一元二次方程根与系数的关系典型例题.doc
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一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一. 本周教学内容： 一元二次方程的根与系数的关系 ［学习目标］ 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）； 2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程 3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力 5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神 二. 重点、难点： 1. 教学重点： 一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦 2. 教学难点： 正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入 【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x，则 点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。
例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3） 分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式 解：由已知，根据韦达定理 （1） （2） （3） 点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可 例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值 分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形 解：由题意，为的两个不等实根 因而有 又 点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件 例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值 解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有： 由 当时，代入 当时，由 代入 则 代入 把代入<2>中， 或 （解法二）将与相减得： 此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或 （1）若是0则； （2）若是，则； 或 点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。
例5. 已知方程 （1）若方程两根之差为5，求k （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积 分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值 解：（1）设方程两根与，由韦达定理知： 又 （2）设方程两根，由根系关系知： 点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题 例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值 分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b 解：设已知方程的两根为m，3m 由韦达定理知： 即 把代入 得： 点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识 例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根 （1）用含m的代数式表示； （2）当时，求m的值 分析：应注意，即可用根系关系 解：（1）由题意： （2）由（1）得： 解得： 检验：当时，原方程无实根。
∴舍去 当时，原方程有实根 ∴ 点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系 例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和 分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了 解：设所求一元二次方程为 为方程的两根 ∴由韦达定理 又 ∴所求一元二次方程为 即： 点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程 ［总结扩展］ 1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础 2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力 3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程…… 4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题 1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（ ） A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2 2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 3. 若方程有两根，一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 方程的大根与小根之差等于（ ） A. B. C. 1 D. 6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题。
7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________ 8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______ 9. 已知方程的两根，且，则________ 10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，________，________ 11. 已知，则以为根的一元二次方程是______________________________ 三. 解答题 12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值 13. 已知方程的两根不解方程，求和的值 14. 已知方程的两根，求作以为两根的方程 15. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值 【试题答案】一. 选择题 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B二. 填空题 7. 8. 设，则 9. 或 时，原方程△＜0，故舍去， 10. 11. 由此 或 或 所求方程或三. 解答题。
12. 解：设方程的一个根为x，另一根2x 由根系关系知： 解得： 13. 解：由题设条件 14. 解：由题意 即 故所求方程是，即 15. 解： 由 由 不符合题意，舍去 【励志故事】果断有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀小男孩决定把它带回家喂养当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈在他的哀求下妈妈终于破例答应了小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴小男孩为此伤心了很久但从此他也记住了一个教训：只要是自己认定的事情，决不可优柔寡断这个小男孩长大后成就了一番事业，他就是华裔电脑名人—王安博士友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！11 / 11。
