGO目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形, ,将相关线段聚成三角形将相关线段聚成三角形适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MN MN 和和中线【中线【或中点】或中点】 语言描述语言描述: :延长延长ADAD到到E,E,使使DE=AD,DE=AD,连接连接CE.CE.注意点注意点: :双添双添------在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法3.3.中线延长一倍中线延长一倍例例7.7.已知，如图已知，如图ADAD是是△ABC△ABC的中线，的中线，ABCDE延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线•例例8、如图，、如图，AD为为△△ABC的中线，的中线，∠∠ADB、、∠∠ADC的平分线交的平分线交AB、、AC于于E、、F。

求证：求证：BE+CF＞＞EF 分析：本题中已知分析：本题中已知D D为为BCBC的中点，要证的中点，要证BEBE、、CFCF、、EFEF间的不等关系，可利用点间的不等关系，可利用点D D将将BEBE旋转，使这三条线段在同一个三角形内旋转，使这三条线段在同一个三角形内线段与角求相等，先找全等试试看线段与角求相等，先找全等试试看图中有角平分线，可向两边作垂线图中有角平分线，可向两边作垂线 线段垂直平分线，常向两端把线连线段垂直平分线，常向两端把线连 线段计算和与差，巧用截长补短法线段计算和与差，巧用截长补短法三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线= =中线想作图形辅助线，切莫忘记要双添想作图形辅助线，切莫忘记要双添  课外练习课外练习 ；【拓展题】；【拓展题】1.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED2．如图．如图1，，AD是是△△ABC的中线，的中线，AB=3,AC=5，求中线，求中线AD的取的取值范围A1BCD2343.如图所示，已知如图所示，已知AD∥∥BC，，∠∠1=∠∠2，，∠∠3=∠∠4，直线，直线DC经过点经过点E交交AD于点于点D，，交交BC于点于点C。

求证：求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补短 4.已知在已知在△△ABC中，中，∠∠C=2∠∠B, ∠∠1=∠∠2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE截长截长F或延长或延长AC至点至点F,使得使得CF=CD，连接，连接DF补短补短5.5.如图如图,△ABC,△ABC中中,∠C=90,∠C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分∠ACB,∠ACB, DE⊥AB. DE⊥AB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则△DBE△DBE的周长是多少的周长是多少? ?Ⅴ.“Ⅴ.“周长问题周长问题””的转化的转化 借助借助““角平分线性角平分线性质质””BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB。