全国统考高考数学复习-解析几何满分限时练.docx

解析几何1．直线与圆的考查也是高考的热点内容，多以选择题和填空题的形式出现，有时还会作为条件结合圆锥曲线进行考查；2．圆锥曲线的定义、方程、与性质是每年的必考热点，多以选择题和填空题的形式出现，主要考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法；3．解析几何还会考一道解答题，通常难度较大，主要考直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围，定点、定值问题等，综合性比较强．一、选择题．1．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0 ， l2:x+ay+2=0(a∈R)，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵直线l1:ax+a+2y+1=0，l2:x+ay+2=0，当“a=−2”时，直线l1:−2x+1=0，l2:x−2y+2=0，不满足，当“a=0”时，直线l1:2y+1=0，l2:x+2=0，不满足，∴当时，则，解得a=−1或a=2．而由，解得a=−1，所以由“”能推出“”；由“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查了直线平行的条件，属于基础题．2．直线y=x+2和双曲线的渐近线相交于A，B两点，则线段AB的长度为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，设y=x+2与相交于A点，与相较于B点，由，解得A−3−3，−3−1；由，解得B(3−3，3−1)，所以AB=(−3−3−3+3)2+(−3−1−3+1)2=24=26，故选A．【点评】该题考查的是有关两点间距离问题，解题方法如下：（1）先根据双曲线的渐近线方程求得的渐近线；（2）联立方程组，分别求得对应的交点坐标；（3）利用两点间距离公式求得结果．3．已知⊙M经过坐标原点，半径r=2，且与直线y=x+2相切，则⊙M的方程为（）A．(x+1)2+(y+1)2=2或(x−1)2+(y−1)2=2B．(x+1)2+(y−1)2=2或(x−1)2+(y+1)2=2C．(x−1)2+(y+1)2=2或(x+2)2+y2=2D．(x−1)2+(y+1)2=2或(x−2)2+y2=2【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，半径r=2，因为圆M过坐标原点，且与直线y=x+2相切，所以，所以a=b=±1，即圆心为1，1或−1，−1，圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2，故选A．【点评】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．已知直线l:mx+y+3m−3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点．且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若|CD|=3，则∠AOB=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线的方程l:mx+y+3m−3=0化为mx+3+y−3=0，所以直线l恒过点−3，3，而点−3，3满足x2+y2=12，所以点−3，3在圆x2+y2=12上，不妨设点A−3，3，又|CD|=3，所以点B0，23，所以，又圆x2+y2=12的半径为23，所以△AOB是等边三角形，所以．故选B．【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y=kx−a+b，将x=a带入原方程之后，所以直线过定点a，b；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．5．设A−2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足PA2+PB2≤16，若直线kx−y+6=0上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设Px，y，则PA2+PB2=x+22+y2+x−22+y2≤16，整理可得x2+y2≤4，故OP≤2，在△PQO中，，则，设原点到直线的距离为d，则需满足d≤4，，解得或，故选C．【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出OQ=2OPsin∠QPO≤4，利用原点到直线的距离小于等于4求解．6．已知圆C：x+12+y−12=1，P是直线x−y−1=0的一点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，则PC⋅AB的最小值为（）A．14 B．27 C．32 D．11【答案】A【解析】圆C：x+12+y−12=1的圆心为C−1，1，半径r=1，设四边形PACB的面积为S，由题设及圆的切线性质得，，∵AC=r=1，∴PC⋅AB=2PA=2PC2−r2=2PC2−1，圆心C−1，1到直线x−y−1=0的距离为，∴PC的最小值为，则PC⋅AB的最小值为，故选A．【点评】本题考了直线与圆的位置关系，难度中等偏易．7．已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6，则直线AF的斜率为（）A．2 B．±2 C．22 D．±22【答案】D【解析】由题意，点，因为AF=xA+2=6，可得xA=4，又因为点A在抛物线上，所以y2=32，则y=±42，所以点A(4，±42)，则，故选D．【点评】本题考了抛物线的定义及其性质，属于基础题．8．已知椭圆C的焦点为F1−1，0，F21，0，且椭圆与直线l：x+y=7有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（）A．10 B．7 C．27 D．25【答案】A【解析】设椭圆C与直线l的一个公共点为P，则（即为长轴长），问题转化为在直线l上找点P，使得PF1+PF2最小，设F2关于l的对称点Ex，y，则，可得E点坐标为7，6，则PF1+PF2=PF1+PE≥F1E=7+12+62=10，当且仅当F1，P，E三点共线时等号成立，即椭圆长轴长2a的最小值为10，故选A．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的定义，点关于直线对称的点的求法，属于中档题．9．已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段AB的中点坐标为M(2，−4)，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且线段AB的中点坐标为M(2，−4)，则x1+x2=4，y1+y2=−8，又A，B关于直线对称，所以，且A，B在双曲线上，，，相减可得，即，故，即，离心率为，故选B．【点评】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10．过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线交抛物线于A、B两点，若AF=3FB，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若k=0，则直线l与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意；设，抛物线y2=4x的焦点为F1，0，直线AB的方程为x=my+1，联立，消去x可得y2−4my−4=0，，设点Ax1，y1、Bx2，y2，由韦达定理可得y1+y2=4m，y1y2=−4，∵AF=1−x1，−y1，，由AF=3FB，可得−y1=3y2，∴y1+y2=−2y2=4m，则y2=−2m，y1y2=−3y22=−12m2=−4，解得，，故选C．【点评】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为x1，y1、x2，y2；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；（5）代入韦达定理求解．11．如图，双曲线以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中，，CD=4AB，则Γ的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接CA，BD，不妨设AB=1，则CD=4，BD=1+2a，AC=4+2a．在△ABD中，1+4c2−2⋅1⋅2c⋅cos60°=(1+2a)2①在△ACD中，16+4c2−2⋅4⋅2c⋅cos120°=(4+2a)2②，得15+10c=12a+15，则，故选C．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算．二、解答题．12．若双曲线x2−y2=9与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为A1，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率分别为k1，k2，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是过定点，定点为2，0．【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为，由题意知a=3，所以c=22，b=1．所以椭圆的标准万程为．（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：k1=−k2≠0，不满足，故直线l的斜率不为零；设直线l的方程为x=ty+n，由，得t2+9y2+2tny+n2−9=0，因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，所以Δ=4t2n2−4t2+9n2−9>0，整理得t2−n2+9>0，设Px1，y1、Qx2，y2，则，，，．因为，所以，整理得4ty1y2+5(n−3)y1−(n+3)y2=0，4ty1y2+5(n−3)y1+y2=(6n−12)y2，将，，代入整理得t(n−2)(n−3)=(2−n)t2+9y2，要使上式恒成立，只需n=2，此时满足t2−n2+9>0，因此，直线l恒过定点2，0．【点评】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式，过定点；②直线方程整理为点斜式，过定点．13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为23，点P在椭圆上，PF1⊥x轴，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将椭圆C按照坐标变换得到曲线C1，若直线l与曲线C1相切且与椭圆C相交于M，N两点，求MN的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，2b=23⇒b=3，，则椭圆C的标准方程为．（2）由，则曲线C1：x2+y2=1，当直线l斜率存在且为k时，设l：y=kx+m，由直线l与圆C1相切，则，由，设Mx1，y1，Nx2，y2，则，且Δ>0恒成立，由，由m2=k2+1，则，令t=3+4k2，则4k2=t−3，，令，则y=−s2+2s+3，，则，；当直线l斜率不存在时，l：x=±1，，综上：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线C1相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围．14．椭圆的左焦点为−2，0，且椭圆C经过点P0，1，直线y=kx+2k−1 (k≠0)与C交于A，B两点（异于点P）．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1．【解析】（1）由题意得：c=2，b。