圆锥曲线的经典结论.doc

有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点处的切线平分在点处的外角. 〔椭圆的光学性质〕2. 平分在点处的外角，那么焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 〔中位线〕3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离. 〔第二定义〕4. 以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 〔第二定义〕5. 假设在椭圆上，那么过的椭圆的切线方程是.〔求导或用联立方程组法〕6. 假设在椭圆外 ，那么过作椭圆的两条切线切点为，那么切点弦的直线方程是7. 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，那么椭圆的焦点角形的面积为.〔余弦定理+面积公式+半角公式〕8. 椭圆〔〕的焦半径公式：，(,，).〔第二定义〕9. 设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点，为椭圆长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点，那么.证明：，，，，，易得：10. 过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点，且为椭圆长轴上的顶点，和交于点，和交于点，那么.〔其实就在准线上，下面证明他在准线上〕证明：首先证明准线，和公共点，设，，不妨设，，，由，得交点，由，得，令，，，，，，，那么，再根据上一条性质可得结论。

11. 是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，那么，即〔点差法〕12. 假设在椭圆，那么被所平分的中点弦的方程是.〔点差法〕13. 假设在椭圆，那么过的弦中点的轨迹方程是.〔点差法〕二、双曲线1. 点处的切线平分△在点处的角. 〔同上〕2. 平分△在点处的角，那么焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 〔同上〕3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交. 〔同上〕4. 以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔切：在右支；外切：在左支〕〔同上〕5. 假设在双曲线〔〕上，那么过的双曲线的切线方程是：.〔同上〕6. 假设在双曲线〔〕外 ，那么过作双曲线的两条切线切点为，那么切点弦的直线方程是.〔同上〕7. 双曲线〔〕的左右焦点分别为，点为双曲线上任意一点：，那么双曲线的焦点角形的面积为.〔同上〕8. 双曲线〔〕的焦半径公式：,当在右支上时，,.当在左支上时，,〔同上〕9. 设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，那么.〔同上〕10. 过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、，且为双曲线实轴上的顶点，和交于点，和交于点，那么.〔同上〕11. 是双曲线〔a＞0,b＞0〕的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么，即。

〔同上〕12. 假设在双曲线〔〕，那么被所平分的中点弦的方程是：.〔同上〕13. 假设在双曲线〔〕，那么过的弦中点的轨迹方程是：.〔同上〕椭圆与双曲线的对偶性质--〔会推导的经典结论〕椭 圆1. 椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时，与交点的轨迹方程是.证明：，，交点，由，得，又，那么2. 过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，那么直线有定向且〔常数〕.证明：3. 假设为椭圆上异于长轴端点的任一点，、是焦点, , ，那么.证法1〔代数〕证法二〔几何〕4. 设椭圆的两个焦点为、,〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点，在△中，记, ,，那么有.〔上条已证〕5. 假设椭圆的左、右焦点分别为、，左准线为，那么当时，可在椭圆上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.6. 为椭圆上任一点，、是焦点，为椭圆一定点，那么,当且仅当三点共线时，等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 椭圆，O为坐标原点，、为椭圆上两动点，且.〔1〕;〔2〕|OP|2+|OQ|2的最大值为;〔3〕的最小值是.证明9. 过椭圆的右焦点作直线交该椭圆右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，那么.证明10. 椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点,那么.11. 设点是椭圆上异于长轴端点的任一点,、是焦点，记，那么(1).(2).12. 设是椭圆的长轴两端点，是椭圆上的一点，, ,，分别是椭圆的半焦距离心率，那么有：(1).(2).(3).13. 椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴，那么直线经过线段的中点.证明14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.证16. 椭圆焦三角形中，点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数(离心率).〔注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点.〕〔角分线定理+合比公式〕17. 椭圆焦三角形中，心将点与非焦顶点连线段分成定比.〔角分线定理〕18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为、外点到椭圆中心的比例中项. 〔角分线定理〕双曲线1. 双曲线〔〕的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时，与交点的轨迹方程是.2. 过双曲线〔〕上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，那么直线有定向且〔常数〕.3. 假设为双曲线〔〕右〔或左〕支上除顶点外的任一点,、是焦点, , ，那么〔或〕.4. 设双曲线〔〕的两个焦点为、,〔异于长轴端点〕为双曲线上任意一点，在△中，记, ,，那么有：.5. 假设双曲线〔〕的左、右焦点分别为、，左准线为，那么当时，可在双曲线上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.6. 为双曲线〔〕上任一点,、是焦点，为双曲线一定点，那么,当且仅当三点共线且和在轴同侧时，等号成立.7. 双曲线〔〕与直线有公共点的充要条件是：.8. 双曲线〔b＞a ＞0〕，为坐标原点，、为双曲线上两动点，且.〔1〕;〔2〕的最小值为;〔3〕的最小值是.9. 过双曲线〔〕的右焦点作直线交该双曲线的右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，那么.10. 双曲线〔〕,是双曲线上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点,那么或.11. 设点是双曲线〔〕上异于实轴端点的任一点,、是焦点，记，那么：(1).(2).12. 设是双曲线〔〕的长轴两端点，是双曲线上的一点，, ,，分别是双曲线的半焦距离心率，那么有：(1).(2).(3).13. 双曲线〔〕的右准线与轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，点在右准线上，且轴，那么直线经过线段的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).〔同上〕(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点).〔同上〕16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为、外点到双曲线中心的比例中项.19. 椭圆上一点，以直线与椭圆交于两点，恒有，那么直线横过证明19. 椭圆，不再椭圆上的一点，过做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于四点，那么四点共圆证明其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(不同时为0)的形式。

3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)，与直线垂直的直线可表示为4、两平行线，间的距离为5、假设直线与直线平行，那么〔斜率〕且〔在轴上截距〕 〔充要条件〕6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆二元二次方程表示圆的充要条件是，且，且7、圆的参数方程：〔为参数〕，其中圆心为，半径为圆的参数方程的主要应用是三角换元：，；，〔〕；8、为直径端点的圆方程；切线长：过圆〔〕外一点引圆的切线的长为：〔〕9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.抛物线焦点弦性质总结30条1. 以为直径的圆与准线相切；2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7.;8. 三点共线；9. 三点共线；10. ；11.〔定值〕；12. ；；13. 垂直平分；14. 垂直平分；15. ；16. ；17.；18. ；19.;20. ;21..22. 切线方程23、是抛物线焦点弦，是的中点，是抛物线的准线，，，过的切线相交于，与抛物线交于点．那么有结论6结论7．结论8 平分．结论9 平分，平分．结论10结论11二)非焦点弦与切线思考：当弦不过焦点，切线交于点时，也有与上述结论类似结果：结论12①，结论13 平分，同理平分．结论14 结论15点平分结论16. z.。