新课标立体几何常考平行证明题汇总.doc

1新课标立体几何常考平行证明题汇总新课标立体几何常考平行证明题汇总立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移” 2)利用三角形中位线的性质3)利用平行四边形的性质 (4)利用对应线段成比例5)利用面面平行，等等3、如图，在正方体中，是的中点，1111ABCDABC DE1AA求证： 平面1//ACBDE证明：连接交于，连接，ACBDOEO∵为的中点，为的中点E1AAOAC∴为三角形的中位线 ∴EO1A AC1//EOAC又在平面内，在平面外EOBDE1ACBDE∴平面 1//ACBDE考点：线面平行的判定考点：线面平行的判定5、已知正方体，是底对角线的交点.1111ABCDABC DOABCD求证：(１) C1O∥面；(2)面． 11AB D1AC 11AB D证明：（1）连结，设，连结11AC11111ACB DO 1AO∵ 是正方体 是平行四边形1111ABCDABC D11A ACC∴A1C1∥AC 且 11ACAC又分别是的中点，∴O1C1∥AO 且1,O O11,AC AC11OCAO是平行四边形 11AOC O面，面 ∴C1O∥面 111,C OAO AO∥ 11AB D1C O 11AB D11AB D（2）面 1CC 1111ABC D11!CCB D又， 1111ACB D∵ 1111B DACC 面111ACB D即同理可证， 又11ACAD1111D BADD面 1AC 11AB D考点：线面平行的判定（利用平行四边形）考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定，线面垂直的判定7、正方体 ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面 A1BD∥平面 B1D1C；(2)若 E、F 分别是 AA1，CC1的中点，求证：平面 EB1D1∥平面 FBD．A1ED1C1B1DCBAD1ODBAC1B1A1CA1AB1BC1CD1DGEF2证明：(1)由 B1B∥DD1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD，又 BD 平面 B1D1C，B1D1平面 B1D1C，∴BD∥平面 B1D1C．同理 A1D∥平面 B1D1C．而 A1D∩BD＝D，∴平面 A1BD∥平面 B1CD．(2)由 BD∥B1D1，得 BD∥平面 EB1D1．取 BB1中点 G，∴AE∥B1G．从而得 B1E∥AG，同理 GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面 EB1D1．∴平面 EB1D1∥平面 FBD．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）考点：线面平行的判定（利用平行四边形）10、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求1111ABCDABC DEFGABAD11C D证：平面∥平面.1D EFBDG证明：∵、分别是、的中点，∥EFABADEFBD又平面，平面∥平面EF BDGBD BDGEFBDG∵四边形为平行四边形，∥1DGEB1DGBE1D EGB又平面，平面∥平面1D E BDGGB BDG1D EBDG，平面∥平面1EFD EE1D EFBDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体中，是的中点.1111ABCDABC DE1AA（1）求证：平面；1//ACBDE（2）求证：平面平面.1A AC BDE证明：（1）设，ACBDO∵、分别是、的中点，∥EO1AAAC1ACEO又平面，平面，∥平面1AC BDEEO BDE1ACBDE（2）∵平面，平面，1AA ABCDBD ABCD1AABD又，，平面，平面，平面BDAC1ACAAABD 1A ACBD BDE平面BDE 1A AC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） ，面面垂直的判定，面面垂直的判定3FGGABCDECABDEFDEB1A1C1CABFM(1) 通过通过““平移平移””再利用平行四边形的性质再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是平行四边形，点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中 点．求证：AF∥平面 PCE； 分析：取 PC 的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF 是平行四 边形2、如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，3过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，G、F 分别为 AD、CE 的中点，现将△ADE 沿 AE 折叠，使 得 DE⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面 CDE； （Ⅱ）求证：FG∥面 BCD；分析：取 DB 的中点 H，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱 ABC－A1B1C1中，D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点， M 为 BE 的中点, AC⊥BE. 求证： （Ⅰ）C1D⊥BC； （Ⅱ）C1D∥平面 B1FM. 分析：连 EA，易证 C1EAD 是平行四边形，于是 MF//EAEFBACDP（第 1 题图）44、如图所示, 四棱锥 PABCD 底面是直角梯形, CD=2AB, E 为 PC,,ADCDADBA的中点, 证明: ;//EBPAD平面分析:：取 PD 的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质利用三角形中位线的性质 5、如图，已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：EFGMADCDBDBC∥平面。

AMEFG分析：连 MD 交 GF 于 H，易证 EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是 PC 的中点 求证： PA ∥平面 BDE 7．如图，三棱柱 ABC—A1B1C1中， D 为 AC 的中点.求证：AB1//面 BDC1；分析：连 B1C 交 BC1于点 E，易证 ED 是△B1AC 的中位线（（.3）） 利用平行四边形的性质利用平行四边形的性质9．正方体 ABCD—A1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 BB1的中点，求证： D1O//平面 A1BC1;A AB BC CD DE EF FG GM5PEDCBA分析：连 D1B1交 A1C1于 O1点，易证四边形 OBB1O1是平行四边形10、在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB=DC，.21中点为PDE求证：AE∥平面 PBC；分析：取 PC 的中点 F，连 EF 则易证 ABFE 是平行四边形11、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（I）证法一：因为 EF//AB，FG//BC，EG//AC，90ACB，所以90 ,EGFABC ∽.EFG由于 AB=2EF，因此，BC=2FC，连接 AF，由于 FG//BC，BCFG21在ABCDA中，M 是线段 AD 的中点，则 AM//BC，且BCAM21因此 FG//AM 且 FG=AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM//FA。

又FA平面 ABFE，GM 平面 ABFE，所以 GM//平面 AB4)利用对应线段成比例利用对应线段成比例12、如图：S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M、N 分别是 SA、BD 上的点，且=， SMAM NDBN求证：MN∥平面 SDC分析：过 M 作 ME//AD，过 N 作 NF//AD利用相似比易证 MNFE 是平行四边形6DCABB1A1C113、如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB，M，N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN 求证：MN∥平面 BEC分析：过 M 作 MG//AB，过 N 作 NH/AB利用相似比易证 MNHG 是平行四边形(5)利用面面平行利用面面平行14、如图，三棱锥ABCP 中，PB 底面ABC，90BCA，PB=BC=CA，E为 PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2AFFP. （1）求证：BE 平面PAC； （2）求证：/ /CM平面BEF；分析: 取 AF 的中点 N，连 CN、MN，易证平面 CMN//EFB10.如图，正三棱柱的底面边长是 2，侧棱长是，D 是 AC 的中点.求证：111CBAABC 3平面.//1CBBDA1AFAE AB AC AD AM AN A7.证明证明：设与相交于点 P，连接 PD，则 P 为中点，1ABBA11ABD 为 AC 中点，PD//.CB1又PD平面D，//平面D BA1CB1BA111.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G 分别是 AA1，CD，CB，CC1的中点， 求证：（1）MN//B1D1 ；（2） AC1//平面 EB1D1 ；（3）平面 EB1D1//平面 BDG.11.证明证明：（1） M、N 分别是 CD、CB 的中点，MN//BD又BB1DD1,四边形 BB1D1D 是平行四边形. //所以 BD//B1D1.又 MN//BD，从而 MN//B1D1 （2） （法 1）连 A1C1，A1C1交 B1D1与 O 点 四边形 A1B1C1D1为平行四边形，则 O 点是 A1C1的中点 E 是 AA1的中点，EO 是AA1C1的中位线，EO//AC1. AC1面 EB1D1 ，EO面 EB1D1，所以 AC1//面 EB1D1  （法 2）作 BB1中点为 H 点，连接 AH、C1H，E、H 点为 AA1、BB1中点，所以 EHC1D1，则四边形 EHC1D1是平行四边形，所以 ED1//HC1//又因为 EAB1H，则四边形 EAHB1是平行四边形，所以 EB1//AH//AHHC1=H，面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1面 AHC1，所以 AC1//面 EB1D1（3）因为 EAB1H，则四边形 EAHB1是平行四边形，所以 EB1//AH//因为 ADHG，则四边形 ADGH 是平行四边形，所以 DG//AH，所以 EB1//DG//又BB1DD1,四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.//BDDG=G，面 EB1D1//面 BDG 4、如图，在四棱锥中，平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCDP  AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证：（1）直线 EF‖平面 PCD； （2）平面 BEF⊥平面 PAD(16)第题图81 1．运用中点作平行线．运用中点作平行线例 1．已知四棱锥的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证PABCD ＭＮ∥平面 PCD．2 2．运用比例作平行线．运用比例作平行线例 2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中，MAC ，求证：ＭＮ∥平面 BCENBF3. 运用传递性作平行线运用传递性作平行线 例 3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这。