七年级数学--有理数的加减法(基础)知识讲解【详细解答】.pdf

有理数的加减法（基础）【学习目标】1掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义： 把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0 相加，仍得这个数要点诠释： 利用法则进行加法运算的步骤：( 1) 判断两个加数的符号是同号、异号， 还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则( 2) 确定和的符号 ( 是“ +”还是“” ) ( 3) 求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减) 3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+bb+a 加法结合律文字语言三个数相加， 先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言( a+b) +ca+( b+c)要点诠释： 交换加数的位置时，不要忘记符号要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法， 例如： (- 5) +?7，求？，减法是加法的逆运算要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：性质符号；数字即数的绝对值2.法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()abab要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】类型一、有理数的加法运算1计算：( 1)( +20) +( +12) ；( 2)1223；( 3)( +2) +(- 11) ；( 4)(- 3. 4) +( +4. 3) ；( 5)(- 2.9) +( +2. 9)；( 6)(- 5) +0【答案与解析】 （1） （2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3） （4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（ 5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0； （6）用的是法则的第三条 ( 1)( +20) +( +12) +(20+12) +3232；( 2)12121123236( 3)( +2) +(- 11) -( 11- 2) - 9 ( 4)(- 3. 4)+( +4. 3) +( 4. 3- 3.4) 0. 9 ( 5)(- 2. 9)+( +2. 9) 0；( 6)(- 5) +0- 5【总结升华】 绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值举一反三：【变式 1】计算：113343【答案】111113333433412【变式 2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）12-1+ -23【答案】（1） (+10)+(-11)=(11-10)= 1；（2）1212341-1+ -= -1+= -1+= -22323666类型二、有理数的减法运算2 计算： (1)(- 32)-( +5) ；( 2)( +2)-(-25) 【思路点拨】 此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算【答案与解析】法一：法二： （1）原式 =-32-5=-32+ （-5） =-37； （2）原式 =2+25=27 【总结升华】 算式中的“ +”或“ -”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算. 类型三、有理数的加减混合运算3计算，能用简便方法的用简便方法计算. （1） 26-18+5-16 ；（ 2） （+7）+（-21 ）+（-7 ）+（+21）( 3) 21111-1+1+ +7+ -2+ -832432(4)113.587( 5)5( 7)3( 1.587)24（5）132.25321.87584（6）1355354624618【答案与解析】（1）26-18+5-16 =(+26)+(-18)+5+(-16) 统一成加法=(26+5)+(-18)+(-16)符号相同的数先加= 31+(-34)=-3 （2） （+7）+（-21 ）+（-7 ）+（+21）= (+7)+(-7) +(-21)+(+21) 互为相反数的两数先加=0（3）21111-1+1+ +7+ -2+ -83243221111-1+ -2+ 1+ -8+733224同分母的数先加1-4+-7+743-34（4）113.587( 5)5( 7)3( 1.587)24113.5875573( 1.587)24统一成加法113.587( 1.587)(57)5324整数、小数、分数分别加312128544（5）132.25321.87584(2.252.75)(3.1251.875)统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起0.554.5（6）135535462461813553546246181355( 3546)()24618整数，分数分别加182730 100362936【总结升华】 在进行加减混合的运算时，( 1) 先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用 “技巧” 适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换举一反三：【变式 】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43【答案】( 1)原式 = (-3.8)+ (-4.2)+ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)+(+0.8)=-8+0.8=-7.2 (2) 原式 =（2-1-4 ）+（34-58-56+38-23）=-3+68-58+38+(-56-46)=-3-1=-4类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.（单位： cm）(1) 小虫最后是否回到出发地O？为什么？(2) 小虫离开 O 点最远时是多少？(3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm 奖励 1 粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？【思路点拨】 题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小. 所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小. 【答案与解析】解： （1）(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10) =(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=0 0 表示最后小虫又回到了出发点O 答：小虫最后回到了出发地O. （2） (+5)+(-3)+2；(+5)+(-3)+(+10)+12；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+4；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6) 2；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+10；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)0. 因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O 点最远时是向右12cm;(3) 531086121054（cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm，由1 5454（粒）答：小虫一共可以得到54 粒芝麻 . 【总结升华】 利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想举一反三：【变式 1】华英中学七年级( 14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100 分，答对一题加50 分，答错一题扣50 分，游戏结束后各组的得分如下表：第 1 组第 2 组第 3 组第 4 组第 5 组100 150 350 - 400 - 100 ( 1) 第一名超过第二名多少分? ( 2) 第一名超过第五名多少分? 【答案】 由表看出：第一名350 分，第二名150 分，第五名 - 400 分( 1) 350- 150200( 分)( 2) 350-(- 400)350+400750( 分)答：第一名超过第二名200 分；第一名超过第五名750 分【变式 2】某产粮专业户出售粮食8 袋，每袋重量 ( 单位：千克 ) 如下：197，202，197，203，200，196，201，198计算出售的粮食总共多少千克? 【答案】 法一：以 200( 千克 ) 为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这 8 个数的差的累计是：(- 3) +( +2) +(- 3) +( +3) +0+(- 4) +( +1) +(- 2) - 6 200 8+(- 6) 1594( 千克 ) 答：出售的粮食共1594 千克法二： 197+202+197+203+200+196+201+198 1594( 千克 )答：出售的粮食共1594 千克。