两点之间的距离公式和最短路线问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,18.3,两点之间的距离公式,和,最短路线问题,探究一：两点间的距离公式,那么,如果,数轴上的点,A,1,，,A,2,分别表示实数,x,1,，,x,2,，,两,点,A,1,，,A,2,间的距离,记作,A,1,A,2,，,A,1,A,2,=,x,2,-x,1,对于,平面上的两点,A,1,，,A,2,间的距离是否有类似的结论呢？,运用勾股定理,，,创设情境,就可以推出,平面上两点之间的距离公式,.,问题,1,如图，平面上两点,A(3,0),，,B(0,4),，,如何计算,A,B,两点之间的距离,AB,？,探究新知,解：,A(3,0),，,B(0,4),OA=3,，,AB,=,=5,OB=4,问题,2,如图，平面上两点,A(1,2),，,B(5,5),，,如何计算这两,点之间的距离,AB,？,探究新知,解：,A(1,2),，,B(5,5),AC=,AB,=,=5,5-1,=4,BC=,5-2,=3,两点之间的距离公式,.,问题,3,一般地，设平面内任意两点,A(x,1,y,1,),和,B(x,2,y,2,),，,如图，如何计算,A,，,B,两点之间的距离,AB,？,探究新知,O,x,y,B(x,2,y,2,),A(x,1,y,1,),A,A,B,B,C,CB,=,AB,=,x,2,-x,1,CA,=,BA,=,y,2,-y,1,AB,2,=,CB,2,+,CA,2,=(x,2,-x,1,),2,+(y,2,-y,1,),2,AB,=,解：,这就是,平面直角坐标系中,的,则,A,，,B,两点之间的距离为,平面内直角坐标系中,两点之间的距离公式,：,一般地，设平面内任意,两点,A(x,1,y,1,),和,B(x,2,y,2,),，,AB,=,探究新知,对应练习,求下列两点之间的距离,.,(1),A(-1,2),，,B(-5,-6),AB,=,解：,方法总结：,只要把这两点的坐标,代入公式,并进行计算即可,.,求平面直角坐标系中,两点间的距离,，,对应练习,求下列两点之间的距离,.,(2),A(1,-5),，,B(7,3),(3),A(-1,1),，,B(1,3),AB,=,解,:,=10,AB,=,解,:,探究二：最短路线问题,题型一：,平面内的最短路线问题,1,、高速公路的同一侧有,A,B,两城镇，如图，它们到高速公路所在直线,MN,的距离分别为,AA=2km,，,BB=4km,，,AB=8km.,要在高速公路上,A,B,之间建一个出口,P,，使,A,，,B,两城镇到,P,的距离之和最短,.,求这个最短距离,.,A,B,M,N,A,B,C,P,D,则,CBD,为直角三角形,.,AA=2km,，,BB=4km,，,AB=8km.,CD=,BD=,在,Rt,CBD,中，,=10(km),最短距离为,解：,作点,A,关于,MN,的对称点,C,，,连接,CB,，,交,MN,于点,P,，,连接,AP,，,则点,P,即为出口的位置,.,过点,C,作,CDBB,，,交,BB,的延长线于点,D,，,AB,=8,(km),，,BB+BD,=4+2,=6(km),AP+PB=,CP+PB,=CB,=10(km),题型一：,平面内的最短路线问题,2,、如图，,A,，,B,两个小镇在河流,CD,的同侧，到河的距离分别为,AC=10km,，,BD=30km,，,且,CD=30km,，现在要在河边建一个自来水厂，向,A,、,B,两镇供水，铺设水管的费用为每千米,3,万元，请你在河流,CD,上选择水厂的位置,P,，是铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？,A,B,C,D,则,ABE,为直角三角形,.,A,P,E,AE=,BE,=,在,Rt,ABE,中，,=50(km),最短距离为,AP+PB,总费用为,AC=10km,，,BD=30km,，,CD=30km,解：,作点,A,关于,CD,的对称点,A,，,连接,AB,，,交,CD,于点,P,，,连接,AP,，,则点,P,即为水厂的位置,.,过点,A,作,AEBD,，,交,BD,的延长线于点,E,，,CD,=30,(km),，,BD+DE=,30+10,=40(km),=AP+PB),=AB,=50(km,）,50,3=,150,（万元）,.,1,、两点之间，,最短！,2,、一个圆柱体的侧面展开图是,长方形的长是,正方形的宽是,.,线段,长方形,圆柱的高,底面圆的周长,知识回顾,底面圆的周长,圆柱的高,1,、如图，有一个圆柱，它的高等于,12cm,，底面上圆的周长等于,18cm,，在圆柱下底面上的,A,点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点,A,相对的点,C,处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？,(,的值取,3),A,C,题型二：,几何体中的最短路线问题,B,D,C,A,高,12cm,C,A,长,18cm,综上所述，,蚂蚁爬行的最短路程是,15,厘米,.,9cm,=15(cm),B,D,B,D,解：,在,Rt,ABC,中，,ABC=90,，,BC=9cm,，,AB=,1,2cm,将圆柱侧面展开成长方形，,则,AC,为蚂蚁爬行的最短路程,.,2,、有一个圆柱形油罐，要以,A,点环绕油罐建梯子，正好建在,A,点的正上方点,B,处，问梯子最短需多少米,(,已知油罐的底面半径是,2 m,，高,AB,是,5 m,，,取,3,）,?,A,B,A,B,A,B,题型二：,几何体中的最短路线问题,解：,将油罐侧面展开成长方形，,则,AB,为梯子的最短距离,.,AA=,2r,=2,3,2=,12,(m),又,A,B,=5(m),由勾股定理，得,=13(m),AB,=,梯子最短需,13,米,最后利用,勾股定理,计算,.,解决几何体表面上两点间的最短路程问题的方法：,它运用的是,化折为直,的思想方法,.,将几何体表面展开，,即,将立体几何问题,然后利用,“,两点之间，线段最短,”,去确定线路，,转化,为平面几何问题，,3,、,如果盒子换成如图长为,3cm,，宽为,2cm,，高为,1cm,的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？,A,B,题型二：,几何体中的最短路线问题,分析：蚂蚁由,A,爬到,B,过程中较短的路线有多少种情况？,(1),经过前面和上底面,;,(2),经过前面和右面,;,(3),经过左面和上底面,.,A,B,2,3,A,B,1,C,3,2,1,B,C,A,3,2,1,B,C,A,(1),当蚂蚁经过,前面,和,上底面,时，如图，最短路程为,解,:,A,B,2,3,A,B,1,C,AB,(cm),(2),当蚂蚁经过,前面,和,右面,时，如图，最短路程为,A,B,3,2,1,B,C,A,AB,(cm),(3),当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为,A,B,AB,3,2,1,B,C,A,(cm),4,、如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在,A,处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达,B,处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少,.,A,B,2,1,A,B,C,题型二：,几何体中的最短路线问题,解：,在,Rt,ABC,中，,ACB=90,，,AC=,2，,BC=,1,AB=,蚂蚁爬行的最短距离是,将正方形的侧面展开成长方形，,则,AB,为蚂蚁爬行的最短路程,.,5,、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于,55cm,，,10cm,和,6cm,，,A,和,B,是这个台阶的两个相对的端点，,A,点上有一只蚂蚁，想到,B,点去吃可口的食物,.,这只蚂蚁从,A,点出发，沿着台阶面爬到,B,点，最短路程是多少？,B,A,A,B,C,解：台阶的展开图如图，连接,AB,.,在,RtABC,中，,BC=55cm,，,AC=48cm,题型二：几何体中的最短路线问题,AB=,(cm),48cm,55cm,这只蚂蚁从,A,点出发，沿着台阶面爬到,B,点，最短路程是,cm,1,、,如果盒子换成长为,40cm,，宽为,30cm,，高为,120cm,的金鱼缸，如果鱼缸中的,A,点有一条金鱼,它想尽快吃到,B,点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？,A,B,C,D,拓展提升,解：,连接,AB,和,AC,在,Rt,ADC,中,AC,=50(cm),在,Rt,ABC,中,AB,=130(cm),金鱼游的最短路程是,130cm.,40cm,30cm,120cm,拓展提升,2,、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）,A,11cm,C,D,B,B,拓展提升,3,我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为,20,尺，底面周长四尺，有葛藤自,A,点缠绕而上，绕,5,周后其末端恰好到达点,B,处，则问题中葛藤的最短长度是（）尺,A,25,C,D,B,B,拓展提升,4如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm,A,C,D,6,B,B,本节课你有什么收获？,则,A,，,B,两点之间的距离为,1,、,平面内直角坐标系中,两点之间的距离公式,：,一般地，设平面内任意,两点,A(x,1,y,1,),和,B(x,2,y,2,),，,AB,=,探究新知,最后利用,勾股定理,计算,.,2,、解决几何体表面上两点间的最短路程问题的方法：,它运用的是,化折为直,的思想方法,.,将几何体表面展开，,即,将立体几何问题,然后利用,“,两点之间，线段最短,”,去确定线路，,转化,为平面几何问题，,。