主振型的正交性.ppt

10-6 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵若体系按第一振型振动，则若体系按第一振型振动，则 两个自由度体系振型的正交性两个自由度体系振型的正交性第一振型第一振型Y11Y21若体系按第二振型振动，则若体系按第二振型振动，则第二振型第二振型Y12Y22功的互等定理：功的互等定理：　　　　第一状态的外力在第二状态上所做的虚功　　　　第一状态的外力在第二状态上所做的虚功=　　　　第二状态的外力在第一状态上所做的虚功　　　　第二状态的外力在第一状态上所做的虚功第一振型第一振型Y11Y21第二振型第二振型Y12Y22因为因为,故故写成矩阵形式写成矩阵形式★★不同频率相应的振型对质量矩阵正交不同频率相应的振型对质量矩阵正交由由功的互等定理：功的互等定理：上式分别乘以上式分别乘以ωω1 12 2、、ωω2 22 2，，则得：则得：第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；★★不同频率相应的振型对刚度矩阵正交不同频率相应的振型对刚度矩阵正交★★利用正交性判断各振型的形状特点和所求振型是否正确利用正交性判断各振型的形状特点和所求振型是否正确将将左乘　　　　　，得　　　　左乘　　　　　，得　　　　写成：写成：第一振型第一振型Y11Y21Y31若体系按第一振型振动，则若体系按第一振型振动，则第三振型第三振型Y13Y23Y33 多自由度体系振型的正交性多自由度体系振型的正交性第一振型第一振型Y11Y21Y31第三振型第三振型Y13Y23Y33功的互等定理功的互等定理因为因为,故故写成矩阵形式写成矩阵形式简写简写一般地一般地同理同理★★振型对质量矩阵正交振型对质量矩阵正交★★振型对刚度矩阵正交振型对刚度矩阵正交★★利用正交性判断各振型的形状特点和所求振型是否正确利用正交性判断各振型的形状特点和所求振型是否正确另一种证明方法另一种证明方法令振型方程中的令振型方程中的i分别等于分别等于k、、l，得，得将（将（a）式两边分别左乘）式两边分别左乘Y（（l））T、、（（b）式两边分别左乘）式两边分别左乘Y（（k））T，得，得考虑考虑KT=K，，MT=M，将（，将（d）式两边转置，得）式两边转置，得式（式（c））-式（式（d），得），得若若，得，得第一个正交关系第一个正交关系将第一个正交关系代入（将第一个正交关系代入（c），得），得对刚度也正交对刚度也正交当当时，定义时，定义k振型的广义质量振型的广义质量k振型的广义刚度振型的广义刚度由第由第k振型方程振型方程左乘左乘得得★★利用广义刚度和广义质量求自振频率利用广义刚度和广义质量求自振频率主振型正交关系的应用主振型正交关系的应用■判断主振型的形状特点判断主振型的形状特点第二振型分为两个区，各居结构的两侧，只有这样才能满足第二振型分为两个区，各居结构的两侧，只有这样才能满足正交条件；正交条件；第三振型分为三区，交替位于结构的不同侧。

这样才能符合第三振型分为三区，交替位于结构的不同侧这样才能符合与第一、第二主振型都彼此正交的条件与第一、第二主振型都彼此正交的条件■确定位移展开公式中的系数确定位移展开公式中的系数任意一个位移向量都可按主振型展开任意一个位移向量都可按主振型展开用用Y（（j））TM前乘上式两边前乘上式两边由正交性，得由正交性，得由此求得系数为由此求得系数为主振型向量组成的方阵主振型向量组成的方阵转置矩阵为转置矩阵为2 2 主振型矩阵主振型矩阵例例：图示体系的刚度矩阵：图示体系的刚度矩阵[K]和质量矩阵和质量矩阵[M]为：为：m2mmk三个主振型分别如下，演算正交性三个主振型分别如下，演算正交性（（1）验证对质量矩阵的正交性）验证对质量矩阵的正交性同理同理（（2）验证对刚度矩阵的正交性）验证对刚度矩阵的正交性同理同理（（3）求广义质量）求广义质量同理同理（（4）求广义刚度）求广义刚度同理同理（（5）求频率）求频率。