数值分析实验四方程组的迭代法5.doc
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数值分析实验四 方程组的迭代法组号_班级 学号 姓名 分数 一：实验的1、 掌握雅可比迭代方法2、 掌握高斯-赛德尔迭代方法3、 掌握超松弛迭代方法4、 通过实例学习雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法与超松弛迭代法的区别二：实验内容及基本知识介绍乂 W2设n元线性方程组＜ + "* +〜\ = （l.i）anlX^an2X2+-^annXn=bn简记为Ax = b其中,系数矩阵Ae/Txw，beRn o如果将系数矩阵A分解成 A = M-N，且M非奇异，则（3.13）可写成等价形式Mx = Nx + b 或 x = M-Nx + M_b，记 G = M~lN, f = M—b则上式可写成 x = Gx+f与原方程同解1.2)任取一个向量由（3.14）均可以构造迭代公式为j^+1）=Gr（A）+/ 女=0，1，2,…(1.3) 从而，x为式（1.2）的解，即式（1.1）的解，当k充分大时/ - ?x）则方程纟JI (1.1)可(1.4)Jacebi迭代法原理:设线性方程组(U)的系数矩阵A满足条件％/0G二1，2,…，77 改写为X1 二入/- a\nXn+b\)、^2= %、(-“2 A — “2^3 “2,A + 4 )參參參Xn=/ai!(~an^ ~an2X2 ^.n-1^,-1 +/?J其中L、U分别表示A的主对角线以下和以上的元素组的严格下、上三角形，D为A的对 角方阵这样，系数矩阵A可分解为A=L^D+U( + )+ [/) = Z?^> Dx = b — (L + U)x由％ 关0 D 可逆 x = -D~\L^U)x + D~x = Gx + fG = -D\L + U) f = D—b迭代公式 xa+1>=Gx⑷+/ k = \，2,… (1.5)(1.5)式成为Jacobi迭代格式其迭代矩阵G^-ZT^L + U),式(1.5)分量形式为(1.6)4"+,) = -^2 —卜,42 +么为了编写程序方便，可将式(1.6)改写为下而的形式，即\ 7=1 >=/+! /=，)+斗令#) (1.7)/ = 1，2,…，/2; /: = 0,1，2,…Gauss—Seidel迭代法原理：设线性方程组(1.1)的系数矩阵A满足条件％*0G = l，2,…，系数矩阵A有A=L^D+U在一般迭代形式中，取M = Z) + L, N = -U，由于％ *0(Z = l，2,…，M可逆，式 (1.1)可改写为x = -(>+L)"1(7x + (D+L)1/?故可以形成以下迭代公式x(a+1)=-(> + L)-1"jiw+(Z) + ZJ-1/7 々=0，1，2,…(1.8)其中，x(0)e/T任取。 式(1.8)表示的迭代法称为高斯-赛德尔迭代法其迭代矩阵G = -(D+L)—lU在实际计算时，为了避免计算(Z) + L)_1，可将式(1.8)改写为(D + L)x(k+l) =-Ux(k)+bDx(k+1)=-Lx(k+l)-Ux(k)+bx(k+[} = -zr W+1) - D~Uxw + D~[b^ +，)=人(-UP a\n^ +^l)其分量表达式为(1.9)4*+，)= /a22 (-21x1(W,-fl23^) a2nx{y +Z?2)4々+l) =/u(U 广0 -么豸十" anM-^n-X}为了编写程序方便，可将式(1.9)改写为下而的形式，即(又+1)+ /?,•=X；/(1.10)超松弛迭代法原理：给定一个线性方程组Ax = b将系数矩阵A分解成A = I-B，则该方程组等价位为 x= Bx+b于是可将构造迭代公式x（A+l） = Bx^ +b （l.ll）由于第k次近似值又（；并不是方程组的解，从而/?一Arw关0令/M —，称rw 为剩余向量，于是式（1.11）可改写为x^+l） =（/-A）r⑷ +/? = %（々） +/?-Ax⑷：又⑷ + 厂⑷上式说明，迭代法过程实际上式用剩余向量/A来改进解的第k次近似值，即第k+l次近似 值是由第k次近似值加上剩余向量/"0得到的。 为了加快收敛速度，可以考虑给/M乘上一 个适当的因子69,从而得到一个加速迭代公式=V々）+砍⑷=•（々） +69（/?-Ax⑷） （1.12）其中，称69为松弛因子在高斯一赛徳尔迭代公式（1.10）中的括号前添加上一个松弛因子仍，便得到逐次超松 弛迭代公式Z = 1，2,…，=0，1，2,…当松弛因子69<1时，式（1.13）便称为低松弛法；当69〉1时，式1.13）便称为超松弛法 仍=1时，超松弛迭代法即为高斯一赛德尔迭代法选代公式（1.13）可写为（f-l n 、ah.x” =（l-6y）a..xzw+6y - +bt （1.14）\ y=i 片+i ）/ = 1，2,…，打;众=0，1，2,…用分解SA = L + Z） + （/,则上式用矩阵形式可写为Dx{m} = （1 -仍）Dxw +（D（b-Lx{M}-Uxw]将上式整理得(D+coL)x{m} =\_(l-co)D-edJ~\x{k) +ajb因为％关0（/ = 1，2,…，n）,所以det（> + 6^关0,故超松弛迭代法的矩阵形式为xw = (D + o)Ly [(l - co)D- cou]x(k} + (D + coL)~x (bb其迭代矩阵为Lco =（> + o）LY [（1 - co）D - a）U ] （1.15）三：实验问题及方法、步骤1.试分别用雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法（仍=1.15）解线性方程组。 f51-1-2、z \ 戋、，-2、2813x2-61-2—4-1632当max/Vr . = max x^+l} -x{^ <10-5是迭代终止，方程组的精确解为/ = (l，-2，-l，3)rJ [
