2023年定积分的简单应用精品讲义.pdf

教案 课 题 1.7 定积分的简单应用 课型：新授课 教师 总课时： 第 课时 学习目标 1. 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2. 让学生了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3. 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4. 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功） 教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 教学过程： 1、复习 1. 求曲边梯形的思想方法是什么？ 2. 定积分的几何意义是什么？ 3. 微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例 1．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积. 【分析】 两条抛物线所围成的图形的面积， 可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到 解：201yxxxyx及，所以两曲线的交点为（0，0） 、 （1，1） ，面积 S=11200xdxx dx，所以120S =(x -x )dx32130233xx=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1. 作图象；2. 求交点；3. 用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积. 例 2．计算由直线4yx ，曲线2yx以及 x 轴所围图形的面积 S. 分析：首先画出草图（图 1.7 一 2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分 S1和备课札记 2xy yxA B C D O S2． 为了确定出被积函数和积分的上、 下限， 需要求出直线4yx 与曲线2yx的交点的横坐标，直线4yx 与 x 轴的交点． 解：作出直线4yx ，曲线2yx的草图，所求面积为图 1. 7一 2 阴影部分的面积． 解方程组2 ,4yxyx  得直线4yx 与曲线2yx的交点的坐标为（8,4) . 直线4yx 与 x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为 S=S1+S2 4880442[2(4)]xdxxdxxdx 33482 8220442 22 2140||(4) |3323xxx. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例 3. 求曲线],[sin320xxy　　与直线,,320 xxx轴所围成的图形面积。

答案： 2332320oxxdxS|cossin＝ 练习 1、求直线32 xy与抛物线2xy 所围成的图形面积 答案：33233323132231| ))xxxdxxxS（－＋（＝ 题型及方法体会定积分在物理中应用变速直线运动的路程变力沿直线做微积分基本定理是什么定积分的应用一利用定积分求平面图形的面积例所以点评在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤作图象求交点用定 2、求由抛物线342xxy及其在点 M （0，－3） 和 N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积 略解：42xy/，切线方程分别为34 xy、 62 xy，则所求图形的面积为 493462343422303232＝＝dxxxxdxxxxS)]()[()]()[( 3、求曲线xy2log与曲线)(logxy42以及x轴所围成的图形面积 略解：所求图形的面积为 dydyyfygSy1010224)()()(【＝ eeyy210224224log| )log （ 4、在曲线) 0(2xxy上的某点 A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为121. 试求：切点A的坐标以及切线方程. 略解：如图由题可设切点坐标为),200xx（，则切线方程 为2002xxxy，切线与x轴的交点坐标为 ),(020x，则由题可知有1211223022002202000xdxxxxxdxxSxxx)( 10x，所以切点坐标与切线方程分别为12),1 , 1 (A xy 总结：1、定积分的几何意义是：axxfyba与直线上的曲线在区间)(],[、xbx以及轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－xxbaSSdxxf)(. 因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理， 但要特别注意图形面积与定积分不一定相等， 如函数］［０　2 ,sinxxy的图像与x轴围成的图形的面积为 4, 而其定积分为 0. 2、求曲边梯形面积的方法与步骤： （1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； （2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数； （4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

x x O y=x2 A B C x y o y=－x2+4x-3 题型及方法体会定积分在物理中应用变速直线运动的路程变力沿直线做微积分基本定理是什么定积分的应用一利用定积分求平面图形的面积例所以点评在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤作图象求交点用定 课堂小结 本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义， 不能等同于图形的面积， 要注意微积分的基本思想的应用与理解 教学反思 题型及方法体会定积分在物理中应用变速直线运动的路程变力沿直线做微积分基本定理是什么定积分的应用一利用定积分求平面图形的面积例所以点评在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤作图象求交点用定。