陈建功 二十世纪的数学教育.doc

二十世纪的数学教育[文：陈建功来源：人民教育出版社] 编者按：我们即将跨入二十一世纪，在未来的新世纪中我国的数学教育必将会呈现新的面貌然而新面貌不会自然产生，它需要我们理性的思考和积极的实践数学教育改革中，历史的经验值得注意，有识之士的意见是宝贵的 　　陈建功先生（1893—1971）是我国现代数学家和数学教育家，中国科学院院士（原学部委员）他的《二十世纪的数学教育》一文，发表于1952年2月的《中国数学杂志》（1953年后该杂志改名为《数学通报》）第一卷第二期，当时正是新中国成立初期百废待兴的年代在这篇文章中，作者怀着“切望我国的数学教育有更新的革新”的殷切心情，“以中等学校的数学为核心”，对二十世纪数学教育的原则，以及数学教学内容的改革等重要问题，提出颇有见地的意见　　在世纪之交，重读陈先生的《二十世纪的数学教育》一文，对于迎接二十一世纪的数学教育十分有益　　此地所说数学教育，以中等学校的数学为核心；关于高等学校方面的数学，和小学校的算术教育，不预备在此地有所详述本文说数学教育，以二十世纪的数学教育为主，读了下文，自然明白他山之石，可以攻玉”，把外国的数学教育，罗罗嗦嗦说了许多的话。

笔者切望着我国的数学教育有更一进步的革新　　支配数学教育的目标、材料和方法，有三大原则：　　实用性原则数学在日常生活中已见其有其实用价值的；如土地改革运动中的分田量地问题，关于买卖、租税、保险、奖券的计算；酒瓶的容量，箱子的体积，都是数学的应用不但如是，数学也是物质支配和社会组织之一武器，对于自然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展，都是需要数学的假如数学没有实用，它就不应该列入于教科之中　　论理的原则然而仅仅乎实用原则，不足以支配整个的数学教育数学具有特殊的方法和观念，组成有系统的体系数学并不是公式的堆垒，其所用之方法，也具有教育上的价值　　断片的推理，不但见诸任何学科，也可从日常有条理的谈话得之但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科数学具有这样的教育价值，称之为论理的价值，是为说理的原则假如把数学当做图形集成或公式采编看待，忽视其方法和构造，那未，对于自然支配、社会组织，不但不成为一种武器，有时且成为有害的东西──例如将数学机械的乱用，导出不合理的结果忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀　　心理的原则然则上述两原则足够决定数学教育的本质么？当然还不够条件教材的内容，对于学生宜富于兴趣；枯燥无味的东西，决不能充作教材；于是乎有心理的原则。

成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的青年所满足法国数学家H普安格勒（Poincare）曾经说道：“有某教师在课室中，令学生们笔记‘圆周者，平面上于一定点等距离之点之轨迹也，’忠实的学生，记下来了；顽皮的学生，不但无兴趣去记，甚至写些别的不相干的东西事实上，不论那一种学生，都尚未了解圆周为何物后来，教师用粉笔作圆于黑板上，全班学生方才明白‘圆周原来是一个圆圈’科学家A哀思坦（Einstein）也说道：“学生仅管对于数学以外的事物，具有才能，对于数学可以朦昧无知此种实情，其责任恐不能完全归之于学生，甚至可以完全可以归罪于教师吾人应该站在学生的立场；顺应学生的心理发展去教育学生，才能满足他们的真实感某些教材,虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值,假使学生不发生任何真实感,就心理的原则而言,这些教材,简值是没有教育的价值　　三原则之统一上述三原则应该综合统一而不应该对立然则统一之关键何在?是必须先就学生生活的环境中,使其易于接触易于理解且有实用价值的事物出发,以向论理的途径进行所以心理性和实用性应该是论理性的向导,选择教材不应该先将实用性和论理性分别采取,然后合拢;这样勉强凑成的教材，是支离破裂的。

把数学的观念和方法运用于实际应用问题时，理论上的疑问,自然油然而生;岂可以预先制成生硬的数学理论,强求适合于实用!　　数学和其他的学科,并没有什么大不相同的地方,因为他常常伴着生产力、技术发展开来的对于古代数学的发生,恩格斯(Engels)曾经说过:“季节的知识老早对于农业种族或游牧民族，已经绝对需要天文学没有数学的帮助，是无从发展起来的所以在这‘古代，已经有了数学农业发达到某阶段，因灌溉法之改进、都市之发达、航海的需要，力学跟着发生，力学没有数学的帮助，无由长足进展此不独在数学的诞生期为然，无论在什么时代，数学常常伴着自然科学技术、社会科学发展而发展　　数学教育家能（Nunn）说的：“数学的真理具有两面其一面的数学真理，向时（间）空（间）的实在世界进展而与之接触还有一面的数学真理，在数学的内部，相互对应，保持联系数学史就是把这两面真理的不断的发展，叙述其经过情形这两面的发展，并非互相独立，此未曾离彼，彼变未曾离此今后的数学恐也是这样，两面不曾分道扬镳，各自存在所以数学教育，应该使学生认清数学的发展，具有上述两重意义数学是物质的征服和社会的组织之一武器，同时是一有秩序的论理体系　　统一了上述三原则，以调和的精神，选择教材，决定教法，实践的过程，称之为数学教育。

二十世纪以前的数学教育数学教育并不是一种幻想，乃是实践数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的一种文化形式，自然具有历史性就欧洲而言，其在奴隶社会制的古代希腊，支配阶级鄙视实践的计算术，和直觉的实践几何；重视他们所谓“和行动没有关系的真科学”──就是数论──和“抽象的”几何学，岂不是太偏重于论理性！在中世纪封建社会，教育为个人所支配，数学教育成为宗教的奴隶事实上，此时数学教育，偏重于低级的实用性──与生产和科学脱离的宗教上的实用性文艺复兴而后，工商业加速度的进展；生产力之发展，促成自然科学的发达，因此发生机械论的唯物论所以十七、十八世纪的数学教育，自然强调实用性经过法兰西大革命，巴黎成为欧洲文化的中心，因时代的要求，“一般陶冶”的话头，逐渐流行；中等教育不能专为牧师（神学）和律师（法学）的预备教育，重视所谓“一般陶冶”其特色是将数学和近世语添入教科之中　　数学占了普遍教育的一科，是从十八世纪开始的，所以严格的说：数学教育萌芽于十八世纪但是，数学教授的内容，大部分是“理论数学”；应用方面的数学，意识的为所排斥究其实际，他的内容也是限于希腊时代至十七世纪间的数学；这个状态一直延长到十九世纪之末。

十九世纪的数学，虽然非常进展，然而它并没有促成数学教育的改进，因此，十九世纪的数学教育，和近代的科学（十九世纪的科学），社会的生活，几乎没有关系相反地，因入学考试的准则和其他种种考试的准则，数学难题的教授，和脱离实际的理论，成了数学教材的核心事实上，当时所采用的几何学课本，就是尤克立特<1>几何原本最初数章；代数学和三角法，是将专门的材料，压缩而成的，太古太多，脱离实际需要当时的物理化学等自然科学等教材，已能推陈出新；然而保守的数学，不改旧态　　到了十九世纪之末，近代科学的急速发达和各国产业的进展，经济的、社会的、思想的，给人们的生活状态以重大的变动无产阶级的解放运动，从而开始了中等教育的内容，不能不有所更变　　数学教育改造的先声保守的英国，她的几何学教本，一直沿用尤克立特的几何原本教师们视“原本”如“圣书”，不硕苟且改变其一字一句；不但学生觉得干燥无味，教师也觉得痛苦非常；改良之声渐起，到了1870，组织了“几何学教授改良协会”（2），制定几何学要目其结果，不过是一种微温的刷新；这也无怪其然，因为他们（协会会员）主张要不失原本精神和体裁，制定原本最初六卷的要目他们最大的难题是“如何改造原本第五卷的比例论”──比例论是原本中最壮丽的部分。

尼克宋的“改良尤克立特”（3）一书，在中国颇有流传，就是依“协会”的精神写成的几何学　　此协会到了1897年，改名为“英国数学协会”，以The Mathematical Gazette做他的机关杂志，登载关于教学教育的种种事情　　数学教育彼利运动数学教育改革的首创者，应该说是英国的J.彼利（J.Perry1850—1920）彼利幼时做过学徒（1864—68），锻冶工场的工人（1868—70），苦学的当中，曾经旁听汤姆生的讲义（4）彼利体验了劳动者的生活，努力于劳动者智识之增进；后来做了伦敦国际理学院力学及数学的教授，于1901年在英国科学协会，作启蒙的改造讲演彼利主张的精神，是在数学的实践性，不光是说些教授的技巧他对于数学的见解，并不是将抽象的数学理论，如何应用于自然现象或社会现象的说明；相反地，从自然现象或社会现象，由实践发见数学的法则，这是彼利所说的数学上述彼利1901的讲演，在数学教育史中，是划时代的其讲演纲要及其检讨，可以看彼利所著的书：　　Discussion on the Teaching of Mathematics(Macmillan&co.1902).　　彼利的意见，仍对于向来的难题“如何教授几何学？”集中，其要点如下：　　（一）完全脱离尤克立特原本的形态，　　（二）极度重视实验几何，　　（三）强调几何的实用部分，　　（四）注重立体几何，　　（五）重视实用的种种测定，　　（六）多用格子纸。

　　这次讲演的结果，自古认为经典的“原本”就因此废除这时新型的教科书有　　Godfrey and Siddons,Shorter Gaomestry(1912),　　Godfrey andS iddons,Elementary Algebra(1912)　　彼利在总结小组讨论会的报告，指出了下列几点全体一致的意见：　　（一）几何学的实验和实测应该是证明的前提，然而也可以稍稍利用演绎法　　完成其说明　　（二）可采用的实验法，应由教师自己决定，随机应变，　　（三）小学在算术初步，就应该使用，　　（四）式子的数字计算，应该熟练；因此可使学生明了种种记号的意义　　（五）指数法则一经教懂，应该马上授以对数和对数表的用法，　　（六）教材的顺序和教法应由教师灵活运用，不可呆板　　法国的学制改革彼利的改革运动，影响及于国际数学教育但是，法国　　在彼利运动以前，代数与几何，已经有融合教授的倾向，所以受彼利运动的刺激，不太利害不但如是，法国十九世纪出版的几何书，如　　A．M．Legendre的Elements de Geometric（其第十二版在1923发行），其内容已经和“原本”大不相同，又如鲁雪（5）和康勃露色（6）合著的初等几何学（7），一直到现在，还不失为一部很好的书。

但是，法国数学教育，并非毫无问题；对于考试制度的预备教育，大有使中等教育专门化的倾向彼利讲演的第二年──1902──法国政府将中等教育制度全部革新数学教育因此大加改良，将日常生活有关系的部分增多，又将高深的部分平易化，重视直视的几何和函数的概念巴黎大学的数学教授E.波赖尔（8），依照这个趣旨，编了一套出色的教科书；算术、代数、几何、三角，都在1903年出版波赖尔报告法国中学生用了波赖尔的教科书，兴味大增，成绩极优这一套教科书有德文和日文的译本　　德国的新主义数学运动法国1902的学制改革和英国1901彼利时期的讲演，自然冲动了德国学界德国的硕学──几何学大家──克来茵（9）不以大学教员不与闻中等教育为然，曾于1904年在自然科学会议席上，作一次讲演表题“对于中学数学和中学物理的注意”克来茵又作成文科中学的教授要目，于1904至1905在苟丁根大学作长期的讲演，说明他的课程方案这是德国新主义数学的原动力德国中学教师，1905年在梅兰（Meran）举行数学物理教授协会，作成教材要目大纲──梅兰要目这个梅兰要目，就是以克来茵的方案做骨子的，较诸说克来茵原案，虽然稍为温和，然而比较过去的情形，已经出色，现在将其要点，写在下面：　　（一）顺应学生心意自然的发达，排列教材，。