2015年高考真题——文科数学（上海卷） 含解析.doc

一．填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分）1.函数 的最小正周期为 .xxf2sin31)(【答案】 2.设全集 .若集合 ， ，则 .RU}4,321{A}32|{xB)(BCAU【答案】 }4,1{【解析】因为 ，所以 或 ，又因为 ，}|xB|{xCU}}4,321{所以 .4,1{)(CAU【考点定位】集合的运算.3.若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 .ziz13iz【答案】 i241【解析】设 ，则 ，因为 ，),(Rbazbiaziz13所以 ，即 ，所以 ，即 ，ibia1)(3 i12424ba24所以 .iz241【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设 为 的反函数，则 .)(1xf12xf )2(1f【答案】 35.若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 .0213c53yx21c【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 .a316a【答案】4【解析】依题意， ，解得 .2314【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为 1，则 .)0(2pxyQp【答案】2【解析】依题意，点 为坐标原点，所以 ，即 .12p2【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程 的解为 .2)3(log)59(log1212 xx【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用 ， 将已知方程变形同24log)0,(logll nmnmaaa底数 2 的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于 的指数方程，再利用换元法求解.与x对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若 满足 ，则目标函数 的最大值为 .yx,02yxz2【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在 的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.62)1(x【答案】240【解析】由 ，令 ，所以 ，所以rrrrr xCxCT366261)1(  0r2r常数项为 .2406【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线 、 的顶点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的斜率1C21C142yx2C是 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 的方程为 .1 2【答案】 142yx【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的最大abcba}3,21{|,|{c||cba值是 .【答案】 53【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量 、 、 的坐标，用坐标表示 ，利abccba用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得 的最大值.||14.已知函数 .若存在 ， ， ， 满足 ，且xfsin)(12xm6021mxx，则|)((||)(|)(| 13221 fffxf ),(N的最小值为 .m【答案】8二．选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分.15. 设 、 ，则“ 、 均为实数”是“ 是实数”的（ ）.1zC21z221zA. 充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】设 ， ，),(11Rbaiz ),(22Rbaiz若 、 均为实数，则 ，所以 是实数；1202 212111(ai【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）.2382x A. B. 2)3)(82xx )32(8xxC. D. 12 12【答案】B17. 已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的A)1,34(OA3OB纵坐标为（ ）.A. B. 23 25C. D. 1 13【答案】D因为 ，所以 ，所以 或 （舍去）491)3(22nm491627n213n，所以点 的纵坐标为 .B2【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设 是直线 与圆 在第一象限的交点，则极),(nyxP)(12Nnyx22yx限 ( ).1limnxyA. B. 21C. D. 【答案】A三．解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分 12 分）如图，圆锥的顶点为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧PABC的中点， 为劣弧 的中点.已知 ， ，求三棱锥 的体积，ABECB2O1OP并求异面直线 与 所成角的大小.PO【答案】 10arcos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.已知函数 ，其中 为实数.xaf1)(a（1）根据 的不同取值，判断函数 的奇偶性，并说明理由；)(xf（2）若 ，判断函数 在 上的单调性，并说明理由.)3,(]2,1[【答案】 （1） 是非奇非偶函数；（2）函数 在 上单调递增.xf )(xf]2,1[【解析】 （1）当 时， ，显然是奇函数；0axf)(当 时， ， ， 且 ，1)(f 1a)(f 0)1(f所以此时 是非奇非偶函数.x【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、CBA, 5AB3C4B乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千t )(tf米）.甲的路线是 ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 8 千米/小时.乙A到达 地后原地等待.设 时乙到达 地.B1tC（1）求 与 的值；1t)(f（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 时，求 的表达式，1t)(tf并判断 在 上得最大值是否超过 3？说明理由.)(tf],[1【答案】 （1） ， 千米；（2）超过了 3 千米.h8341【解析】 （1） ，设此时甲运动到点 ，则 千米，vACt乙 P815tvA甲所以 APtf cos2)(21千米.841358532【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分 14 分）本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分.已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，12yxlABCD设 的面积为 .AOCS（1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明),(1),(2xAC1l；||22yxS（2）设 ， ， ，求 的值；kl:1)3,(C1Sk（3）设 与 的斜率之积为 ，求 的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持1l2m1l2S不变.【答案】 （1）详见解析；（2） 或 ；（3） .1k5m由（1）得 211121 6||3|3|| kkxyxS 由题意知 ，6||32k解得 或 .1k5（3）设 ，则 ，设 ， ，xyl:xkmyl:2),(1yA),(2xC由 ，的 ，12yxk221kx同理 ，222)(mk由（1）知， |||21||21|21 2121 xkmkxmxyxS ，221||k整理得 ，0)18()64()8( 22 mSkmSkS由题意知 与 无关，则 ，解得 .0216482S2182m所以 .m【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分 16 分）本题共 3 小题.第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分.已知数列 与 满足 ， .}{nab)(2nnba N （1）若 ，且 ，求数列 }{na的通项公式；53nb1a（2）设 }{a的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是0 )N(0}{nb0最大项；（3）设 ， )(n，求 的取值范围，使得对任意 ，1bm， ，且Nn0na.(,6)mn【答案】 （1） ；（2）详见解析；（3） .5a )0,41(（3）因为 ，所以 ，nb)(211nna当 时，2n 12)()( aan 3(211n，n2由指数函数的单调性知， 的最大值为 ，最小值为 ，}{na02a31a由题意， 的最大值及最小值分别是 及 ，nma13212由 及 ，解得 ，613204综上所述， 的取值范围是 .),1(【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。