2014年数学二真题+答案解析.doc

. . . 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值围是( )(A) (B) (C)(D)(2) 以下曲线中有渐近线的是 ( )(A)(B) (C) (D) (3) 设函数具有2阶导数，，则在区间上 （ ）(A) 当时， (B) 当时，(C) 当时， (D) 当时，(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ） (A) (B) (C) (D)(5) 设函数，若，则 （ ） (A) (B) (C) (D)(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的部具有2阶连续偏导数，且满足与，则 （ ）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的部上取得(C)的最大值在的部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的部取得，最大值在的边界上取得(7) 行列式 （ ）(A)(B)(C)(D)(8) 设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的 （ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.((9)__________.(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则__________.(11) 设是由方程确定的函数，则__________.(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标__________.(14) 设二次型的负惯性指数为1，则的取值围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题满分10分)求极限(16)(此题满分10分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(此题满分10分)设平面区域计算.(18)(此题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.(19)(此题满分10分)设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：(I),(II).(20)(此题满分11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线与轴所围成平面图形的面积，求极限.(21)(此题满分11分)已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.(22)(此题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.(23)(此题满分11分) 证明阶矩阵与相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值围是( ) (A) (B) (C)(D)[答案]B[解析]由定义 所以，故.当时，是比的高阶无穷小，所以，即. 应选B(2) 以下曲线中有渐近线的是 ( )(A)(B) (C) (D) [答案]C[解析]关于C选项：.，所以存在斜渐近线.应选C(3) 设函数具有2阶导数，，则在区间上 （ ）(A) 当时， (B) 当时，(C) 当时， (D) 当时，[答案]D[解析]令，则,,.若，则，在上为凸的. 又，所以当时，，从而. 应选D.(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ）(A) (B) (C) (D)[答案]C[解析]应选C(5) 设函数，若，则 （ ）(A) (B) (C) (D)[答案]D[解析]因为，所以 应选D.(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的部具有2阶连续偏导数，且满足与，则 （ ）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的部上取得(C)的最大值在的部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的部取得，最大值在的边界上取得[答案]A[解析]记则,所以在无极值，则极值在边界处取得.应选A(7) 行列式 ( )(A)(B)(C) (D)[答案]B[解析]由行列式的展开定理展开第一列.(8) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件[答案]A[解析]. 记，，. 若线性无关，则，故线性无关. 举反例. 令，则线性无关，但此时却线性相关. 综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件. 应选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)__________.[答案][解析](10) 设是周期为的可导奇函数，且，则__________.[答案]1[解析]且为偶函数则又且为奇函数，故又的周期为4，(11) 设是由方程确定的函数，则__________.[答案][解析]对方程两边同时对求偏导当时,故故(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.[答案][解析]由直角坐标和极坐标的关系 ，于是对应于切线斜率所以切线方程为即(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标__________.[答案][解析]质心横坐标(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值围_________.[答案][解析]配方法：由于二次型负惯性指数为1，所以，故.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题满分10分)求极限[解析].(16)(此题满分10分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.[解析] 由，得………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 由得 又由①可得 当时，，且有：所以在处取得极小值，在处取得极大值即：的极大值为1，极小值为0.(17)(此题满分10分)设平面区域计算.[解析]D关于对称，满足轮换对称性，则：(18)(此题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.[解析]由，由 ，代入得，即，令得特征方程 得齐次方程通解设特解，代入方程得，特解则原方程通解为由，得, 则.(19)(此题满分10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：（I）,（II）.[解析]（I）由积分中值定理，（II）直接由，得到（II）令由（I）知又由于单增，所以单调不减，取，得，即（II）成立.(20)(此题满分11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线与轴所围成平面图形的面积，求极限.[解析](21)(此题满分11分) 已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.[解析]因为,所以其中为待定函数.又因为则，从而.令可得，当时，或，从而所求的体积为(22)(此题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.[解析], (I)的基础解系为(II)的通解为的通解为的通解为（为任意常数）(23)(此题满分11分) 证明阶矩阵与相似.[解析]已知，，则的特征值为，(重).属于的特征向量为；，故基础解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量；故相似于对角阵.的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.由相似关系的传递性，相似于. / 。