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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟96解答题问题:1. 计算行列式答案:【解】按第一列展开，得 问题:2. 计算行列式 答案:【解】 问题:3. 计算答案:【解】方法一 把Dn按第一行展开，得 把递推公式①改写成 Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)， ② 继续用递推关系②递推，得 Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1)， 而D2=(α+β)2-αβ，D1=α+β， Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)=βn， ③ ③式递推得 Dn=αDn-1+βn=α(αDn-2+βn-1)+βn =…=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn． 除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成 Dn-βDn-1=α(Dn-1-βDn-2)． ④ 由④递推可得 Dn-βDn-1=αn， ⑤ ③×β-⑤×α得 (β-α)Dn=βn+1-αn+1， β-α≠0时，有 方法二 把原行列式表示成如下形式 再利用“拆项”性质，将Dn表示成2n个n阶行列式之和，可以看出Dn中第i列的第2子列和第i+1列的第1子列成正比，因此2n个行列式中只有n+1个不为零，即各列都选第1子列，或者由第i列起(i=n，n-1，…，1)以后都选第2子列，而前i-1列都选第1子列，最后得 Dn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn． 问题:4. 已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：(1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式：(2)a11≠0．求|A|．答案:【解】由已知aij=Aij，所以A*=AT，且 AA*=AAT=|A|E． 两边取行列式得 |AAT|=|A|2=||A|E|=|A|n． 从而 |A|=1或|A|=0． 由于a11≠0．可知 于是|A|=1． 问题:5. |A|是n阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是1．证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值．答案:【证】不失一般性．设 又因 故 问题:6. 计算答案:【解】按第一行展开 得到递推公式 D5-D4=-x(D4-D3)=…=-x3(D2-D1)． 由于D1=1-x，于是得 容易推出D5=-x5+x4-x3+D2=-x5+x4-x3+x2-x+1． 问题:7. 计算行列式 答案:【解】 故原式=(a2+b2+c2+d2)2． 问题:8. 设试证明：使得f'(ξ)=0．答案:【证】f(x)显然在[0，1]上连续，在(0，1)上可导．而 可知f(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，故使得f'(ξ)=0． 问题:9. 计算，其中n＞2．答案:【解】把第1行的(-x)倍分别加到第2，3，…，n行，得 当x≠0时，再把第j列的倍加到第1列(j=2，…，n)，就把Dn化成了上三角行列式 当x=0时，显然有Dn=0，所以总有 Dn=(-1)n-1(n-1)xn-2． 设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论：10.答案:【证】当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AAT=|A|E两边取行列式，得|A|n-2=1，|A|=1． 反之．若ATA=E且|A|=1，则A*A=|A|E=E且A可逆，于是，ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij． 11.答案:【证】当aij=-Aij时，有AT=-A*，则ATA=-A*A=-|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以在ATA=-|A|E两边取行列式得|A|=-1． 反之，若ATA=E且|A|=-1，由于A*A=|A|E=-E，于是，ATA=-A*A．进一步，由于A可逆，得AT=-A*，即aij=Aij． 问题:12. 设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，|A|＜0，求|A+E|．答案:【解】由|A+E|=|A+AAT|=|A(E+AT)|=|A|·|(A+E)T|=|A|·|A+E|， 故 问题:13. 设a1，a2，…，as是互不相同的实数，且求线性方程组AX=b的解．答案:【解】因a1，a2，…，an，互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|≠0，根据克拉默法则，方程组AX=b有唯一解，且 其中|Ai|是b代换|A|中第i列得的行列式，有 |A1|=|A|，|Ai|=0，i=2，3，…，n． 故AX=b的唯一解为X=[1，0，0，…，0]T． 问题:14. 设B=2A-E．证明：B2=E的充分必要条件是A2=A．答案:【证】因为B=2A-E，B2=(2A-E)(2A-E)=4A2-4A+E，所以 4A2-4A+E=E4A2-4A=OA2=A． 问题:15. 设A是n阶矩阵．证明：A=O的充要条件是AAT=O．答案:【证】设则若 应有i=1，2，…，n，即aij=0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)，即A=O． 反之，若A=O，显然AAT=O． 设16. 证明：当n≥3时，有An=An-2+A2-E；答案:【证】用归纳法． n=3时，因验证得A3=A+A2-E，上式成立； 假设n=k-1时(n≥3)成立，即Ak-1=Ak-3+A2-E成立，则 Ak=A·Ak-1=A(Ak-3+A2-E)=Ak-2+A3-A =Ak-2+(A+A2-E)-A=Ak-2+A2-E． 即n=k时成立．故An=An-2+A2-E对任意n(n≥3)成立． 17. 求A100．答案:【解】由上述递推关系可得 A100=A98+A2-E=(A96+A2-E)+A2-E =A96+2(A2-E)=…=A2+49(A2-E) 设18. 计算A2，并将A2用A和E表出；答案:【解】 令 得 解得x=a+d，y=bc-ad，即 A2=(a+d)A+(bc-ad)E． 19. 设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O．答案:【解】充分性k＞2，显然成立； 必要性 方法一 由(1)知A2=(a+d)A，于是Ak=((a+d)k-1A=O，故A=O或a+d=0，从而有A2=(a+d)A=O． 方法二 A是2阶矩阵，|A|=0，故r(A)≤1． 若r(A)=0，则A=O，从而A2=O； 若r(A)=1，则A=αβT，A2=αβTαβT=(βTα)A，其中α，β为非零二维列向量．从而有A2=0．问题:20. 证明：方阵A与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是A是对角阵．答案:【证】充分性 A是对角阵，则显然A可与任何对角阵可交换． 必要性 设与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵可交换，即 b1a12=b2a12，b1≠b2，故a12=0．biaij=bjaij，i≠j，bi≠bj，aij=0，i=1，2，…，n，j=1，2，…，n，故是对角阵． 问题:21. 证明：若A为n阶可逆方阵，A*为A的伴随矩阵，则(A*)T=(AT)*．答案:【证】(A*)T=(|A|A-1)T=|A|(A-1)T=|A|(AT)-1=|AT|(AT)-1=(AT)*．问题:22. 证明：若A为n阶方阵，则有|A*|=|(-A)*|(n≥2)．答案:【证】设A=(aij)n×n，|A|的元素aij的代数余子式为Aij，则|-A|的元素-aij的代数余子式为 Bij=(-1)n-1Aij， 于是(-A)*=(-1)n-1(Aji)n×n=(-1)n-1A*，所以 |(-A)*|=|(-1)n-1A*|=[(-1)n-1]n|A*|=|A*|． 问题:23. 已知n阶方阵A满足矩阵方程A2-3A-2E=O．证明：A可逆，并求出其逆矩阵A-1．答案:【证】A2-3A-2E=O，则故A可逆，且问题:24. 已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=O．证明：矩阵E—A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．答案:【证】 E=E-Ak=Ek-Ak=(E-A)(E+A+…+Ak-1)，所以E-A可逆，且 (E-A)-1=E+A+…+Ak-1． 问题:25. 设可逆，其中A，D皆为方阵．求证：A，D可逆，并求M-1．答案:【证】 设M的逆矩阵为 所以 问题:26. 设矩阵矩阵X满足AX+E=A2+X，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵X答案:【解】由AX+E=A2+X，有(A-E)X=(A-E)(A+E)．又|A-E|=-1≠0．则 问题:27. 假设求A的所有代数余子式之和．答案:【解】先计算出由于|A|=1，所以 A的所有代数余子式之和即为A*所有元素之和为0． 设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． 28. 计算并化简PQ；答案:【解】 29. 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．答案:【证】由上小题得 问题:30. 设(2E-C-1B)AT=C-1，其中E是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A的转置矩阵， 求A． 答案:【解】由(2E-C-1B)AT=C-1，有 问题:31. 设求An．答案:【解】又EB=BE，所以 问题:32. 已知求An．答案:【解】对A分块为则B=3E+J，于是 而C2=6C，…，Cn=6n-1C，所以 设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．33. 计算ABT与ATB；答案:【解】ATB=a1b1+a2b2+…+anbn．34. 求矩阵ABT的秩r(ABT)；答案:【解】因ABT各行(或列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(ABT)=1．35. 设C=E-ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1．答案:【证】由于CTC=(E-ABT)T(E-ABT)=(E-BAT)(E-ABT)=E-BAT-ABT+BATABT，故若要求CTC=E-BAT-ABT+BBT，则BATABT-BBT=O，B(ATA-1)BT=O，即 (ATA-1)。