从等效原理到Finsler场论.ppt

从等效原理到FINSLER场论LostAbaddon1 1三个部分•一，为何Finsler•二，何为Finsler•三，如何Finsler2 2一，为何Finsler•开篇前的声明：•Finsler几何，以及建立在Finsler几何上的物理学，现在在理论物理范畴内并不是主流，只能算是“偏门”•Finsler几何在光学与材料科学上的应用不错，特别是在非线性光学以及方向依赖的各向异性介质中的电磁问题•在理论物理范畴中，Finsler几何更多是启发性的，但不能直接得到什么很有用的结论——因为时空即便是Finsler的，也是非常接近Riemann的Finsler•已故的几何学大师陈省身曾说过：未来的物理应该是Finsler的3 3一，为何Finsler•请先思考一个问题：•为何广义相对论采用的是黎曼几何？4 4一，为何Finsler•等效原理将引力与时空弯曲联系在一起，又将时空弯曲与微分几何联系在一起——起到了一个桥梁作用•但是微分几何不仅仅是黎曼几何，Finsler几何比Riemann几何更为宽泛，等效原理并没有将Finsler中非Riemann的那些几何都排除掉•因此，如果只考虑等效原理，那时空完全可以是Finsler的。

5 5一，为何Finsler•什么原理让我们只选择黎曼几何作为时空的几何结构？•答案是：时空局部Lorentz对称性•因此：如果时空不具备局部Lorentz对称性，那时空就可以不是黎曼几何的——从而是Finsler的6 6二，何为Finsler•在引入具体度量以前，微分流形（假定大家已经知道了什么是微分流形，不知道的请参见梁灿彬老师《微分几何入门与广义相对论·上册》的第一、第二章，或者《物理学家用微分几何》第一章有兴趣的也可以读一下陈省身老师的《微分几何》，感觉对于非数学系的物理学生来说也挺容易上手的）上只有图册与外微分形式•黎曼流形是具有形如 这种二次型度量结构的微分流形•Finsler流形就是具有最一般形式度量结构的微分几何7 7二，何为Finsler•思考这么一个问题：•为何两点间距离必须是两点坐标差的平方和的根号？•为何两点间距离必须长得这么“椭圆”？•我们玩RPG游戏的时候，两点间距离不可以粗略地表达为两点间距离差的绝对值的和么？•进而思考：究竟度量是什么？8 8二，何为Finsler•微分流形上的度量函数需要满足如下四点要求：•只要一个函数满足以上四点，就可以当作一个流形上的度量函数，无论它“长”得多么妖冶。

9 9二，何为Finsler•Finsler度量示例：注意:第一与第二种都是不合法的Finsler度量，因为存在不连续性10 10二，何为Finsler•度量函数对应的度规张量，现在不但是流形坐标的函数，还是切空间中切矢量（方向）的函数•与度量函数F适配的Finsler度规定义为：•显然，黎曼几何的度规是满足这个关系的11 11二，何为Finsler•Finsler度规举例：1212二，何为Finsler•现在，我们可以给出“平直时空”的定义：•在恰当的图册选择下下度量处处相同的在恰当的图册选择下下度量处处相同的FinslerFinsler流形称为平流形称为平直直FinserFinser流形流形•显然，黎曼流形中的闵氏时空就是平直的•Finsler中的“短程线”：•形式上与Riemann几何中的一致，但需要注意，这里度规的参数是流形坐标与切空间矢量，后者就是v1313二，何为Finsler•Cartan张量：•Cartan矢量：•Cartan标量：•如果一个Finsler流形的Cartan矢量（或者标量）没有上下确界，那么这个流形就不能光滑嵌入到任何平直Finsler流形中，无论后者有多少维。

1414二，何为Finsler•非线性联络：•测地喷射：•两者关系：•坐标基矢及对偶：15 15二，何为Finsler•Finsler流形上的联络，有流形与且可能关键两部分：•可以引入与Riemann中一样的适配条件，从而可以构造与Finsler度规相适配的Finsler联络适配条件为：16 16二，何为Finsler•Finsler流形的适配联络（ Cartan联络）为：•需要注意的是：Finsler流形上的适配条件是不唯一的，从而Finsler上的适配联络是不唯一的•常用的有Chern-Rund联络、Berwarld联络、Cartan联络与Hashiguchi联络•就一般而言，取Cartan联络时，Finsler流形上连接两点的短程线与连接相同两点的自平行曲线并不重合17 17二，何为Finsler•Finsler扰率•Finsler流形是自带扰率的：•其中1818二，何为Finsler•通过与Riemann几何中相同的方法，我们可以得到如下曲率张量：•此外还有各种不同的曲率张量可以被构造出来•Finsler曲率张量：•Berwarld曲率张量：19 19三，如何Finsler•1，寻找所要的对称性•2，寻找上述对称性对应的Finsler流形•3，建立Finsler流形上的物理2020三，如何Finsler•从对称性入手，来寻找局部Lorentz破缺但很接近Lorentz的对称性•1，寻找Lorentz代数的子代数：•2个双元素子代数（不同构的意义上）•4个三元素子代数•1个四元素子代数2121三，如何Finsler•我们要通过已知的群的李代数来获得形变群的李代数•如果已知李代数的结构常数为•形变李代数的结构常数为•从而形变李代数要满足：•对于更高阶形变还能接续写下去，类似于微扰展开方程2222三，如何Finsler•在职考虑一阶形变的情况下，形变李代数要求满足：•为了避免如此找出的群众存在原来李代数通过基矢（无穷小）变换而得到的“形变”，还要求：•上述不等式对于任意无穷小变换 都成立•从而，我们可以从任意给定李代数得到其形变代数。

2323三，如何Finsler•我们最终要得到的是Lorentz群及其子群的形变群与平移群的半直积群，这才是完整的时空局部对称性•通过上述群的表示我们可以通过Finsler流形的李导数方程来得到Finsler度量函数•因而，下面就要来寻找上述群的表示2424三，如何Finsler•从而有两种不同的微扰方案：•1，•2，2525三，如何Finsler•最后能得到各种形变代数的结构常数以及形变群的矩阵表示，可以看讲稿中的表格，或者去我的Google文库看论文原文•工作量异常巨大，而且最后的结果异常长，就不详细给出了2626三，如何Finsler•如果一个微分流形（无论是Finsler还是Riemann）具有某种对称性S，那么S所对应的群G作用在流形的度量函数上应该不发生变化•这与Lie导数为零的要求一致2727三，如何Finsler•可以通过上述方程，以及之前得到的对称群来构造Finsler度量•这里选择的方法是通过寻找各种满足Lie导数方程的“组件”来复合构造出最终的度量函数•具体方法报告时会讲，或者请看Google文库2828三，如何Finsler•在给定的Finsler时空上建立物理是一件还没有统一标准的事情•难点：Finsler中的“切矢量”究竟对应物理客体的什么属性？•对于点粒子而言，Finsler的切矢量可以被对应到点粒子世界线的切矢，也即点粒子的“速度”。

•但对于场论，这个切矢量就没有一个恰当的物理对应——对应到场的梯度的话，会在多场的相互作用顶角上出现奇异性2929三，如何Finsler•在一些文献中所采用的方法是将那些“切矢量”全部积分掉但这种做法非常任意和人为，并没有一个好的原理来给出这种做法的合理性•这里我所采用的方法是将场的激发子视为是与点粒子行为对应的，从而从唯像的角度来构造场论•当然，除了这种唯像的做法，我们还可以通过修改Finsler几何，将其“改造”为算符的几何学，从而从这种“算符几何”的角度来构造场论•还有一种做法，便是利用“量子化”，我们也可以通过对点粒子的路径积分来构造点粒子的场——当然，这里只局限与标量场对于别的场，做法会有所不同•第一与第二种方法最后得到的结果是很类似的3030三，如何Finsler•一，唯像类比法•作为场的基元，或者说场量子，必须满足与点粒子相类似的运动规律•这个做法的依据在于，我们都知道场可以看作是多粒子系宗，因而场量子就是这个多粒子系宗的一个粒子（当然，这个类比是非常粗糙的）——而很显然，单独一个粒子的话自然是要满足点粒子运动规律的，只不过多粒子系宗在一起就要满足场的规律了3131三，如何Finsler•操作流程：•1，通过点粒子作用量得到点粒子的色散关系；•2，找到给定Finsler时空的所有局部对称群；•3，通过上述对称群给出场作用量的约束条件，从而将作用量的形式限定在一定范围内；•4，求解上述作用量对应的平面波解，并要求该解满足1中得到的色散关系，从而将作用量完全确定。

3232三，如何Finsler•DISIM时空中，点粒子拉氏量为：•从而色散关系为：•标量场作用量为：3333三，如何Finsler•标量场及旋量场与规范场耦合：3434三，如何Finsler•二，算符几何法•保留Finsler度量，将度规等都视为算符而非几何量，从而建立起关于所有这些“几何算符”的类几何体系，给出合适的算符内积定义，以及协变微分算子的定义（主要是其中的联络算符的定义），并最终把所有几何量都算符化•之后，就可以通过给出的合适的算符内积的定义来构造场的作用量3535三，如何Finsler•三，路径积分法•对点粒子作用量的路径积分，可以得到场，以及场的运动方程•因而场可以被看作是点粒子的路径积分•所以，在Finsler流形上做路径积分以得到场以及运动方程，随后利用运动方程来构造作用量3636结束语•THE END3737。