高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第五章 第二节 等差数列课件 文.ppt

第二节 等 差 数 列1.1.等差数列的概念等差数列的概念从第从第2 2项起，每一项与前一项的差是同一个项起，每一项与前一项的差是同一个__________，我们称这样，我们称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的的数列为等差数列，这个常数为等差数列的__________，通常用字，通常用字母母d d表示；定义的表达式为：表示；定义的表达式为：_______________._______________.2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式若等差数列若等差数列{a{an n} }的首项是的首项是a a1 1，公差是，公差是d d，则其通项公式为，则其通项公式为a an n= = _________._________.常数常数公差公差a an+1n+1-a-an n=d(n∈N=d(n∈N+ +) )a a1 1+(n-1)d+(n-1)d3.3.等差中项等差中项如果在如果在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数A A，使，使a,A,ba,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么____叫叫作作a a与与b b的等差中项的等差中项. .4.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式A A已知条件已知条件前前n n项和公式项和公式a a1 1,a,an n，，n nS Sn n=__________=__________a a1 1,d,n,d,nS Sn n=___________=___________5.5.等差数列的性质等差数列的性质（（1 1）在公差不等于零的等差数列）在公差不等于零的等差数列{a{an n} }中，中，m+n=p+qm+n=p+q⇔⇔ __________(m,n,p,q∈N__________(m,n,p,q∈N+ +););______________⇔⇔a am m+a+an n=2a=2ap p(m,n,p∈N(m,n,p∈N+ +).).(2)(2)若若{a{an n},{b},{bn n} }都是等差数列，都是等差数列，k,m∈Rk,m∈R，数列，数列{ka{kan n+mb+mbn n} }为为_____________._____.（（3 3）若）若S Sm m为等差数列的前为等差数列的前m m项和，则项和，则S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m，，S S3m3m-S-S2m2m为为_______________. _____. a am m+a+an n=a=ap p+a+aq qm+n=2pm+n=2p等差等差数列数列等差等差数列数列判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打““√√””或或““×”×”））. .（（1 1）若一个数列从第）若一个数列从第2 2项起每一项与它的前一项的差都是常数，项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列则这个数列是等差数列.( ).( )（（2 2）数列）数列{a{an n} }为等差数列的充要条件是对任意为等差数列的充要条件是对任意n∈Nn∈N+ +，都有，都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2．．( )( )（（3 3）等差数列）等差数列{a{an n} }的单调性是由公差的单调性是由公差d d决定的．决定的．( )( )（（4 4）数列）数列{a{an n} }为等差数列的充要条件是其通项公式为为等差数列的充要条件是其通项公式为n n的一次的一次函数．函数．( )( )（（5 5）等差数列的前）等差数列的前n n项和公式是常数项为项和公式是常数项为0 0的二次函数．的二次函数．( )( )【解析【解析】】（（1 1）错误）错误. .若这些常数都相等，则这个数列是等差数若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列. .（（2 2）正确．如果数列）正确．如果数列{a{an n} }为等差数列，根据定义为等差数列，根据定义a an+2n+2-a-an+1n+1=a=an+1n+1- -a an n，即，即2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2；反之，若对任意；反之，若对任意n∈Nn∈N+ +，都有，都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2，则，则a an+2n+2-a-an+1n+1=a=an+1n+1-a-an n=a=an n-a-an-1n-1＝＝……＝＝a a2 2-a-a1 1，根据定义数列，根据定义数列{a{an n} }为为等差数列．等差数列．（（3 3）正确）正确. .当当d>0d>0时为递增数列；时为递增数列；d=0d=0时为常数列；时为常数列；d<0d<0时为递时为递减数列减数列. .（（4 4）错误．根据等差数列的通项公式，）错误．根据等差数列的通项公式，a an n=a=a1 1+(n-1)d=dn+(a+(n-1)d=dn+(a1 1- -d)d)，只有当，只有当d≠0d≠0时，等差数列的通项公式才是时，等差数列的通项公式才是n n的一次函数，的一次函数，否则不是．否则不是．（（5 5）错误．根据等差数列的前）错误．根据等差数列的前n n项和公式，项和公式， 显然只有公差显然只有公差d≠0d≠0时才是时才是n n的常数项为的常数项为0 0的二的二次函数，否则不是（甚至也不是次函数，否则不是（甚至也不是n n的一次函数，即的一次函数，即a a1 1=d=0=d=0时）．时）．答案：答案：（（1 1））×× （（2 2））√ √ （（3 3））√ √ （（4 4））×× （（5 5））××1 1．在等差数列．在等差数列{a{an n} }中，已知中，已知a a1 1=2=2，，a a2 2+a+a3 3=13=13，则，则a a4 4+a+a5 5+a+a6 6等于等于( )( )(A)40 (B)42 (C)43 (D)45(A)40 (B)42 (C)43 (D)45【解析【解析】】选选B.B.方法一：方法一：a a2 2+a+a3 3=a=a1 1+d+a+d+a1 1+2d=2a+2d=2a1 1+3d=13,+3d=13,又又∵∵a a1 1=2,∴d=3=2,∴d=3，，a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=a=a1 1+3d+a+3d+a1 1+4d+a+4d+a1 1+5d=3a+5d=3a1 1+12d=3+12d=3××2+122+12××3=42.3=42.方法二方法二：：a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=3a=3a2 2=15=15，，∴∴a a2 2=5=5，，d=3,ad=3,a5 5=a=a1 1+4d=14+4d=14，，∴∴a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=3a=3a5 5=3=3××14=42.14=42.2.2.已知已知{a{an n} }是等差数列，且是等差数列，且a a3 3+a+a9 9=4a=4a5 5，，a a2 2=-8=-8，则该数列的公，则该数列的公差差d d是是( )( )(A)4 (B) (C)-4 (D)-14(A)4 (B) (C)-4 (D)-14【【解析解析】】选选A.A.因为因为a a3 3+a+a9 9=4a=4a5 5，所以根据等差数列的性质可得：，所以根据等差数列的性质可得：a a6 6=2a=2a5 5，所以，所以a a1 1+5d=2a+5d=2a1 1+8d.+8d.又因为又因为a a2 2=-8=-8，即，即a a1 1+d=-8+d=-8，所以可，所以可得公差得公差d=4d=4．故选．故选A A．．3 3．． 与与 的等差中项是的等差中项是_____._____.【解析【解析】】 与与 的等差中项为的等差中项为答案：答案：4 4．在等差数列．在等差数列{a{an n} }中，中，a a5 5=10=10，，a a1212=31=31，则该数列的通项公式为，则该数列的通项公式为______.______.【解析【解析】】∵a∵a5 5=a=a1 1+4d,a+4d,a1212=a=a1 1+11d,+11d,∴ ∴ 解得解得∴a∴an n=a=a1 1+(n-1)d=-2+(n-1)+(n-1)d=-2+(n-1)××3=3n-5.3=3n-5.答案：答案：a an n=3n-5=3n-55 5．在等差数列．在等差数列{a{an n} }中，中，d=2d=2，，a a1515=-10=-10，则，则S S1515=_____.=_____.【解析【解析】】由由a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d，得，得-10=a-10=a1 1+(15-1)+(15-1)××2 2，解得，解得a a1 1=-38=-38，，∴∴答案：答案：-360-360考向考向 1 1 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【典例【典例1 1】】（（1 1）（）（20132013··江西师大附中模拟）已知江西师大附中模拟）已知{a{an n} }为等差为等差数列，且数列，且a a7 7－－2a2a4 4＝－＝－1,a1,a3 3＝＝0,0,则公差则公差d d＝＝( )( )(A)(A)－－2 (B) (C) (D)22 (B) (C) (D)2（（2 2）（）（20132013··宁德模拟）设宁德模拟）设S Sn n为等差数列为等差数列{a{an n} }的前的前n n项和，若项和，若a a2 2=1,a=1,a4 4=5=5，则，则S S5 5等于等于( )( )(A)7 (B)15 (C)30 (D)31(A)7 (B)15 (C)30 (D)31（（3 3）（）（20132013··皖北模拟）已知公差不为皖北模拟）已知公差不为0 0的等差数列的等差数列{a{an n} }满足满足a a1 1,a,a3 3,a,a4 4成等比数列，成等比数列，S Sn n为为{a{an n} }的前的前n n项和，则项和，则 的值为的值为______________．．【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）根据已知和等差数列的通项公式得关于）根据已知和等差数列的通项公式得关于a a1 1,d,d的方程组，解方程组即得的方程组，解方程组即得. .（（2 2）根据）根据a a2 2=1,a=1,a4 4=5=5，求出，求出a a1 1,d,,d,再使用求和公式，或者直接使用等差数列性质再使用求和公式，或者直接使用等差数列性质. .（（3 3）根据）根据a a1 1,a,a3 3,a,a4 4成等比数列可得关于成等比数列可得关于a a1 1,d,d的方程，根据这个方程确定的方程，根据这个方程确定a a1 1,d,d的关系即可确定所求的比值．的关系即可确定所求的比值．【规范解答【规范解答】】（（1 1）选）选B B．由．由a a7 7－－2a2a4 4＝－＝－1, a1, a3 3＝＝0,0,得得 得得（（2 2）选）选B B．方法一：由等差数列通项公式得：．方法一：由等差数列通项公式得：5=1+2d,d=2,a5=1+2d,d=2,a1 1=-=-1,S1,S5 5=15.=15.方法二：方法二：（（3 3）设公差为）设公差为d d，则，则(a(a1 1+2d)+2d)2 2=a=a1 1(a(a1 1+3d)+3d)，即，即 解得解得a a1 1=-4d(=-4d(舍去舍去d=0).d=0).答案：答案：2 2【互动探究【互动探究】】本例题（本例题（2 2）中条件不变，则）中条件不变，则S Sn n=______.=______.【解析【解析】】在本例（在本例（2 2）的方法一中已经求解出）的方法一中已经求解出所以所以=n=n2 2-2n.-2n.答案：答案：n n2 2-2n-2n【拓展提升【拓展提升】】1.1.等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项等差数列运算问题的一般求法是设出首项a a1 1和公差和公差d d，然后由，然后由通项公式或前通项公式或前n n项和公式转化为方程（组）求解项和公式转化为方程（组）求解. .2.2.等差数列前等差数列前n n项和公式的应用方法项和公式的应用方法根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式用公式 若已知通项公式，则使用公式若已知通项公式，则使用公式【变式备选【变式备选】】（（20122012··泉州模拟）已知等差数列泉州模拟）已知等差数列{a{an n} }中中, , a a5 5=1,a=1,a3 3=a=a2 2+2,+2,则则S S1111=______.=______.【解析【解析】】由由a a3 3=a=a2 2+2+2，得公差，得公差d=ad=a3 3-a-a2 2=2.=2.由由a a5 5=a=a1 1+4+4××2=12=1，得，得a a1 1=-7=-7，所以，所以答案：答案：3333考向考向 2 2 等差数列的判定等差数列的判定【典例【典例2 2】】（（1 1）若）若{a{an n} }是公差为是公差为1 1的等差数列，则的等差数列，则{a{a2n-12n-1+2a+2a2n2n} }是是( )( )(A)(A)公差为公差为3 3的等差数列的等差数列(B)(B)公差为公差为4 4的等差数列的等差数列(C)(C)公差为公差为6 6的等差数列的等差数列(D)(D)公差为公差为9 9的等差数列的等差数列（（2 2）已知）已知S Sn n为等差数列为等差数列{a{an n} }的前的前n n项和，项和， 求证：数列求证：数列{b{bn n} }是等差数列是等差数列. . 【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）构造新数列）构造新数列{c{cn n} }，使得，使得c cn n=a=a2n-12n-1+2a+2a2n2n，根据，根据c cn+1n+1-c-cn n是否对任意正整数是否对任意正整数n n都等于同一个常数作出判断．都等于同一个常数作出判断．（（2 2）证明）证明b bn+1n+1-b-bn n对任意正整数对任意正整数n n都等于同一个常数，或者利用都等于同一个常数，或者利用等差中项的方法证明任意的三项都成等差数列．等差中项的方法证明任意的三项都成等差数列．【规范解答【规范解答】】（（1 1）选）选C.C.设设{a{an n} }的公差为的公差为d d，则，则d=1.d=1.设设c cn n=a=a2n-1 2n-1 +2a+2a2n2n，则，则c cn+1n+1=a=a2n+12n+1+2a+2a2n+22n+2，，∴∴c cn+1n+1-c-cn n=a=a2n+12n+1+2a+2a2n+22n+2-a-a2n-12n-1- -2a2a2n2n=6d=6=6d=6，故选，故选C C．．（（2 2）设等差数列）设等差数列{a{an n} }的公差为的公差为d d，，方法一：方法一： （常数）（常数）, ,∴∴数列数列{b{bn n} }是等差数列是等差数列. .方法二方法二：：=2a=2a1 1+nd=2b+nd=2bn+1n+1. .因此因此b bn+2n+2-b-bn+1n+1=b=bn+1n+1-b-bn n=b=bn n-b-bn-1n-1= =……＝＝b b2 2-b-b1 1, ,∴∴数列数列{b{bn n} }是等差数列是等差数列. .【拓展提升【拓展提升】】等差数列的四个判定方法等差数列的四个判定方法（（1 1）定义法：证明对任意正整数都有）定义法：证明对任意正整数都有a an+1n+1-a-an n等于同一个常数等于同一个常数. .（（2 2）等差中项法：证明对任意正整数都有）等差中项法：证明对任意正整数都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2后，可后，可递推得出递推得出a an+2n+2-a-an+1n+1=a=an+1n+1-a-an n=a=an n-a-an-1n-1=a=an-1n-1-a-an-2n-2= =……＝＝a a2 2-a-a1 1，根据定，根据定义得出数列义得出数列{a{an n} }为等差数列为等差数列. .（（3 3）通项公式法：得出）通项公式法：得出a an n=pn+q=pn+q后，得后，得a an+1n+1-a-an n=p=p对任意正整数对任意正整数n n恒成立，根据定义判定数列恒成立，根据定义判定数列{a{an n} }为等差数列为等差数列. .（（4 4）前）前n n项和公式法：得出项和公式法：得出S Sn n=An=An2 2+Bn+Bn后，根据后，根据S Sn n,a,an n的关系，得的关系，得出出a an n，再使用定义法证明数列，再使用定义法证明数列{a{an n} }为等差数列．为等差数列．【提醒【提醒】】等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前对于通项公式和前n n项和公式的方法主要适合在选择题中简单项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断．判断． 【变式训练【变式训练】】设设S Sn n为数列为数列{a{an n} }的前的前n n项和，项和，S Sn n=pna=pnan n(n∈N(n∈N+ +) )，，a a1 1≠0.≠0.(1)(1)求常数求常数p p的值的值. .(2)(2)求证：数列求证：数列{a{an n} }是等差数列是等差数列. .【解析【解析】】(1)∵S(1)∵Sn n=pna=pnan n,a,a1 1≠0≠0，，∴∴a a1 1=pa=pa1 1⇒ ⇒p=1.p=1.(2)(2)由由(1)(1)知：知：S Sn n=na=nan n，，当当n≥2n≥2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=na=nan n-(n-1)a-(n-1)an-1n-1, ,整理可得整理可得(n-1)(a(n-1)(an n-a-an-1n-1)=0,)=0,a an n-a-an-1n-1=0(n≥2)=0(n≥2)，，∴∴数列数列{a{an n} }是等差数列是等差数列. .考向考向 3 3 等差数列的性质及最值的应用等差数列的性质及最值的应用【典例【典例3 3】】（（1 1）（）（20122012··辽宁高考）在等差数列辽宁高考）在等差数列{a{an n} }中，已知中，已知a a4 4+a+a8 8=16=16，则该数列前，则该数列前1111项和项和S S1111=( )=( )(A)58 (B)88 (C)143 (D)176(A)58 (B)88 (C)143 (D)176（（2 2）在等差数列）在等差数列{a{an n} }中中, a, a3 3+a+a7 7=37,=37,则则a a2 2+a+a4 4+a+a6 6+a+a8 8=_____.=_____.（（3 3）（）（20132013··天津模拟）已知在等差数列天津模拟）已知在等差数列{a{an n} }中，中，a a1 1=31=31，，S Sn n是它的前是它的前n n项的和，项的和，S S1010=S=S2222. .①①求求S Sn n；；②②这个数列前多少项的和最大？求出这个最大值这个数列前多少项的和最大？求出这个最大值. 【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）利用等差数列的性质及）利用等差数列的性质及 求解求解. .（（2 2）根据等差数列性质整体求解）根据等差数列性质整体求解. .（（3 3））①①利用等差数列的性质求解；利用等差数列的性质求解；②②利用二次函数思想或利用邻项变号法解决．利用二次函数思想或利用邻项变号法解决．【规范解答【规范解答】】（（1 1）选）选B.B.由于由于{a{an n} }为等差数列，所以为等差数列，所以a a1 1+a+a1111=a=a4 4+a+a8 8=16,=16,所以所以（（2 2）由等差数列的性质可知）由等差数列的性质可知a a2 2+a+a8 8=a=a4 4+a+a6 6=a=a3 3+a+a7 7=37,=37,所以所以a a2 2+a+a4 4+a+a6 6+a+a8 8=37=37××2=74.2=74.答案：答案：7474（（3 3））①∵①∵S S1010=a=a1 1＋＋a a2 2＋＋……＋＋a a1010 ，，S S2222= a= a1 1＋＋a a2 2＋＋……＋＋a a2222，又，又S S1010= S= S2222，，∴∴a a1111＋＋a a1212＋＋……＋＋a a2222=0=0，， 即即a a1111＋＋a a2222=2a=2a1 1＋＋31d=0, 31d=0, 又又a a1 1＝＝3131，，∴ ∴ d d＝－＝－2 2，，∴∴②②方法一：由方法一：由①①中可知中可知S Sn n=32n=32n－－n n2 2=-=-（（n-16n-16））2 2+256+256，，∴∴当当n n＝＝1616时，时，S Sn n有最大值，有最大值，S Sn n的最大值是的最大值是256256．． 方法二方法二：可得：可得a an n=-2n+33.=-2n+33.由由a an n=-2n+33≥0=-2n+33≥0，得，得由由a an+1n+1=-2n+31≤0,=-2n+31≤0,得得又又n n为正整数，所以当为正整数，所以当n=16n=16时，时，S Sn n有最大值有最大值256.256.【拓展提升【拓展提升】】1.1.等差数列的性质等差数列的性质（（1 1）项的性质：在等差数列）项的性质：在等差数列{a{an n} }中，中，a am m-a-an n=(m-n)d=(m-n)d⇔⇔ (m≠n (m≠n) )，其几何意义是点，其几何意义是点(n,a(n,an n) )，，(m,a(m,am m) )所在直线的斜率等于所在直线的斜率等于等差数列的公差．等差数列的公差．（（2 2）和的性质：在等差数列）和的性质：在等差数列{a{an n} }中，中，S Sn n为其前为其前n n项和，则项和，则①①S S2n2n=n(a=n(a1 1+a+a2n2n)=)=……＝＝n(an(an n+a+an+1n+1) )；；②②S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n. .2.2.解等差数列的解等差数列的S Sn n最值问题的两种方法最值问题的两种方法（（1 1）函数法：利用等差数列前）函数法：利用等差数列前n n项和的函数表达式项和的函数表达式S Sn n=an=an2 2+bn+bn，，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解. .（（2 2）邻项变号法：）邻项变号法：①①a a1 1>0,d<0>0,d<0时，满足时，满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取得最大值为取得最大值为S Sm m；；②②当当a a1 1<0,d>0<0,d>0时，满足时，满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取得最小值为取得最小值为S Sm m．．【变式训练【变式训练】】（（1 1）等差数列）等差数列{a{an n} }前前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知a a1 1=13,S=13,S3 3=S=S1111，当，当S Sn n最大时，最大时，n n的值是的值是( )( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【解析【解析】】选选C.C.方法一：方法一：S S3 3=S=S1111得得a a4 4+a+a5 5+ +……+a+a1111=0=0，根据等差数列，根据等差数列性质可得性质可得a a7 7+a+a8 8=0=0，根据首项等于，根据首项等于1313可推知这个数列递减，从而可推知这个数列递减，从而得到得到a a7 7>0,a>0,a8 8<0<0，故，故n=7n=7时，时，S Sn n最大．最大．方法二：由方法二：由S S3 3=S=S1111可得可得3a3a1 1+3d=11a+3d=11a1 1+55d+55d，把，把a a1 1=13=13代入得代入得d=-2d=-2，，故故S Sn n=13n-n(n-1)=14n-n=13n-n(n-1)=14n-n2 2，根据二次函数性质，当，根据二次函数性质，当n=7n=7时，时，S Sn n最最大大. .方法三：根据方法三：根据a a1 1=13,S=13,S3 3=S=S1111，知这个数列的公差不等于零，知这个数列的公差不等于零. .由由于于S S3 3=S=S1111说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减. .根根据公差不为零的等差数列的前据公差不为零的等差数列的前n n项和是关于项和是关于n n的二次函数，以及的二次函数，以及二次函数图像的对称性，当二次函数图像的对称性，当S S3 3=S=S1111时，只有时，只有 时，时，S Sn n取得最大值．取得最大值．（（2 2）已知等差数列）已知等差数列{a{an n} }满足满足a a2 2=3,S=3,Sn n-S-Sn-3n-3=51(n=51(n＞＞3),S3),Sn n=100,=100,则则n n的值为的值为( )( )（（A A））8 8 （（B B））9 9 （（C C））10 10 （（D D））1111【解析【解析】】选选C.C.根据已知的两个条件列出方程，注意其中根据已知的两个条件列出方程，注意其中S Sn n-S-Sn-3 n-3 =51(n=51(n＞＞3)3)就是就是a an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,这个结果就是这个结果就是3a3an-1n-1, ,由此得由此得a an-1n-1=17=17，这样，这样a a2 2+a+an-1n-1=a=a1 1+a+an n=20=20，使用等差数列的求和公式，使用等差数列的求和公式 由由 解得解得n=10.n=10.【满分指导【满分指导】】解答等差数列的综合题解答等差数列的综合题【典例【典例】】(12(12分分) )（（20132013··郑州模拟）设等差数列郑州模拟）设等差数列{a{an n} }的前的前n n项项和为和为S Sn n, ,且且 (c(c是常数，是常数，n∈Nn∈N+ +),a),a2 2=6.=6.(1)(1)求求c c的值及数列的值及数列{a{an n} }的通项公式的通项公式. .( (2 2) )设设 求求T Tn n. . 【思路点拨【思路点拨】】 已知条件已知条件条件分析条件分析令令n=1n=1表示出表示出a a1 1令令n=2n=2表示出表示出a a2 2a a2 2=6=6求出求出c c的值的值表示出表示出T Tn n, ,再根据项的再根据项的特点采用相应的求和方法特点采用相应的求和方法 【规范解答【规范解答】】（（1 1）因为）因为所以所以当当n=1n=1时，时， ①①解得解得a a1 1=2c.=2c.………………………………………………………………………………………………………… 2 2分分当当n=2n=2时，时，S S2 2＝＝a a2 2+a+a2 2-c,-c,即即a a1 1+a+a2 2=2a=2a2 2-c-c, ,②②解得解得a a2 2=3c,=3c,所以所以3c=6,3c=6,解得解得c=2.c=2.………………………………………………………………4 4分分则则a a1 1=4,=4,数列数列{a{an n} }的公差的公差d=ad=a2 2-a-a1 1=2,=2,所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=2n+2.+(n-1)d=2n+2.………………………………………………………………………… 6 6分分(2)(2)因为因为 ③③…………………………………………………………………………………………………………………………………… 7 7分分所以所以 ………………………………………………9 9分分 即即 ……………………………………………………1212分分【失分警示【失分警示】】 （下文（下文①②③④①②③④见规范解答过程）见规范解答过程）1.(20121.(2012··福建高考福建高考) )等差数列等差数列{a{an n} }中，中，a a1 1+a+a5 5=10,a=10,a4 4=7,=7,则数列则数列{a{an n} }的公差为的公差为( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析【解析】】选选B.B.由等差中项的性质知由等差中项的性质知又又∵∵a a4 4=7,∴d=a=7,∴d=a4 4-a-a3 3=2.=2.2.2.（（20122012··浙江高考）设浙江高考）设S Sn n是公差为是公差为d d（（d≠0d≠0）的无穷等差数列）的无穷等差数列{a{an n} }的前的前n n项和，则下列命题错误的是项和，则下列命题错误的是( )( )(A)(A)若若d d＜＜0 0，则数列，则数列{S{Sn n} }有最大项有最大项(B)(B)若数列若数列{S{Sn n} }有最大项，则有最大项，则d d＜＜0 0(C)(C)若数列若数列{S{Sn n} }是递增数列，则对任意是递增数列，则对任意n∈Nn∈N+ +，均有，均有S Sn n>0>0(D)(D)若对任意若对任意n∈Nn∈N+ +，均有，均有S Sn n>0>0，则数列，则数列{S{Sn n} }是递增数列是递增数列【解析【解析】】选选C.CC.C项显然是错的，举出反例：项显然是错的，举出反例：-1-1，，0 0，，1 1，，2 2，，3 3，，……．满足数列．满足数列{S{Sn n} }是递增数列，但是是递增数列，但是S Sn n＞＞0 0不恒成立．不恒成立． 3.3.（（20132013··南昌模拟）在等差数列南昌模拟）在等差数列{a{an n} }中，中，3(a3(a3 3+a+a5 5)+2(a)+2(a7 7+ +a a1010+a+a1313)=48)=48，则等差数列，则等差数列{a{an n} }的前的前1313项的和为项的和为( )( )(A)104 (B)52 (C)39 (D)24(A)104 (B)52 (C)39 (D)24【解析【解析】】选选B.B.根据等差数列性质与已知得根据等差数列性质与已知得6a6a4 4+6a+6a1010=48,=48,即即a a4 4+a+a1010=8,=8,4.4.（（20122012··北京高考）已知北京高考）已知{a{an n} }是等差数列，是等差数列，S Sn n为其前为其前n n项项和．若和．若 则则a a2 2=______=______，，S Sn n=______=______．．【解析【解析】】∵S∵S2 2=a=a3 3⇒ ⇒a a1 1+a+a2 2=a=a3 3⇒ ⇒a a1 1+a+a1 1+d=a+d=a1 1+2d+2d⇒ ⇒d=ad=a1 1= =∴a∴a2 2=a=a1 1+d=1,+d=1,答案：答案：1 15.5.（（20122012··广东高考）已知递增的等差数列广东高考）已知递增的等差数列{a{an n} }满足满足a a1 1=1=1，，a a3 3=a=a2 22 2-4-4，则，则a an n=______=______．．【【解析解析】】由由a a3 3=a=a2 22 2-4-4得到得到1+2d=(1+d)1+2d=(1+d)2 2-4-4，即，即d d2 2=4=4，因为，因为{a{an n} }是是递增的等差数列，所以递增的等差数列，所以d=2d=2，，故故a an n=2n-1=2n-1．．答案：答案：2n-12n-11.1.若若lg 2,lg(2lg 2,lg(2x x-1),lg(2-1),lg(2x x+3)+3)成等差数列，则成等差数列，则x x的值等于的值等于( )( )(A)1 (B)0(A)1 (B)0或或32 (C)32 (D)log32 (C)32 (D)log2 25 5【【解析解析】】选选D.lg 2+lg(2D.lg 2+lg(2x x+3)=2lg(2+3)=2lg(2x x-1),2(2-1),2(2x x+3)+3)＝（＝（2 2x x-1)-1)2 2，，即即(2(2x x) )2 2-4-4··2 2x x-5=0,∴2-5=0,∴2x x=5,=5,则则x=logx=log2 25.5.2 2．在函数．在函数y y＝＝f(xf(x) )的图像上有点列的图像上有点列(x(xn n，，y yn n) )，若数列，若数列{x{xn n} }是等是等差数列，数列差数列，数列{y{yn n} }是等比数列，则函数是等比数列，则函数y y＝＝f(xf(x) )的解析式可能的解析式可能为为( )( )(A)f(x(A)f(x) )＝＝2x2x＋＋1 (B)f(x)1 (B)f(x)＝＝4x4x2 2(C)f(x(C)f(x) )＝＝loglog3 3x (D)x (D)【解析【解析】】选选D.D.对于函数对于函数 上的点列上的点列(x(xn n，，y yn n) )，有，有 由于由于{x{xn n} }是等差数列，所以是等差数列，所以x xn n＋＋1 1－－x xn n＝＝d d，因此，因此 这是一个与这是一个与n n无关的非零常数，故无关的非零常数，故{y{yn n} }是等比数列．故选是等比数列．故选D.D.。