成考高数二概念.doc

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:        21 )()(DxxgDxxfy3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的 ㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当 x1＜x2时,若 f(x1)≤f(x2),则称 f(x)在 D 内单调增加( )；若 f(x1)≥f(x2),则称 f(x)在 D 内单调减少( )；若 f(x1)＜f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调增加( )；若 f(x1)＞f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=xn , (n 为实数)3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1)4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、主要内容㈠极限的概念1.1. 数列的极限: Aynnlim称数列以常数 A 为极限; ny或称数列收敛于 A. ny定理: 若的极限存在必定有界. ny ny2.函数的极限：⑴当时，的极限：x)(xfAxfAxfAxfx xx   )(lim)(lim)(lim⑵当时，的极限：0xx )(xfAxf xx )(lim0左极限：Axf xx )(lim0右极限：Axf xx )(lim0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxf xxxxxx )(lim)(lim)(lim000㈡无穷大量和无穷小量1 1．．无穷大量：)(limxf称在该变化过程中为无穷大量。

)(xfX 再某个变化过程是指：,,,xxx000,,xxxxxx2 2．．无穷小量：0)(limxf称在该变化过程中为无穷小量)(xf3 3．．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)(( ,)(1lim0)(limxfxfxf4 4．．无穷小量的比较：0lim, 0lim⑴若,则称 β 是比 α 较高阶的无穷小量；0lim⑵若 （c 为常数） ，则称 β 与 α 同阶的无穷小量；clim⑶若，则称 β 与 α 是等价的无穷小量，记作：β～α；1lim⑷若,则称 β 是比 α 较低阶的无穷小量lim定理：若：；，2211~~则：2121limlim ㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3…）nnnzxy且： azynnnn limlim则： axn n lim2．函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有： )()()(xhxfxg且：Axhxg xxxx )(lim)(lim00则：Axf xx )(lim0㈣极限的运算规则若：BxvAxu)(lim,)(lim则：①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[③ BA xvxu xvxu)(lim)(lim )()(lim)0)((limxv推论：①)]()()(lim[21xuxuxunL)(lim)(lim)(lim21xuxuxunL②)(lim)](lim[xucxuc③nnxuxu)]([lim)](lim[㈤两个重要极限1． 或 1sinlim 0 xxx1)()(sinlim 0)( xxx2． exxx )11(limexx x 10)1(lim§1.3 连续一、主要内容㈠ 函数的连续性1.函数在处连续：在的邻域内有定义，0x)(xf0x1o0)]()([limlim0000 xfxxfy xx2o)()(lim0 0xfxf xx 左连续：)()(lim0 0xfxf xx 右连续：)()(lim0 0xfxf xx 2.函数在处连续的必要条件：0x定理：在处连续在处极限存在)(xf0x)(xf0x3.函数在处连续的充要条件：0x定理：)()(lim)(lim)()(lim00 000xfxfxfxfxf xxxxxx 4.函数在上连续：ba,在上每一点都连续。

)(xfba,在端点和连续是指：ab左端点右连续；)()(limafxf ax 右端点左连续)()(limbfxf bx a+ 0 b- x5.函数的间断点：若在处不连续，则为的间断点)(xf0x0x)(xf间断点有三种情况：1o在处无定义；)(xf0x2o不存在；)(lim0xf xx3o在处有定义，且存在，)(xf0x)(lim0xf xx但)()(lim0 0xfxf xx 两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：和都存在)(lim0xf xx)(lim0xf xx可去间断点：存在，但)(lim0xf xx，或在处无定义)()(lim0 0xfxf xx )(xf0x2o第二类间断点：特点：和至少有一个为∞，)(lim0xf xx)(lim0xf xx或振荡不存在)(lim0xf xx无穷间断点：和至少有一个为∞)(lim0xf xx)(lim0xf xx㈡函数在处连续的性质0x1.连续函数的四则运算：设，)()(lim0 0xfxf xx )()(lim0 0xgxg xx 1o )()()]()([lim00 0xgxfxgxf xx 2o )()()]()([lim00 0xgxfxgxf xx 3o )()( )()(lim000xgxf xgxfxx  0)(lim0xg xx2.复合函数的连续性：)]([),(),(xfyxuufy)]([)(lim),()(lim0)(0 00xfufxx xuxx  则：)]([)](lim[)]([lim0 00xfxfxf xxxx 3.反函数的连续性：)(),y(),(001xfyfxxfy)()(lim)()(lim011 0 00yfyfxfxf yyxx㈢函数在上连续的性质],[ba1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小)(xf],[ba)(xf],[ba值。

y y+M Mf(x) f(x) 0 a b xm-M0 a b x2.2. 有界定理：在上连续在上一定)(xf],[ba)(xf],[ba有界3.介值定理：在上连续在内至少存在一点)(xf],[ba),(ba，使得：， cf)(其中：Mcmy y M f(x)C f(x)0 a ξ b xm0 a ξ1 ξ2 b x推论：在上连续，且与异号)(xf],[ba)(af)(bf在内至少存在一点，使得：。

),(ba0)(f4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分一、主要内容㈠导数的概念1．导数：在的某个邻域内有定义，)(xfy  0xxxfxxf xyxx         )()(limlim000000)()(lim0xxxfxfxx    00)(0xxxxdxdyxfy      2．左导数：00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx       右导数：00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx       定理：在的左（或右）邻域上连续在)(xf0x其内可导，且极限存在；则：)(lim)(00xfxf xx      （或：）)(lim)(00xfxf xx      3.函数可导的必要条件：定理：在处可导在处连续)(xf0x)(xf0x4. 函数可导的充要条件：定理：存在，)(00xfyxx    )()(00xfxf     且存在。

5.导函数： ),(xfy   ),(bax 在内处处可导 y )(xf),(ba)(0xf )(xf6.导数的几何性质： y是曲线上点 )(0xf  )(xfy  x处切线的斜率 o x0 x  00, yxM㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1o vuvu       )（（2o vuvuvu          )（（3o 2vvuvu vu                )0(  v3.复合函数的导数：)]([),(),(xfyxuufy     ，或 dxdu dudy dxdy  )()]([})]([{xxfxf        ☆注意与的区别：})]([{ xf )]([xf  表示复合函数对自变量求导；})]([{ xf x表示复合函数对中间变量求导。