气体分子热运动速率和能量统计分布律.docx

第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率V (m/s)i1.002.003.004.005.00试求(1 )平均速率V； (2)方均根速率€尸2 (3)最可几速率Vp解：(1)平均速率：V _ 2 x 1.00 + 4 x 2.00 + 6 x 3.00 + 8 x 4.00 + 2 x 5.00 〜彳囲(m/s)— 2 + 4 + 6 + 8 + 2 〜•(2) 方均根速率工N V 2 i i—工Ni〜 3.37(m/s)3-2 计算 300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率解：：2 x 8.31 x 300 X 32 x 10 -3_ 395 m / sVP8 x 8.31 x 3003.14 x 32 x 10 -3_ 446 m / sV3 x 8.31 x 30032 x 10 -3_ 483 m / s3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为 100K、1000K和 10000K 解：V -卩RT代入数据则分别为: Vp - 厂T=100K 时 V = 2.28 X 10 2 m / sPT=1000K 时 v = 7.21 x 10 2 m / sPT=10000K 时 v = 2.28 x 10 3 m / sP3-4 某种气体分子在温度 T 时的方均根速率等于温度 T 时的 12平均速率，求T/T。

21解：因萨=,'HL v =匹由题意得：・・.T/T二更2 1 T3-5求0°C时1. 0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=lm/s ）解：设1. 0cm3氮气中分子数为N,速率在500~501m/s之间 内的分子数为△ N,由麦氏速率分布律：△ N= N-4 “J :KT)2 em T2 KTV - V 2 -A V2KT・.・V二—p2 m，代入上式△ N= 4 N “ V 2 -V 2 A VN - V -1 p • e Vp2兀 V 2因 500 到 501 相差很小，故在该速率区间取分子速率 V=500m/s，又v = ：'2 x 8.31 x 273 仝 402 m / s △V=lm/sp 28 x 10 - 3v=1. 24)代入计算得:^N=1.86X10-3N 个vp3-6设氮气的温度为300°C，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数与速率在1500m/s到1510m/s之间的1分子数之比2解： 取分子速率为 V=3000m/s1V =1500m/s, △V =^V =10m/s2 1 2由 5 题计算过程可得：△V = 4n “ V 2 -先v1△ V] • V -1 • e —£ 兀 p V 2P△N=竺• v -i • V 2 e - V22AV2 2 百 VP V 2 e Pp(・)2 • e-(二)2△N/^N = Vp2V - ( V1 )2(i )2 e(Vp)Vp其中仁2JX2X^ = 2.18 X 10 3 m/Sv=1. 375,」=0.687vp1AN2处75 RT——二 2.182 x 103m / s1卩 x e —1.375 2 仝 0.9690.687 2 xe-0.6872解法2：若考虑△ V二△V=10m/s比较大，可不用近似法,12用积分法求，△“2dN= IN • V - 3 e兀 p1)(2)△N1=iV2dNV1i Vi dNV4 dNV3iV 2 dN0i V4 dN0i V1 dN0i V3 dN0i=1、2、3、4 利用 16 题结果 :N[erf (x )-iN=1N=2N[erf (x2 )N[erf(x4)-2—x .e 一x2 ] — N [ erf (x 丿冷 X 4 e - X十 N [ erf ( X 3)J x e - xf]其中V =PV=1 = 1.375VPV=2 = 1.379VPV=—=0.6722VP查误差函数表得：erf(x )=0.9482 erf(x )=0.948912erf(x )=0.6687 erf(x )=0.6722 34将数字代入(1)、(2)计算，再求得:=0.703AN1AN23-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：(1) 速率在区间v〜1・0V1内pp(2) 速度分量v在区间v〜1・0v1内x p p(3) 速度分量 v 、 v 、 v 同时在区间 v 〜1・0v1 内p p p p p解：设气体分子总数为N,在三种情况下的分子数分别为 △N > △N > △N123( 1 ) 由麦氏速率分布律△ N= JV2 dN = JV2 dN - JV1 dNV1 0 0v-2 = 1.01，vp令 v =1.01v , V =V , x2 p i p x利用16 题结果可得；ANN=erf (x )—x e — x 2222x e — x 1211erf( x ) =0・84682查误差函数表： erf( x ) =0・84271• A N1 = 0.008• • ~NdNN= . v —i e•、抹 p—xv 2p dvANv -1AN~2Jv2e)2dvV Vexp[ -( x )2]d ( x )-v -1二 1'Jv1e二 1.01)2dvexp[ - (v)2]d ( x )x2 e-x2dxx1 e-x2-dx利用误差函数：erf (x)二J x e xp ( - x 2 ) dx0ANc2N二 2[erf (x2)-erf ( x1 )二 2°8468 一。

・8427 ]二・21%（3）令x =二，由麦氏速度分布律得:Vpv2p-dv dv dvxyzdN 1* - v - 3 eN 兀”'兀 pAN3N0x2 e-x2- x 2dx- J x 1 e 1 dx ] 0-(AN^)3 - (0.002 )3 - 0.8 X 10 -8N3-8 根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以 dN/dv 为纵坐标， v 为横坐标，作 1 摩尔氧气在 100K 和 400K 时的 分子速率分布曲线解：由麦氏速率分布律得：dNdvm2 KT2v2将 n=3・14, N=N =6.02 X 1023T=100KAm=32 X 1 0-3代入上式得到常数：A= 4兀N ( m )2 e a 2 兀 KT・ dN• • 二 Ae - bv 2 • V 2dvB 二 m2 KT(1)为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令 dN 则y 二 二 Ae - bv 2 • V 2 丿、Jdv空 二 A[e -bv 2 • 2V + V 2 • e -bv 2 (-2 BV )]二 0 dv又在 V=0 时，y=0, Vfg 时，yf0又VP1VP2・・・T=100KVT=400K12・・・v V v 由此作出草图P 1 P 2求速率倒数的平均值1。

vm 3 | mv2=轨(2KT)2 J；e -2 KTVdV解」溉（需r “水2 -址齐.,m e KT. _8=4兀( )2 -(_ )-e 2KT2 兀 KT m 0i' 2m 4~\nKT —而3-10 一容器的器壁上开有一直径为 0.20mm 的小圆孔，容器贮有100°C的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此 温度下的蒸汽压为 0.28mmHg 1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？小 / 八 “ _ [8RT _ I 8 x 8.31 x 373—解：⑴ - _ \： 3.14 x 201 x 10 _3=1.98 x 10 2 (m Is)(2)逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数 其中1 nV - 1・旦是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：1nV • s・t4 4 KTs = “ （d）2是小孔面积，t=3600s，故N = 1 •丄V• s.t，代入2 4 KT数据得：N=4.05X1019 （个）• M = mN = N = … NA二 1.35 x 10 -2(g)201 x 10 - 36.02 x 10 23x 4.05 x 10193-11 如图 3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p、n、p、n。

两部分气体的温1 1 2 2度相同，都等于T摩尔质量也相同，均为“试证明： 如隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质 量为：M2兀RTA (P — P )1 2证明：设p〉p，通过小孔的分子数相当于和面积为A的12器壁碰撞的分子数从1跑到2的分子数：N = 1 n~V. A . t1 4 1 1从2跑到1的分子数：N = 1 n〒.A . t2 4 2 2实际通过小孔的分子数：（从1 转移到 2）A N 二 N - N121 At (n_1V1-n2V2)因 t=1 秒，p ,KT8 RTT =T =T12二 mAn = 1 Am 匝(厶4 计呻 KTpcZKT )卩：8 RT RT 兀卩若p2〉pi,则MV°,表示分子实际是从2向1转移3-12 有 N 个粒子，其速率分布函数为f (v )dNNdV二 C(v0〉v〉0)f (v) = 0(v〈v)0(1) 作速率分布曲线2) 由 N 和 v 求常数 C0(3) 求粒子的平均速率解：(1) f (v) = C (v 0〉v〉0) I f (v) = 0(v〈v)0得速率分布曲线如图示(2)・.・ js f (v)dv 二 10•: f (v)dv = 0 jv0cdv 。