高中数学—08—多面体的表面积与体积—教师版.docx

教师日期学生课程编号课型预习课题多面体的表面积与体积教学目标1. 掌握棱拄、棱锥侧面积的计算方法；2. 掌握棱拄、棱锥体积的计算方法.教学重点1. 掌握棱拄、棱锥侧面积的常见类型的计算方法；2. 掌握棱柱、棱锥体积的常见类型的计算方法.教学安排版块时长1知识梳理102例题解析603巩固训练304师生总结205课后练习30多面体的表面积和体积1、 多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体2、 棱柱（1） 定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的 底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个 底面间的距离叫做棱柱的高2） 基本性质:侧面都是平行四边形;两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形3） 棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做 直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱直棱柱侧面都是矩形；直棱柱侧棱 与高相等；正棱柱的侧面都是全等的矩形底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面 体；底面是矩形的直棱柱是长方体。

4） 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平 面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等5） 侧面积和体积公式：S侧二Cl（ C为垂直于侧棱的直截面的周长，l为侧棱长）， V = Sh（ S为底面面积，h为高）3、 棱锥（1） 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的多面体叫做棱锥棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧 面相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶 点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高2） 基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面 分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点 到截面与顶点到底面的距离平方之比4、 正棱锥（1） 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱 锥叫做正棱锥；（2） 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高 在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形1 面积与体积：S = S + S ， V = — Sh。

表 底 侧 3例题解析1、多面体的表面积【例1】(1)棱柱的侧面是 形；⑵直棱柱的侧面 形；⑶正棱柱的侧面 形；⑷正棱锥的侧面是 形；⑸S直棱柱侧 ；其中⑹正棱锥的侧面积公式是 ；其中 .【难度】★1【答案】平行四边;矩;全等的矩;全等的等腰三角ch，是底面周长h是直棱柱的高；* = — ch”全 2c是底面周长，h'是棱锥的斜高.【例2】三棱锥V-ABC中，AB=AC = 10, BC=12，各侧面与底面成的二面角都是45°,求三棱锥 的高及侧面积？【难度】★★【答案】取BC中点M，连接AM , 0 AB = AC = 10:.AM 丄 BC, AM = 8, S = - BC - AM = 48AABC 2S —各侧面与底面成的二面角都是45°,设二面角e，cose二学Be S二4趺2 ；S 侧侧 b设VP丄面ABC于P，各侧面与底面成的二面角都是45°,即P是AABC的内心，设半径为R，则S = -(BC + AB + AC) R = 16 R = 48 , . R = 3 , .VP = R tan45o = 3AABC 2【例3】如图，已知正三棱柱ABC- A'B'C'的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点人］的最短路线的长为」 cm .【难度】★★【答案】13【解析】根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52 + 122 = 13 (cm ).【例4】三棱锥P — ABC中，PA = 4 ,ft 6PB = PC = AB = BC = CA = 3求该棱锥的表面积.【难度】★★【解析】取BC中点D，连结PD、AD故BC丄平面PAD。

在正三角形PBC中,•* PB = PC，•: PD 丄 BC同理, PD =厘3，同理 AD = 3:32 21PB【答案】923+4,5 取 PA 中点 M，连结 DM，则 DM 丄 PA•： DM ^ PD2 — PM2 =卫12° 1 , ^'11 匚SNPAD = 2 X 4「八 11又 SAPBC = SAABC =晋，连结 BM，CM，BM 八5，•: SABPA = SACPA =【例5】正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，求它的全面积.【难度】★★ 【答案】呼a2【例6】如左图，已知正方体的棱长为a，沿图中对角面将它分割成两个部分，拼成如右图的平行六( )面体，则平行六面体的全面积为A. (8 + 2运)a2B. (2 + 442)a2C. (4 + 2込、a2D. (6 — 4运)a2【难度】★★【答案】C【例7】斜三棱柱ABC - AiBiCi的底面是等腰三角形ABC，AB = AC = IBC = 12，棱柱顶点Ai 到A、B、C三点的距离相等，侧棱长是13,求它的侧面积.1难度】★★★【答案】396【解析】取BC中点D，连结AD ,则AD BC作A# 底面ABC，垂足为0,则点0在AD上。

AB・•・BC AA1 BC BB1，即侧面BBgg为矩形取AB中点E ,V A1A A”，・°・A*由 AE 5， AA 13，得 AE 12°・S 初 一 2^^ R 12 13 2 10 12 3961 侧| BB C C AA B B1 1 1 115, AA]【例8】有两个相同的直三棱柱，高为2,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a 0)用它们拼 a成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，贝U a的取值范围是【难度】★★【答案】0 a【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三 棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就 是边长为5a的边重合在一起，表面积为24 a2 +28,三棱柱有两种，边长为4a的边重合在一起， 表面积为24 a2 +32,边长为3a的边重合在一起， 表面积为24 a2 +36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为12 a2 +48最小的是一个四棱柱，这说明■7524a2 28 12a2 48 12a2 20 0 a3【巩固训练】1.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 ()A.三棱锥 B.三棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥【难度】★【答案】D2．正四棱锥的侧棱和底面边长都是 a ，则它的全面积是 难度】答案】3．正方体的八个顶点中有四个恰为一个正四面体的顶点，则正方体的全面积与该正四面体的全面积之比为A．2/33D．【难度】★★【答案】C4 •斜三棱柱ABC-ABC的底面是正三角形，侧棱 AA和棱AB , AC所成的角都是60。

若1 1 1 1AB = 73, AA] = 3，则此三棱锥的全面积为 .【难度】★★9 9 l【答案】+ 32 25•已知长方体ABCD - ABC D中，AB = 5, AA = 4, AD = 3,从点A出发沿着表面运动到C的最1 1 1 1 1 1短路线长是多少？【难度】★★【答案J <'746.如图，在正四棱柱ABCD 一 ABC D 中, AB=1, AA二<3，点E为AB上的动点，则DE + CE 1111 1 1的最小值为( )A. 2迈 B.、；10 C.活 +1 D. 2 +、2【难度】★★【答案】 B【解析】将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面ABC1D1内成为正方形ABC2D2，在矩形C1D1D2C2 中连接D1C2，与AB的交点即为所求最小值点E,此时D1E+CE=D1C2.因为对角线BC1=2,C1C2=3，故 DC = JDC2+ CC 2 = <12 + 32 =近0.1 2 1 1 1 2BACA0bi—7.如图是某几何体的二视图（单位：m）,则其表面积为 m2.【难度】★★★［答案】80 +16耳，2 +16^：32、多面体的体积【例9】（1）两个等底等高的棱柱体积之间的关系 ；⑵等底等高的三棱锥体积是三棱柱体积的 ；⑶一个n棱锥（n > 3 ）,可以分割成与原棱锥共顶点且等高的 个三棱锥；⑷棱锥的体积公式是 ；其中 ;⑸三棱锥的三个侧面两两垂直，其面积分别为S、S、S，则该三棱锥的体积为 123【难度】★1 1 1 【答案】相等；3 ； n — 2 ； V = 3 sh , s是底面面积，h是咼；3^，2S1S2S3 .【例10】正方体ABCD — ABC D棱长为a ,1111(1) 三棱锥B — ABC的体积V ；1 1 1 1(2) 三棱锥D — AB C的体积V ；1 1 2(3) 四棱锥E — A BCD的体积V3.1 1 3【难度】★★【答案】(1) a3 ； (2)竺；(3)竺6 3 6E，F分别是BB1,乞的中点•求【例11】已知正四面体的棱长为a，求(1) 此正四面体的咼和斜咼；(2) 此正四面体的体积和表面积；(3) 侧面和底面所成二面角的大小；【难度】★★【答案】⑴冷6a,斗a(2)害a3,、；'3a ；(3)arctan 2\ 2 ；⑷arcsin 色(4) 侧棱和底面所成角的大小.飞h2 +(鋼+ a2，解之，得律=4 SAPBC + SABCD【例12】用一块钢锭浇注一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器(如图)，设容 器的高为h米，盖子边长为a米.(1) 求a关于h的函数解析式a = f (h)；(2) 设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值(不计容器的厚度).难度】★★答案】见解析【解析】作PO丄平面ABCD，垂足为O。

作OE丄BC于E，连结PE ・c 」…2 = 4•— a2a = f (h) = (h > 0)1 + h v =丄a2h =丄•丄=丄•丄 < 丄，当且仅当h = 1时等号成立 3 3 1 + h2 3 丄 + h 6即棱锥的高为1米’底面边长为予米时，Vmax= 6立方米例13】三棱锥P — ABC中，PA = PB = PC = BC = a，且PB与底面ABC成60o角.(1) 求证AABC是直角三角形;(2) 求该三棱锥体积的最大值.【难度】★★【答案】见解析【解析】(1)设P在底面的射影为O，则O为AABC的外心，且ZPBO = ZPCO = 60•: OB =OC = -。