数值分析-第五版-考试总结.doc

第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差近似值的误差〔为准确值〕：近似值的误差限：近似值相对误差〔较小时约等〕：近似值相对误差限：函数值的误差限：近似值有n位有效数字：第二章：插值法其中：2.拉格朗日插值次插值基函数：引入记号：余项：3.牛顿插值多项式：阶均差〔把中间去掉，分别填在左边和右边〕：余项：4.牛顿前插公式〔令，计算点值，不是多项式〕：阶差分：余项：5.泰勒插值多项式：阶重节点的均差：6.埃尔米特三次插值：其中，A的标定为：7.分段线性插值：第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. 属于维空间：2.范数：3.带权内积和带权正交：4.最正确逼近的分类〔范数的不同、是否离散〕：最优一致〔-范数〕逼近多项式：最正确平方〔-范数〕逼近多项式：最小二乘拟合〔离散点〕：5.正交多项式递推关系：6.勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：7．切比雪夫多项式：递推关系：正交性： 在上有个零点：在上有个零点：〔最优一致逼近〕首项的系数：8.最正确平方逼近：法方程：正交函数族的最正确平方逼近：9.最小二乘法：法方程：正交多项式的最小二乘拟合:第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有次代数精度求积公式〔多项式与函数值乘积的和〕，对于次数不超过的多项式成立，不成立2.插值型求积公式时的余项4.牛顿-柯特斯公式：将划分为等份构造出插值型求积公式5.梯形公式：当n=1时，6.辛普森公式：当n=2时，7.复合求积公式：复合梯形公式：复合辛普森公式：8.高斯求积公式〔求待定参数和〕：〔1〕求高斯点〔〕：令与任何次数不超过的多项式带权正交，即那么，由个方程求出高斯点。

〔2〕求待定参数：，也为次数不超过的多项式9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为的勒让德多项式的零点即为求积公式的高斯点10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为的切比雪夫多项式的零点即为求积公式的高斯点第五章 解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数：2.条件数：第六章 解线性方程组的迭代法1.迭代法：2.迭代法收敛：存在3.迭代法收敛的充分必要条件：，谱半径4.渐进收敛速度：，迭代次数估计：5.雅可比迭代法：6.高斯-塞德尔迭代法：7.严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛8.弱对角占优矩阵：假设此矩阵也为不可约矩阵，那么其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛其中，可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式，否那么为不可约矩阵9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正10.最速下降法：是对称正定矩阵令：使下式最小：那么：其中：故而：11.共轭梯度法：〔1〕令，计算，取〔2〕对，计算〔3〕假设或，计算停止第七章 非线性方程与方程组的数值解法1.二分法：1〕计算在有根区间的端值, 2〕计算区间中点值 3〕判断或者2.不动点迭代法：3.不动点迭代法收敛：4. 在上存在不动点：〔压缩映射〕5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，那么不动点迭代法收敛，误差为：6.局部收敛：存在的某个邻域内的任意的，迭代法产生的序列收敛到。

7.不动点迭代法局部收敛：其中为的不动点，在邻域连续8. P阶收敛：当时，迭代误差，满足9.牛顿〔重根〕法:10.简化的牛顿法：11.牛顿下山法：从开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件：为止12.弦截法：第八章 矩阵特征值计算1.格什戈林圆盘：以为圆心，以为半径的所有圆盘2. 的每个特征值必属于某个圆盘之中：3. 有个圆盘组成一个连通的并集，与和余下个圆盘是别离的，那么内恰包含的个特征值4.幂法： 设的特征值满足条件：任取非零向量，构造向量序列，假设：那么：5.收敛速度：6.幂法改良：7.加速方法〔原点平移法〕：构造矩阵，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速8.假设，称矩阵为初等反射矩阵，可得：10.设为两个不等的维向量，，令，那么，那么可推导出：11.豪斯霍尔德约化定理：12.吉文斯变换：12.矩阵的QR分解：1〕设非奇异，那么存在正交矩阵，使，其中为上三角矩阵2〕设非奇异，那么存在正交矩阵与上三角矩阵，使，当对角元素为正分解唯一13.豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵：14.方法：1〕计算上海森伯格矩阵的全部特征值；2〕计算对称三对角矩阵的全部特征值第九章 常微分方程初值问题数值解法1.一阶常微分初值问题：2.利普西茨条件：满足此条件，上述问题存在唯一的连续可微解。

3.欧拉方法：4.后退的欧拉法：5.梯形方法：6.改良欧拉公式：实用文档.。