【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案).docx

12） í福师大 物理系 《数学物理方法》 B课程考试题一、简答题（共 70 分）1、试阐述解析延拓的含义解析延拓的结果是否唯一？（ 6 分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域替换函数在原定义域上与替换前的 函数相等无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同2、奇点分为几类？如何判别？ （6 分）在挖去孤立奇点 Zo 而形成的环域上的解析函数 F（z ）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（z）的可去奇点，极 点及本性奇点判别方法：洛朗级数展开法A ，先找出函数 f(z)的奇点 ；B ，把函数在 的环域作洛朗展开1） 如果展开式中没有负幂项，则 为可去奇点；2） 如果展开式中有无穷多负幂项，则 为本性奇点；3） 如果展开式中只有有限项负幂项，则 为极点，如果负幂项的最高项为 ，则 为 m 阶奇 点3、何谓定解问题的适定性？（6 分）1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的满足以上三个条件，则称为定解问 题的适定性4、什么是解析函数？其特征有哪些？（ 6 分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数.ìu(x,y)=C îv(x,y)=C2这两曲线族在区域上正交。

3）u (x,y )和v(x,y)都满足二维拉普拉斯方程称为共轭调和函数)4）在边界上达最大值4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（ 6 分）òòïï v vòïî)ê数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分 方程波动方程属于其中的双曲线方程5、写出 d( x ) 挑选性的表达式（ 6 分）ìïïïí¥-¥¥f (x)d(x-x)dx=f(x)0 0f (x)d(x)dx=f(0)-¥v vf ( r )d(r -R ) dv = f ( R )0 0¥6、写出复数1 +i 31的三角形式和指数形式（ 8 分）r(cosj+isin1 3j = +i2 2三角形式： r2= sin2j+cos2j1 +i 3 p p =cos +i sin2 3 3指数形式：由三角形式得：j=p3r=1ipz =e 37、求函数z( z -1)( z -2)2在奇点的留数（ 8 分）解：奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点：z=2Re sf(1)é=lim ( z -1) z ®1 ëz( z -1)( z -2)2ùúû=1êú êú( z -1)( z -2) 2 ( z -1) 2êú342 2 2 22éêêëëûë ûë ûû2éêêëëûë ûë ûûRe sf\(2)=limz ® 21 d1! dzé z ù é -1 ù ( z -2) 2 =limë û z ® 2 ë û=-18、求回路积分òz =1cos zz 3dz（8 分）解： f ( z ) 有三阶奇点 z=0（在积分路径内）Re sf\(0)=limz ® 01 d 21 ! dz 2é cosz ùz 3ë z û=lim[cosz]=- z ® 012\ 原积分= 2piRe sf (0)1=2pi( - ) =-pi29、计算实变函数定积分ò¥-¥x 2 +1dxx 4 +1（8 分）解： f ( z ) =z 2 +1 z 2 +1=z +1 é 2 ùé 2 ùé 2 ùé 2 ùêz- (1 -i ) úêz+ (1 -i )úêz- (1 +i ) úêz+ (1 +i )ú ë ûë ûë ûë û2 2它具有 4 个单极点：只有 z= - (1 -i ) 和 z=2 2é(1 +i )在上半平面，其留数分别为：ùRe sf\( -22(1-i))=limz ® 0êê z +12 ùé 2 ùé 2 ù êz- (1 -i ) úêz- (1 +i ) úêz+ (1 +i ) úê 2 2 2úúúúú=12 2iéùRe sf\(22(1+i))=limz ® 0êê z +12 ùé 2 ùé 2 ù êz- (1 -i ) úêz+ (1 -i ) úêz+ (1 +i ) úê 2 2 2úúúúú=12 2i\ I =2pi(1 1+2 2i 2 2i) = 2pR =lim=lim =lim =1kìttïïx =0x =lîtïî10、求幂级数¥åk =11k( z -i )k的收敛半径（ 8 分）1a k k +1 k ® ¥ a k ® ¥ 1 k ® ¥ kk +1k +1所以收敛圆为 z -i £1二、计算题（共 30 分）1、试用分离变数法求解定解问题（ 14 分） u -a 2 u =0 0 0xxíu =u =0x xïïu =x -1/ 2, u =0t =0 t =0令 u( x, t ) =X ( x)T (t ) ，并代入方程得ìïíïîXT '' -a 2 X ''T =0 X ' (0)T (t ) =0 X ' (l )T (t ) =0移项T '' X=a 2T X''=-lìX +lX '' =0 ïíX ' (0) =0 X ' (l ) =0和T''+a2lT =0在l＜0时，方程的解为：X ( x) =C e x -l1在l=0时，方程的解为：X ( x) =C x +C1+C e22-x-l在l＞0时，方程的解为：X ( x) =C cos1由边界条件 X ' (0) =0，X ' (l ) =0得：lx +C sin 2lxl0ïïnnn¥nï0nïï0nlòlllònnïîïïïïïl＜0时，X ( x) º0 l=0时，Xx ( =Cl＞0时，X ' ( x) =C1lcoslx +C2lsinlxX ' (0) =C2l =0l ¹0，C =02X'(l ) =-C1lcosll +C2lsinll =0C ¹（0否则方程无解），sin 1ll =0\ ll =np® l=n2lp22npX ( x ) =C cos x1n 2p2把l=0和l= 代人T的方程T '' +a 2 lT =0得：l 2ìT (t ) =A +B t0 0í npat npat ( n =1，2,3L) T (t ) =A cos +B sinî l l\U ( x, t ) =A +B t +å( A cos0 0 nn =1npat npat np +B sin ) cosl l lx由初始条件得ì ¥ np 1 A +å A cos x =x -ï n =1 l 2 í¥ npa npB +å B cos x =0 î n =1 l l把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得A =01 1 ( x - ) dxl 20B =01lò00 dxA =n2lò01 np ( x - ) ×cos xdx2 lB =n2 np0 ×cos xdxnpa l0得：A =0l -12ì 4l2l ï-A = (cos np-1) \ A =í n 2p2 n 2 p20( n =2 k +1)( n =2k )l -1 ¥ 4l npat np\U ( x, t ) = +å( - ) cos cos x2 n =1 n 2p2 l l2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6 分） ìDu =0ïíu =Ay (b -y ), u =0x =0 x =apxu =B sin , u =0î y =0 a y =bïïïîìïî()()令 u ( x, t ) =v ( x, t ) +w( x , t )ìv +v =0ï xx yyív =0 ，v =0x =0 x =aïpxv =B sin ，v ï y =0 ay =b=0w +w =0ï xx yyíw =Ay (b -y ) ，w =0x =0 x =aïïw =0 ，w =0y =0 y =b则，v，w 都可以分别用分离变量法求解了。

3、求方程y¢¢+2y¢-3y =e-t满足初始条件 y(0)=0,y’(0)=1 的解10分)解：对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得p2f (p)-1+2pf(p)-3f(p)=1。